2413弧、弦、圓心角

1、24.1.3 弧、弦、圓心角 圓是中心對(duì)稱圖形嗎圓是中心對(duì)稱圖形嗎?它的對(duì)稱中心在哪里它的對(duì)稱中心在哪里? 圓是中心對(duì)稱圖形，圓是中心對(duì)稱圖形， 它的對(duì)稱中心是圓心它的對(duì)稱中心是圓心. 圓有圓有旋轉(zhuǎn)不變性旋轉(zhuǎn)不變性 圓心角圓心角：我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫做：我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角圓心角. O B A AOB為圓心角為圓心角 如圖，將圓心角如圖，將圓心角AOB繞圓心繞圓心O旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)到AOB的位置，你能發(fā)的位置，你能發(fā) 現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？ 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將圓心角根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將圓心角AOB繞圓心繞圓心O旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)到AOB的位置時(shí)，顯然的位置時(shí)，顯然 AOB

2、AOB，射線，射線OA與與OA重合，重合，OB與與OB重合而同圓的半徑相等，重合而同圓的半徑相等， OA=OA，OB=OB，從而點(diǎn)，從而點(diǎn)A與與A重合，重合，B與與B重合重合 O A B O A B A B A B .ABA B 因此，因此， 重合，重合，AB與與AB重合重合與 AB AB AB AB = 同樣，還可以得到：同樣，還可以得到： 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的 圓心角圓心角_， 所對(duì)的弦所對(duì)的弦_； 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的 圓心角圓心角_，所對(duì)的弧，

3、所對(duì)的弧_ 這樣，我們就得到下面的定理：這樣，我們就得到下面的定理： 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等 相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 同圓或等圓中，同圓或等圓中， 兩個(gè)圓心角、兩兩個(gè)圓心角、兩 條弧、兩條弦中條弧、兩條弦中 有一組量相等，有一組量相等， 它們所對(duì)應(yīng)的其它們所對(duì)應(yīng)的其 余各組量也相余各組量也相 等等 O A B A B AOB=AOB .ABA BAB AB, = O A B A B 同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、 兩條弦中如果有一組量相等，它們所兩條弦

4、中如果有一組量相等，它們所 對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。 即：同圓或等圓中即：同圓或等圓中 .ABA B AB=AB AOBAOB 知知 1 得得 2 1.如圖，如圖，AB、CD是是 O的兩條弦的兩條弦 （1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_ （2）如果）如果 ，那么，那么_，_ （3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_ C A B D E F O AOBCOD AB=CD A O BC O D AB=CD AB=CD AB=CD AB=CD 證明：證明： AB=AC, ABC等腰三角形等腰三角形 又又ACB=60， ABC是等邊三角形，是等邊三角形，AB=B

5、C=CA. AOBBOCAOC. A BC O 例例1 如圖在如圖在 O中，中， ，ACB=60，求證，求證 AOB=BOC=AOC. AB=AC AB=AC 1.如圖，如圖，AB、CD是是 O的兩條弦的兩條弦 （4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE與與OF相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？ C A B D E F O 相相 等等 因?yàn)橐驗(yàn)锳B=CD ，所以，所以AOB=COD. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳O=CO，BO=DO， 所以所以AOB COD. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)镺E 、OF是是AB與與CD對(duì)應(yīng)邊上的高，對(duì)應(yīng)邊上的高， 所以所以 OE = OF. 解解: 2.如圖，如圖，AB是

6、是 O的直徑，的直徑， COD=35， 求求AOE的度數(shù)的度數(shù) A O B C D E BOC= COD= DOE=35 1803 35AOE 75 解：解： , BC=CD=DE BC=CD=DE 3、如圖，已知、如圖，已知AD=BC、求證、求證AB=CD . O A B C D 變式變式：如圖，如果弧如圖，如果弧AD=弧弧BC，求證：，求證：AB=CD E = = , ADBC AC AEDC EB AEDC EB AEC E EDEB ABC D 證 ： 由 題 可 知 即 證 所 以 提示：在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓心角，弦 相等 4、如圖，已知、如圖，已知AB、CD是是 O中互相垂直中互相垂直 的兩的兩 條直徑，又兩條弦條直徑，又兩條弦AE、CF垂直相垂直相 交與點(diǎn)交與點(diǎn)G，試證明：，試證明：AE=