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1、七年級(jí)數(shù)學(xué)三角形精講知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié) 1. 三角形的三邊之間的關(guān)系 三角形任意兩邊之和大于第三邊,三角形任意兩邊之差小于第三邊。 2. 三角形的內(nèi)角和 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180。 3. 三角形全等的條件 (1)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相等,簡(jiǎn)寫(xiě)為“SSS”。 (2)兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等,簡(jiǎn)寫(xiě)成“ASA”。 (3)兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等,簡(jiǎn)寫(xiě)成“AAS”。 (4)兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等,簡(jiǎn)寫(xiě)成“SAS”。 (5)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等,簡(jiǎn)寫(xiě)成“HL”。 4. 全等三角形的性質(zhì) 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊相等。
2、 5. 三角形的外角性質(zhì) 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。專(zhuān)題總復(fù)習(xí)(一) 全等三角形、軸對(duì)稱(chēng)一、復(fù)習(xí)目標(biāo):1、理解全等三角形概念及全等多邊形的概念.2、掌握并會(huì)運(yùn)用三角形全等的判定和性質(zhì),能應(yīng)用三角形的全等解決一些實(shí)際問(wèn)題.3、通過(guò)復(fù)習(xí),能夠應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題,提高學(xué)生對(duì)空間構(gòu)造的思考能力.二、重難點(diǎn)分析:1、全等三角形的性質(zhì)與判定;2、全等三角形的性質(zhì)、判定與解決實(shí)際生活問(wèn)題.三、知識(shí)點(diǎn)梳理:知識(shí)點(diǎn)一:全等三角形的概念能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.知識(shí)點(diǎn)二:全等三角形的性質(zhì). (1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等. (2)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.知識(shí)點(diǎn)三:判定兩個(gè)三
3、角形全等的方法. (1)SSS (2)SAS (3)ASA (4)AAS (5)HL(只對(duì)直角三形來(lái)說(shuō))知識(shí)點(diǎn)四:尋找全等三形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的規(guī)律.全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊,兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊.全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角,兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角.有公共邊的,公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊.有公共角的,公共角一定是對(duì)應(yīng)角.有對(duì)頂角的,對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角.全等三角形中的最大邊(角)是對(duì)應(yīng)邊(角),最小邊(角)是對(duì)應(yīng)邊(角).知識(shí)點(diǎn)五:找全等三角形的方法.(1)一般來(lái)說(shuō),要證明相等的兩條線(xiàn)段(或兩個(gè)角),可以從結(jié)論出發(fā),看它們分別落在哪兩具可能的全等三角形中.(常用的辦法)(2)可以從已知
4、條件出發(fā),看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等.(3)可以從已知條件和結(jié)論綜合考慮,看它們能否一同確定哪兩個(gè)三角形全等.(4)如無(wú)法證證明全等時(shí),可考慮作輔助線(xiàn)的方法,構(gòu)造成全等三角形.知識(shí)點(diǎn)六:角平分線(xiàn)的性質(zhì)及判定.(1)角平分線(xiàn)的性質(zhì):角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(2)角平分線(xiàn)的判定:在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線(xiàn)上.(3)三角形三個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的性質(zhì):三角形三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn),且到三角形三邊距離相等.知識(shí)點(diǎn)七:證明線(xiàn)段相等的方法.(重點(diǎn))(1)中點(diǎn)性質(zhì)(中位線(xiàn)、中線(xiàn)、垂直平分線(xiàn))(2)證明兩個(gè)三角形全等,則對(duì)應(yīng)邊相等(3)借助中間線(xiàn)段相等.知識(shí)點(diǎn)八:證明角相等的方法.(重
