泊松分布及其在實(shí)際中的應(yīng)用[共16頁(yè)]

1、 泊松分布是法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松于 1838年引入的，是概率論中的幾大重 要分布之一。作為一種常見(jiàn)的離散 型隨機(jī)變量的分布，其在實(shí)際中有 著非常廣泛的應(yīng)用。 張曉東、鄭茂元、劉文濤、 1.1.泊松分布泊松分布的定義及基本知識(shí)的定義及基本知識(shí) 1.1定義：定義： （1）若隨機(jī)變量）若隨機(jī)變量X的分布列為的分布列為 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的 泊松分布，并用記號(hào)泊松分布，并用記號(hào)XP( )表示。表示。 （2）泊松流：）泊松流： 隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流：隨機(jī)現(xiàn)象中源源不斷出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流：隨機(jī)現(xiàn)象中源源不斷出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)構(gòu) 成的序列。成的序列。 若質(zhì)點(diǎn)流具有平穩(wěn)性、無(wú)后效性、普通性若質(zhì)點(diǎn)流具有平穩(wěn)

2、性、無(wú)后效性、普通性, 則稱該質(zhì)則稱該質(zhì) 點(diǎn)流為泊松事件流點(diǎn)流為泊松事件流(泊松流泊松流)。 例如某電話交換臺(tái)收到的電話呼叫數(shù)例如某電話交換臺(tái)收到的電話呼叫數(shù); 到某機(jī)場(chǎng)降落到某機(jī)場(chǎng)降落 的飛機(jī)數(shù)的飛機(jī)數(shù); 一個(gè)售貨員接待的顧客數(shù)等這些事件都可一個(gè)售貨員接待的顧客數(shù)等這些事件都可 以看作泊松流。以看作泊松流。 1.1.泊松分布泊松分布的定義及基本知識(shí)的定義及基本知識(shí) 1.2有關(guān)泊松分布的一些性質(zhì)有關(guān)泊松分布的一些性質(zhì) （1）滿足分布列的兩個(gè)性質(zhì)）滿足分布列的兩個(gè)性質(zhì)： P(X=k) 0(k=0,1,2,），）， 且且有有 . （2）若隨機(jī)變量）若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，則的

3、泊松分布，則X的的 期望和方差分別為：期望和方差分別為：E(X)= ;D(X)= . 1 ! )( 00 ee k e k e kXP k k kok k 1.1.泊松分布泊松分布的定義及基本知識(shí)的定義及基本知識(shí) （3）以）以n,p為參數(shù)的二項(xiàng)分布，當(dāng)為參數(shù)的二項(xiàng)分布，當(dāng)n ,p 0 時(shí)，使得時(shí)，使得np= 保持保持為正常數(shù)，為正常數(shù)，則則 對(duì)于對(duì)于k=0,1,2，一致成立。一致成立。 由如上定理的條件由如上定理的條件 知知，當(dāng)，當(dāng)n很大時(shí)，很大時(shí)，p 很小時(shí)，有下面的近似公式很小時(shí)，有下面的近似公式 e k ppC k knkk n ! )1 ( np e k ppCkP k knkk nn

4、 ! )1 ()( 2 2泊松分布的應(yīng)用泊松分布的應(yīng)用 對(duì)于對(duì)于試驗(yàn)成功概率很小而試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)成功概率很小而試驗(yàn)次數(shù) 很多的隨機(jī)過(guò)程很多的隨機(jī)過(guò)程, , 都可以很自然的應(yīng)用都可以很自然的應(yīng)用 于泊松分布的理論。在泊松分布中的概于泊松分布的理論。在泊松分布中的概 率表達(dá)式只含一個(gè)參數(shù)率表達(dá)式只含一個(gè)參數(shù) ，減少了對(duì)參數(shù)，減少了對(duì)參數(shù) 的確定與修改工作量的確定與修改工作量, , 模型構(gòu)建比較簡(jiǎn)模型構(gòu)建比較簡(jiǎn) 單單, , 具有很重要的實(shí)際意義。具有很重要的實(shí)際意義。 2 2泊松分布的應(yīng)用泊松分布的應(yīng)用 （1 1）泊松分布在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用：）泊松分布在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用： 泊松分布泊松分布是經(jīng)濟(jì)生活中

