初中數(shù)學(xué)全等三角形精講：總結(jié) 計(jì)劃 匯報(bào) 設(shè)計(jì) 可編輯

1、七年級(jí)數(shù)學(xué)三角形精講知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié) 1. 三角形的三邊之間的關(guān)系 三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊。 2. 三角形的內(nèi)角和 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180。 3. 三角形全等的條件 （1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相等，簡(jiǎn)寫(xiě)為“SSS”。 （2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“ASA”。 （3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“AAS”。 （4）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“SAS”。 （5）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“HL”。 4. 全等三角形的性質(zhì) 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等。

2、 5. 三角形的外角性質(zhì) 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。專(zhuān)題總復(fù)習(xí)（一） 全等三角形、軸對(duì)稱(chēng)一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、理解全等三角形概念及全等多邊形的概念.2、掌握并會(huì)運(yùn)用三角形全等的判定和性質(zhì)，能應(yīng)用三角形的全等解決一些實(shí)際問(wèn)題.3、通過(guò)復(fù)習(xí)，能夠應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生對(duì)空間構(gòu)造的思考能力.二、重難點(diǎn)分析：1、全等三角形的性質(zhì)與判定；2、全等三角形的性質(zhì)、判定與解決實(shí)際生活問(wèn)題.三、知識(shí)點(diǎn)梳理：知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形的概念能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.知識(shí)點(diǎn)二：全等三角形的性質(zhì). （1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等. （2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.知識(shí)點(diǎn)三：判定兩個(gè)三

3、角形全等的方法. （1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL（只對(duì)直角三形來(lái)說(shuō)）知識(shí)點(diǎn)四：尋找全等三形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的規(guī)律.全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊.全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角.有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊.有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角.有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角.全等三角形中的最大邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角），最小邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角）.知識(shí)點(diǎn)五：找全等三角形的方法.（1）一般來(lái)說(shuō)，要證明相等的兩條線(xiàn)段（或兩個(gè)角），可以從結(jié)論出發(fā)，看它們分別落在哪兩具可能的全等三角形中.（常用的辦法）（2）可以從已知

4、條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等.（3）可以從已知條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能否一同確定哪兩個(gè)三角形全等.（4）如無(wú)法證證明全等時(shí)，可考慮作輔助線(xiàn)的方法，構(gòu)造成全等三角形.知識(shí)點(diǎn)六：角平分線(xiàn)的性質(zhì)及判定.（1）角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（2）角平分線(xiàn)的判定：在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線(xiàn)上.（3）三角形三個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的性質(zhì)：三角形三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，且到三角形三邊距離相等.知識(shí)點(diǎn)七：證明線(xiàn)段相等的方法.（重點(diǎn)）（1）中點(diǎn)性質(zhì)（中位線(xiàn)、中線(xiàn)、垂直平分線(xiàn)）（2）證明兩個(gè)三角形全等，則對(duì)應(yīng)邊相等（3）借助中間線(xiàn)段相等.知識(shí)點(diǎn)八：證明角相等的方法.（重

5、點(diǎn)）（1）對(duì)頂角相等；（2）同角或等角的余角（或補(bǔ)角）相等；（3）兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等；（4）角平分線(xiàn)的定義；（5）垂直的定義；（6）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；（7）三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和.知識(shí)點(diǎn)九：全等三角形中幾個(gè)重要的結(jié)論.（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線(xiàn)相等；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)相等；（3）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等.知識(shí)點(diǎn)十：三角形中常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法.（重難點(diǎn)）（1）延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形（倍長(zhǎng)線(xiàn)段法）；（2）引平行線(xiàn)構(gòu)造全等三角形；（3）作垂直線(xiàn)段（或高）；（4）取長(zhǎng)補(bǔ)短法（截取法）.【典型例題】 例1. 已知：如圖，ABC中，ABAC，D、E、F分