5、點(diǎn))(1)對(duì)頂角相等;(2)同角或等角的余角(或補(bǔ)角)相等;(3)兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等;(4)角平分線(xiàn)的定義;(5)垂直的定義;(6)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等;(7)三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和.知識(shí)點(diǎn)九:全等三角形中幾個(gè)重要的結(jié)論.(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線(xiàn)相等;(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)相等;(3)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等.知識(shí)點(diǎn)十:三角形中常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法.(重難點(diǎn))(1)延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形(倍長(zhǎng)線(xiàn)段法);(2)引平行線(xiàn)構(gòu)造全等三角形;(3)作垂直線(xiàn)段(或高);(4)取長(zhǎng)補(bǔ)短法(截取法).【典型例題】 例1. 已知:如圖,ABC中,ABAC,D、E、F分
6、別在AB、BC、CA上,且BDCE,DEFB,圖中是否存在和BDE全等的三角形?說(shuō)明理由。 解:CEFBDE 理由:ABAC,BC 又DECBBDE DEFCEFBBDE DEFB,CEFBDE CEFBDE(ASA) 例2. 已知:ABCD,DEAC,BFAC,垂足分別為E、F,BFDE,則ABCD,為什么? 解:理由:DEAC,BFAC DECBFA90 在RtDEC和RtBFA中 RtDECRtBFA(HL) DCEBAF CDAB 例3. 用兩個(gè)全等的等邊ABC和ACD拼成一個(gè)四邊形ABCD,把一個(gè)含60角的三角尺與這個(gè)四邊形疊合,使三角尺的60角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合,兩邊分別與AB、AC
7、重合,將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),問(wèn):當(dāng)三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD相交于E、F時(shí),通過(guò)觀察或測(cè)量BE、CF的長(zhǎng)度,你能得出什么結(jié)論?并證明你的結(jié)論。 解:結(jié)論:BECF 理由:ABC、ACD為等邊三角形 ABAC,BACF60,BAC60 又1EAC60,2EAC60 12 ABEACF(ASA) BECF 例4. 如圖,AD是ABC的角平分線(xiàn),AE是BC邊上的高,B20,C40,求DAE的度數(shù)。 解:BACBC180 又B20,C40 BAC1802040120 AD平分BAC AEBC,AEC90 又C40 EAC904050 DAEDACEAC605010 例5. 如圖
8、,已知ACBD,EA、EB分別平分CAB、DBA,CD過(guò)點(diǎn)E,且AC3cm,BD5cm,你能利用全等三角形有關(guān)知識(shí)測(cè)出AB的長(zhǎng)嗎? 解:如圖所示,在AB上截取AFAC,連結(jié)EF AE是CAB平分線(xiàn) CAEBAE ACAF,AEAE ACEAFE CEFA ACBD,CD180 AFEEFB180 DEFB BE平分DBA,DBEFBE BEBE,DBEFBE BFBD ABACBD AC3cm,BD5cm AB8cm全等三角形的有關(guān)證明(提高篇)關(guān)鍵:三角形全等的證明及其運(yùn)用關(guān)鍵點(diǎn)在于“把相等的邊(角)放入正確的三角形中”,去說(shuō)明“相等的邊(角)所在的三角形全等”,利用三角形全等來(lái)說(shuō)明兩個(gè)角相
9、等(兩條邊相等)是初中里面一個(gè)非常常見(jiàn)而又重要的方法。要說(shuō)明兩邊相等,兩角相等,最常用的方法就是說(shuō)明三角形全等直角三角形的全等問(wèn)題:直角三角形的研究是整個(gè)中學(xué)幾何圖形部分里的重點(diǎn)!直角三角形有關(guān)的全等問(wèn)題中,除了特用的HL定理之外,在條件的尋找上首先就有了一組直角相等;而多個(gè)直角,多個(gè)垂直的圖形組合在一塊時(shí),就很容易利用“同(等)角的余角相等”來(lái)得到其他的角相等。圖1例一:圖1,已知DOBC,OC=OA,OB=OD,問(wèn)CD=AB嗎?分析:此圖形可看作繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到,由垂直得到一組直角,把結(jié)合其他兩組邊,很容易找到他們所在的三角形。變形1:請(qǐng)說(shuō)明BCE是直角三角形。(利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等,
10、以及直角三角形的兩個(gè)銳角互余這兩個(gè)性質(zhì)進(jìn)行代換和轉(zhuǎn)換)解:易得AOBCOD (此過(guò)程較簡(jiǎn)單,略過(guò)不描述) B=D(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等) 又 OAB=DAE(對(duì)頂角相等)而在RtAOB中,OAB+B=90(直角三角形的兩個(gè)銳角互余)AFBCED DAE+D=90(等量代換) 在ADE中,DEA=180(DAE+D)=90(三角形內(nèi)角和定理) BEC=90(補(bǔ)角性質(zhì)) 故BCE是直角三角形變形2:把兩個(gè)含有45角的直角三角板如圖1放置,點(diǎn)D在BC上,連結(jié)BE,AD,AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交BE于點(diǎn)F求證:AFBE 分析:此圖中要說(shuō)明AFBE,與上題中BCE是直角三角形是一樣的意思,只需要說(shuō)明BFD=90