5、的一種非常重要的分布形式，尤是經(jīng)濟(jì)生活中的一種非常重要的分布形式，尤 其是經(jīng)常被運(yùn)用在運(yùn)籌學(xué)研究中的一個(gè)分布模型。如物料訂其是經(jīng)常被運(yùn)用在運(yùn)籌學(xué)研究中的一個(gè)分布模型。如物料訂 單的規(guī)劃，道路交通信號(hào)燈的設(shè)計(jì)，生產(chǎn)計(jì)劃的安排，海港單的規(guī)劃，道路交通信號(hào)燈的設(shè)計(jì)，生產(chǎn)計(jì)劃的安排，海港 發(fā)貨船期的調(diào)度等等都需要用到泊松分布。發(fā)貨船期的調(diào)度等等都需要用到泊松分布。 例例1 1：下面討論一個(gè)泊松分布在商場(chǎng)現(xiàn)代化管理中的應(yīng)：下面討論一個(gè)泊松分布在商場(chǎng)現(xiàn)代化管理中的應(yīng) 用。用。 某某商場(chǎng)一天內(nèi)來(lái)的顧客數(shù)、一天內(nèi)顧客購(gòu)買(mǎi)的商品數(shù)等商場(chǎng)一天內(nèi)來(lái)的顧客數(shù)、一天內(nèi)顧客購(gòu)買(mǎi)的商品數(shù)等 均服從或近似服從泊松分布均服從或

6、近似服從泊松分布 實(shí)例實(shí)例：若商場(chǎng)一天內(nèi)來(lái)：若商場(chǎng)一天內(nèi)來(lái)k k 個(gè)顧客的概率服從參數(shù)為個(gè)顧客的概率服從參數(shù)為 的的 泊松分布，而且每個(gè)到達(dá)商場(chǎng)的顧客購(gòu)買(mǎi)商品是獨(dú)立的，其泊松分布，而且每個(gè)到達(dá)商場(chǎng)的顧客購(gòu)買(mǎi)商品是獨(dú)立的，其 概率為概率為p p。 討論一天內(nèi)有顧客買(mǎi)東西的討論一天內(nèi)有顧客買(mǎi)東西的概率：概率： 設(shè)設(shè) =“商場(chǎng)一天內(nèi)來(lái)商場(chǎng)一天內(nèi)來(lái)k 個(gè)顧客個(gè)顧客”（0,1，r，），）， B=“商場(chǎng)一天內(nèi)有商場(chǎng)一天內(nèi)有r個(gè)顧客購(gòu)買(mǎi)商品個(gè)顧客購(gòu)買(mǎi)商品”， 則則 （k=0,1,，r，）；）； P( (k=r,） 則則 ! )( k e AP k k rkrr kk ppCBA )1 ()| rkrr k

7、k rkk kk ppC k e ABPAPBP)1 ( ! )|()()( 0 0000 ! )1 ( ! )( )!( )1 ( )( )!( )1 ()( )1 ( )!( i ir i ir rir i irr riirr ri i rl i p r ep ri PC ep ri eppC pPC ri e ! )( ! )( )1( r ep e r ep pr p r 討論一天內(nèi)買(mǎi)東西的顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望：討論一天內(nèi)買(mǎi)東西的顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望： 設(shè)商場(chǎng)內(nèi)一天購(gòu)買(mǎi)東西的顧客為設(shè)商場(chǎng)內(nèi)一天購(gòu)買(mǎi)東西的顧客為X X，則，則 ，（，（r=0,1,r=0,1,），）， 即即X X ，所以所以 ，所

8、以商場(chǎng)一天內(nèi)所以商場(chǎng)一天內(nèi) 購(gòu)買(mǎi)商品的平均顧客數(shù)為購(gòu)買(mǎi)商品的平均顧客數(shù)為： 例例2 2：接下來(lái)討論泊松分布在事故發(fā)生預(yù)測(cè)的：接下來(lái)討論泊松分布在事故發(fā)生預(yù)測(cè)的 應(yīng)用。應(yīng)用。 通過(guò)某路口的每輛汽車(chē)發(fā)生事故的概率為通過(guò)某路口的每輛汽車(chē)發(fā)生事故的概率為 =0.0001,=0.0001,假設(shè)在某路段時(shí)間內(nèi)有假設(shè)在某路段時(shí)間內(nèi)有10001000輛汽車(chē)通輛汽車(chē)通 過(guò)此路口，則求在此時(shí)間段內(nèi)發(fā)生事故次數(shù)過(guò)此路口，則求在此時(shí)間段內(nèi)發(fā)生事故次數(shù) 的的概率分布。概率分布。 ! )( )( r ep rXP pr )( pPpXE)( p p X 通過(guò)路口的通過(guò)路口的1000輛汽車(chē)發(fā)生事故與否，可以輛汽車(chē)發(fā)生事故與