6、別在AB、BC、CA上，且BDCE，DEFB，圖中是否存在和BDE全等的三角形？說(shuō)明理由。 解：CEFBDE 理由：ABAC，BC 又DECBBDE DEFCEFBBDE DEFB，CEFBDE CEFBDE（ASA） 例2. 已知：ABCD，DEAC，BFAC，垂足分別為E、F，BFDE，則ABCD，為什么？ 解：理由：DEAC，BFAC DECBFA90 在RtDEC和RtBFA中 RtDECRtBFA（HL） DCEBAF CDAB 例3. 用兩個(gè)全等的等邊ABC和ACD拼成一個(gè)四邊形ABCD，把一個(gè)含60角的三角尺與這個(gè)四邊形疊合，使三角尺的60角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB、AC

7、重合，將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，問(wèn)：當(dāng)三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD相交于E、F時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)量BE、CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論。 解：結(jié)論：BECF 理由：ABC、ACD為等邊三角形 ABAC，BACF60，BAC60 又1EAC60，2EAC60 12 ABEACF（ASA） BECF 例4. 如圖，AD是ABC的角平分線(xiàn)，AE是BC邊上的高，B20，C40，求DAE的度數(shù)。 解：BACBC180 又B20，C40 BAC1802040120 AD平分BAC AEBC，AEC90 又C40 EAC904050 DAEDACEAC605010 例5. 如圖

8、，已知ACBD，EA、EB分別平分CAB、DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，且AC3cm，BD5cm，你能利用全等三角形有關(guān)知識(shí)測(cè)出AB的長(zhǎng)嗎？ 解：如圖所示，在AB上截取AFAC，連結(jié)EF AE是CAB平分線(xiàn) CAEBAE ACAF，AEAE ACEAFE CEFA ACBD，CD180 AFEEFB180 DEFB BE平分DBA，DBEFBE BEBE，DBEFBE BFBD ABACBD AC3cm，BD5cm AB8cm全等三角形的有關(guān)證明（提高篇）關(guān)鍵：三角形全等的證明及其運(yùn)用關(guān)鍵點(diǎn)在于“把相等的邊（角）放入正確的三角形中”，去說(shuō)明“相等的邊（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等來(lái)說(shuō)明兩個(gè)角相

9、等（兩條邊相等）是初中里面一個(gè)非常常見(jiàn)而又重要的方法。要說(shuō)明兩邊相等，兩角相等，最常用的方法就是說(shuō)明三角形全等直角三角形的全等問(wèn)題：直角三角形的研究是整個(gè)中學(xué)幾何圖形部分里的重點(diǎn)！直角三角形有關(guān)的全等問(wèn)題中，除了特用的HL定理之外，在條件的尋找上首先就有了一組直角相等；而多個(gè)直角，多個(gè)垂直的圖形組合在一塊時(shí)，就很容易利用“同（等）角的余角相等”來(lái)得到其他的角相等。圖1例一：圖1，已知DOBC，OC=OA，OB=OD，問(wèn)CD=AB嗎？分析：此圖形可看作繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，由垂直得到一組直角，把結(jié)合其他兩組邊，很容易找到他們所在的三角形。變形1：請(qǐng)說(shuō)明BCE是直角三角形。（利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，

10、以及直角三角形的兩個(gè)銳角互余這兩個(gè)性質(zhì)進(jìn)行代換和轉(zhuǎn)換）解：易得AOBCOD （此過(guò)程較簡(jiǎn)單，略過(guò)不描述） B=D（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） 又 OAB=DAE（對(duì)頂角相等）而在RtAOB中，OAB+B=90（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）AFBCED DAE+D=90（等量代換） 在ADE中，DEA=180（DAE+D）=90（三角形內(nèi)角和定理） BEC=90（補(bǔ)角性質(zhì)） 故BCE是直角三角形變形2：把兩個(gè)含有45角的直角三角板如圖1放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE，AD，AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交BE于點(diǎn)F求證：AFBE 分析：此圖中要說(shuō)明AFBE，與上題中BCE是直角三角形是一樣的意思，只需要說(shuō)明BFD=90

11、即可變形3：兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線(xiàn)上，連結(jié)CD （彩圖為提示）（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；圖2圖1（2）證明：CDBE圖2ABCEHD變形4、如圖2，在ABC中，高AD與BE相交于點(diǎn)H，且AD=BD，問(wèn)BHDACD，為什么？分析：此題實(shí)際上就是變形1的反問(wèn)，已經(jīng)存在一組直角（由垂直得到），一組相等的邊（已知），再利用“同（等）角的余角相等”來(lái)得到第二組角相等！圖3ACMEFBD變形5：如圖3， 已知EDAB，EFBC，BD=EF，問(wèn)BM=ME嗎？說(shuō)明理由。圖4變形6：如圖4，

12、AD是一段斜坡，AB是水平線(xiàn)，現(xiàn)為了測(cè)斜坡上一點(diǎn)D的豎直高度DB的長(zhǎng)度，歡歡在D處立上一竹竿CD，并保證CDAD，然后在竿頂C處垂下一根繩CE，與斜坡的交點(diǎn)為點(diǎn)E，他調(diào)整好繩子CE的長(zhǎng)度，使得CE=AD，此時(shí)他測(cè)得DE=2米，于是他認(rèn)定DB的高度也為2米，你覺(jué)得對(duì)嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由。圖5例二：如圖1，已知，ACCE，AC=CE， ABC=CDE=90，問(wèn)BD=AB+ED嗎?分析 ：（1）凡是題中的垂直往往意味著會(huì)有一組90角，得到一組等量關(guān)系；圖6（2）出現(xiàn)3個(gè)垂直，往往意味著要運(yùn)用同（等）角的余角相等，得到另一組等量關(guān)系；（3）由全等得到邊相等之后，還要繼續(xù)往下面想，這幾組相等的邊能否組合在一起

13、：如如圖6，除了得到三組對(duì)應(yīng)邊相等之外，還可以得到AC=BD。解答過(guò)程：得到ABCCDE之后，可得到BC=DE，AB=CD BC+CD=DE+AB（等式性質(zhì)）圖7 即：BD=AB+DE變形1：如圖7， 如果ABCCDE，請(qǐng)說(shuō)明AC與CE的關(guān)系。注意：兩條線(xiàn)段的關(guān)系包括：大小關(guān)系（相等，一半，兩倍之類(lèi)）位置關(guān)系（垂直，平行之類(lèi)）變形2：如圖，E是正方形ABCD的邊DC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作FAAE交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F， 求證：DE=BF分析：注意圖形中有多個(gè)直角，利用同角的余角相等或等式性質(zhì)可到一組銳角相等。變形3：如圖8，在ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)，BDAE，CEAE

14、，圖8如果CE=3，BD=7，請(qǐng)你求出DE的長(zhǎng)度。分析 ：說(shuō)明相等的邊所在的三角形全等，題中“AB=AC”，發(fā)現(xiàn)：AB在RtABD中，AC在RtCAE中，所以嘗試著去找條件，去說(shuō)明它們所在的兩個(gè)Rt全等（如圖9）于是：已經(jīng)存在了兩組等量關(guān)系：AB=AC，直角=直角，再由多個(gè)垂直利用同角的余角相等，得到第三組等量關(guān)系。 解：由題意可得：在RtABD中，1+ABD=90（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）1圖9 又 BAC=90（已知）， 即1+CAE=90 ABD=CAE（等角的余角相等） 故在ABD與CAE中， BDA=AEC=90（垂直定義）ABD=CAE（已求） AB=AC（已知） ABDCAE（