9、否，可以 看成看成 =1000次伯努利試驗(yàn)，所以次伯努利試驗(yàn)，所以 服從服從二項(xiàng)二項(xiàng) 分布，由于分布，由于 =1000很大，且很大，且 =0.0001很很 小，且小，且 =0.1，所以，所以X服從泊松分布服從泊松分布， 。 此此段時(shí)間內(nèi)發(fā)生段時(shí)間內(nèi)發(fā)生2次次以上事故以上事故的概率為：的概率為： n n X p np ), 1 , 0( ! )1 ()(nme m np ppCmXP np m mnm n m n 0045. 0 ! 1 1 . 0 ! 0 1 . 0 1)2( 1 . 01 . 0 0 eexP 2 2泊松分布的應(yīng)用泊松分布的應(yīng)用 （2）泊松分布在生物學(xué)中的應(yīng)用：）泊松分布在生

10、物學(xué)中的應(yīng)用： 在在生物學(xué)研究中生物學(xué)研究中, 服從泊松分布的隨機(jī)變服從泊松分布的隨機(jī)變 量是常見(jiàn)的，如每升飲水中大腸桿菌數(shù)量是常見(jiàn)的，如每升飲水中大腸桿菌數(shù), 計(jì)數(shù)計(jì)數(shù) 器小方格中血球數(shù)器小方格中血球數(shù), 單位空間中某些野生動(dòng)物單位空間中某些野生動(dòng)物 或昆蟲(chóng)數(shù)等都是服從泊松分布的。泊松分布或昆蟲(chóng)數(shù)等都是服從泊松分布的。泊松分布 在生物學(xué)領(lǐng)域中有著廣闊的應(yīng)用前景，對(duì)生在生物學(xué)領(lǐng)域中有著廣闊的應(yīng)用前景，對(duì)生 物學(xué)中所涉及到的概率研究起到了重要的指物學(xué)中所涉及到的概率研究起到了重要的指 導(dǎo)作用。導(dǎo)作用。 例：泊松分布在估計(jì)一個(gè)基因文庫(kù)所需克隆數(shù)中的應(yīng)例：泊松分布在估計(jì)一個(gè)基因文庫(kù)所需克隆數(shù)中的應(yīng)

11、用用 判斷基因克隆過(guò)程的分布情況：由于基因組判斷基因克隆過(guò)程的分布情況：由于基因組DNA是是 從大量細(xì)胞中提取的從大量細(xì)胞中提取的, 每個(gè)細(xì)胞中均含有全部基因組每個(gè)細(xì)胞中均含有全部基因組 DNA, 那么每一種限制性片段的數(shù)目是大量的那么每一種限制性片段的數(shù)目是大量的, 因此可因此可 以說(shuō)各限制性片段的數(shù)目是相等的。在基因克隆中以說(shuō)各限制性片段的數(shù)目是相等的。在基因克隆中, 基因組基因組DNA 用限制性酶切割后與載體混合反應(yīng)以及用限制性酶切割后與載體混合反應(yīng)以及 隨后的過(guò)程均是隨機(jī)的生化反應(yīng)過(guò)程。一隨后的過(guò)程均是隨機(jī)的生化反應(yīng)過(guò)程。一, 對(duì)克隆來(lái)對(duì)克隆來(lái) 說(shuō)一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆說(shuō)

12、一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆, 只有這只有這 兩種結(jié)果兩種結(jié)果;第二第二, 由于總體限制性片段是大量的由于總體限制性片段是大量的, 被克被克 隆的對(duì)總體影響很小隆的對(duì)總體影響很小; 第三第三, 在克隆中一片段被克隆的在克隆中一片段被克隆的 概率為概率為f( f較小較小) , 不被克隆的概率為不被克隆的概率為1- ,f 且克隆時(shí)這且克隆時(shí)這 兩種概率都不變。綜上所述兩種概率都不變。綜上所述, 基因克隆過(guò)程符合泊松基因克隆過(guò)程符合泊松 分布。分布。 設(shè)設(shè)p為基因被克隆的概率為基因被克隆的概率; N 為要求的克隆的概率為為要求的克隆的概率為p 時(shí)一個(gè)基因文庫(kù)所需含有重組時(shí)一個(gè)基因文庫(kù)所需含有