15、AAS） AE=BD=7，AD=EC=3 （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） DE=AEAD=73=4變形4：在ABC中，ACB= 900，AC=BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E。（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖9的位置時(shí)，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能說(shuō)出其中的道理嗎？（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時(shí)， DE =AD-BE。說(shuō)說(shuō)你的理由。圖11（3）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時(shí)，試問(wèn)DE，AD，BE 具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系。圖12圖1012等腰三角形、等邊三角形的全等問(wèn)題：必備知識(shí)：如右圖，由1=2，可得CBE=DBA；反之，也成立。例三

16、：已知在ABC中，AB=AC，在ADE中，AD=AE，且1=2，請(qǐng)問(wèn)BD=CE嗎？分析這類(lèi)題目的難點(diǎn)在于，需要將本來(lái)就存在于同一個(gè)三角形中的一組相等的邊，分別放入兩個(gè)三角形中，看成是一組三角形的對(duì)應(yīng)邊， 題目中所給的ABC與ADE是用來(lái)干擾你的思路的，應(yīng)該去想如何把兩組相等的邊聯(lián)系到一起，加上所求的“BD=CE”，你會(huì)發(fā)現(xiàn)BD在ABD中，CE在ACE中，這樣一來(lái)，“AB=AC”可以理解為：AB在ABD中，AC在ACE中，它們是一組對(duì)應(yīng)邊； “AD=AE”可以理解為：AD在ABD中，AE在ACE中，它們是一組對(duì)應(yīng)邊；21圖13所以只需要說(shuō)明它們的夾角相等即可。關(guān)鍵還是在于：說(shuō)明“相等的邊（角）所

17、在的三角形全等” 解： 1=2（已知） 1+CAD=2+CAD（等式性質(zhì)） 即： BAD=CAE 在ABD與ACE中， AB=AC（已知） BAD=CAE（已求） AD=AE21圖14 ABDACE（SAS） BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）變形1：如圖13，已知BAC=DAE，1=2，BD=CE，請(qǐng)說(shuō)明ABDACE.嗎？為什么？分析：例三是兩組邊相等，放入一組三角形中，利用SAS說(shuō)明全等， 此題是兩組角相等，那么該如何做呢?變形2：過(guò)點(diǎn)A分別作兩個(gè)大小不一樣的等邊三角形，連接BD，CE，請(qǐng)說(shuō)明它們相等。圖15分析：此題實(shí)際上是例三的變形，只不過(guò)將等腰三角形換成了等邊三角形，只要你根據(jù)所求

18、問(wèn)題，把BD看成在ABD的一邊，CE看成ACE的一邊，自然就得到了證明的方向。 解：ABC與ADE是等邊三角形， AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60 BAC+CAD=DAE+CAD（等式性質(zhì)） 即： BAD=CAE接下來(lái)的過(guò)程與例三完全一致，不予描述！ 圖16變形3：如圖1618，還是剛才的條件，把右側(cè)小等邊三角形的位置稍加變化，連接BD，CE，請(qǐng)說(shuō)明它們相等 這里僅以圖17進(jìn)行說(shuō)明 解： ABC與ADE是等邊三角形， AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60圖17BACCAD=DAECAD【僅這步有差別】即：BAD=BAD=CAE 在ABD與ACE中， AB=AC（已知）

19、BAD=CAE（已求）圖18 AD=AE ABDACE（SAS） BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） 圖16，圖18的類(lèi)型，請(qǐng)同學(xué)們自己去完成變形4：如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG，AE與CG相交于點(diǎn)M，CG與AD相交于點(diǎn)N求證：；分析：和上面相比，只不過(guò)等邊三角形換成正方形，60換成直角了，思路一樣例四： 如圖，ABC中，C=90，AB=2AC，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，MNAB.求證：AN平分BAC.分析：要說(shuō)明AN平分BAC，必須說(shuō)明兩角相等，可以說(shuō)明AMNCAN，而題中已有了一組直角相等，一組公共邊（斜邊）結(jié)合題目中條件，比較容易找到一邊直角邊相等，從而利用HL定理得到全等。變形1