13、重組DNA 的克隆數(shù)的克隆數(shù); f為限為限 制性片段的平均長(zhǎng)度與基因組制性片段的平均長(zhǎng)度與基因組DNA 總長(zhǎng)度之比總長(zhǎng)度之比, 若若 基因組基因組DNA 被限制性酶切割成被限制性酶切割成n個(gè)個(gè)DNA 片段片段,f即即 。 則在克隆數(shù)為則在克隆數(shù)為N時(shí)時(shí)，任一段被克隆一次或一次以上，任一段被克隆一次或一次以上 的概率為的概率為 ，可推出，可推出 , 一般一般要求目的基因序列出現(xiàn)的概率要求目的基因序列出現(xiàn)的概率p的期望值定為的期望值定為 99%，那么那么 。 在在分子生物學(xué)中，上述一個(gè)完整的基因文庫(kù)所分子生物學(xué)中，上述一個(gè)完整的基因文庫(kù)所 需克隆數(shù)的估計(jì)對(duì)基因克隆實(shí)驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)具有重需克隆數(shù)的估計(jì)

14、對(duì)基因克隆實(shí)驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)具有重 要意義。要意義。 n 1 Nf epp 1)0(1 f p N )1ln( nnpnN4605)99. 01ln()1ln( 2 2泊松分布的應(yīng)用泊松分布的應(yīng)用 （3) 3)泊松分布在物理學(xué)中的應(yīng)用：泊松分布在物理學(xué)中的應(yīng)用： 泊松分布泊松分布在物理學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，如熱電在物理學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，如熱電 子的放射，某些激光場(chǎng)的分布等等都服從泊松分子的放射，某些激光場(chǎng)的分布等等都服從泊松分 布。布。 例：例： 對(duì)某一放射性物質(zhì)而言對(duì)某一放射性物質(zhì)而言, , 各相鄰原子群體之間各相鄰原子群體之間, , 其中一個(gè)原子核的衰變其中一個(gè)原子核的衰變, , 對(duì)相鄰的原子

15、核而言對(duì)相鄰的原子核而言, , 可可 視為外界的變化視為外界的變化, , 而這種外界的變化而這種外界的變化, , 不會(huì)影響相不會(huì)影響相 鄰原子核的衰變過(guò)程。即在某一放射性物質(zhì)中鄰原子核的衰變過(guò)程。即在某一放射性物質(zhì)中, , 各個(gè)原子核的衰變過(guò)程各個(gè)原子核的衰變過(guò)程, , 互不影響互不影響, , 相互獨(dú)立。因相互獨(dú)立。因 此衰變過(guò)程滿足獨(dú)立性。此衰變過(guò)程滿足獨(dú)立性。 放射性原子核的衰變過(guò)程是一個(gè)相互彼此無(wú)關(guān)的過(guò)放射性原子核的衰變過(guò)程是一個(gè)相互彼此無(wú)關(guān)的過(guò) 程，所以放射性原子核衰變的統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)可以看成是程，所以放射性原子核衰變的統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)可以看成是 一種伯努利試驗(yàn)問(wèn)題。若在一個(gè)原子核體系中，單一種伯努

16、利試驗(yàn)問(wèn)題。若在一個(gè)原子核體系中，單 位時(shí)間原子核發(fā)生衰變的概率位時(shí)間原子核發(fā)生衰變的概率為為 ，則沒(méi)則沒(méi) 有發(fā)生衰變的概率為有發(fā)生衰變的概率為 。由二項(xiàng)分布得到，由二項(xiàng)分布得到， 在在t t時(shí)間內(nèi)的核衰變數(shù)為時(shí)間內(nèi)的核衰變數(shù)為n n的概率為的概率為 。 （1 1） 由于在放射性衰變中，原子核由于在放射性衰變中，原子核數(shù)目數(shù)目 很大，而很大，而 p p相對(duì)很小，并且滿足相對(duì)很小，并且滿足 ，所以上式可以近似所以上式可以近似 化為泊松分布，因?yàn)榇藭r(shí)化為泊松分布，因?yàn)榇藭r(shí) ，對(duì)于對(duì)于 附近附近 的的 值值可得到：可得到： t ep 1 t epq 1 nNnN N ppCnP 0 0 )1 ()( 0 N 1t 00 NpNm m n 000 0 )()1 ( ) 1()2)(1( 00000 pNnNpnN n n N eep NnNNNNC 帶入（帶入（1)式中得到：式中得到： 令令 ，得到得到: ,即為泊松分布。即為泊松分布。并并 且且有有 。 綜上，泊松分布作為概率論中最重要的幾個(gè)分布綜上，泊松分布作為概率論中最重要的幾個(gè)分布 之一，具有很多特殊的性質(zhì)和作用，在實(shí)際中有著之一，具有很多特殊的性質(zhì)和作用