11、即可變形3:兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置,圖2是由它抽象出的幾何圖形,在同一條直線(xiàn)上,連結(jié)CD (彩圖為提示)(1)請(qǐng)找出圖2中的全等三角形,并給予證明(說(shuō)明:結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母);圖2圖1(2)證明:CDBE圖2ABCEHD變形4、如圖2,在ABC中,高AD與BE相交于點(diǎn)H,且AD=BD,問(wèn)BHDACD,為什么?分析:此題實(shí)際上就是變形1的反問(wèn),已經(jīng)存在一組直角(由垂直得到),一組相等的邊(已知),再利用“同(等)角的余角相等”來(lái)得到第二組角相等!圖3ACMEFBD變形5:如圖3, 已知EDAB,EFBC,BD=EF,問(wèn)BM=ME嗎?說(shuō)明理由。圖4變形6:如圖4,
12、AD是一段斜坡,AB是水平線(xiàn),現(xiàn)為了測(cè)斜坡上一點(diǎn)D的豎直高度DB的長(zhǎng)度,歡歡在D處立上一竹竿CD,并保證CDAD,然后在竿頂C處垂下一根繩CE,與斜坡的交點(diǎn)為點(diǎn)E,他調(diào)整好繩子CE的長(zhǎng)度,使得CE=AD,此時(shí)他測(cè)得DE=2米,于是他認(rèn)定DB的高度也為2米,你覺(jué)得對(duì)嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由。圖5例二:如圖1,已知,ACCE,AC=CE, ABC=CDE=90,問(wèn)BD=AB+ED嗎?分析 :(1)凡是題中的垂直往往意味著會(huì)有一組90角,得到一組等量關(guān)系;圖6(2)出現(xiàn)3個(gè)垂直,往往意味著要運(yùn)用同(等)角的余角相等,得到另一組等量關(guān)系;(3)由全等得到邊相等之后,還要繼續(xù)往下面想,這幾組相等的邊能否組合在一起
13、:如如圖6,除了得到三組對(duì)應(yīng)邊相等之外,還可以得到AC=BD。解答過(guò)程:得到ABCCDE之后,可得到BC=DE,AB=CD BC+CD=DE+AB(等式性質(zhì))圖7 即:BD=AB+DE變形1:如圖7, 如果ABCCDE,請(qǐng)說(shuō)明AC與CE的關(guān)系。注意:兩條線(xiàn)段的關(guān)系包括:大小關(guān)系(相等,一半,兩倍之類(lèi))位置關(guān)系(垂直,平行之類(lèi))變形2:如圖,E是正方形ABCD的邊DC上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作FAAE交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F, 求證:DE=BF分析:注意圖形中有多個(gè)直角,利用同角的余角相等或等式性質(zhì)可到一組銳角相等。變形3:如圖8,在ABC中,BAC=90,AB=AC,AE是過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn),BDAE,CEAE
14、,圖8如果CE=3,BD=7,請(qǐng)你求出DE的長(zhǎng)度。分析 :說(shuō)明相等的邊所在的三角形全等,題中“AB=AC”,發(fā)現(xiàn):AB在RtABD中,AC在RtCAE中,所以嘗試著去找條件,去說(shuō)明它們所在的兩個(gè)Rt全等(如圖9)于是:已經(jīng)存在了兩組等量關(guān)系:AB=AC,直角=直角,再由多個(gè)垂直利用同角的余角相等,得到第三組等量關(guān)系。 解:由題意可得:在RtABD中,1+ABD=90(直角三角形的兩個(gè)銳角互余)1圖9 又 BAC=90(已知), 即1+CAE=90 ABD=CAE(等角的余角相等) 故在ABD與CAE中, BDA=AEC=90(垂直定義)ABD=CAE(已求) AB=AC(已知) ABDCAE(
15、AAS) AE=BD=7,AD=EC=3 (全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等) DE=AEAD=73=4變形4:在ABC中,ACB= 900,AC=BC,直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且ADMN于D,BEMN于E。(1)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖9的位置時(shí),ADCCEB,且 DE=AD+BE。你能說(shuō)出其中的道理嗎?(2)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時(shí), DE =AD-BE。說(shuō)說(shuō)你的理由。圖11(3)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時(shí),試問(wèn)DE,AD,BE 具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系。圖12圖1012等腰三角形、等邊三角形的全等問(wèn)題:必備知識(shí):如右圖,由1=2,可得CBE=DBA;反之,也成立。例三
16、:已知在ABC中,AB=AC,在ADE中,AD=AE,且1=2,請(qǐng)問(wèn)BD=CE嗎?分析這類(lèi)題目的難點(diǎn)在于,需要將本來(lái)就存在于同一個(gè)三角形中的一組相等的邊,分別放入兩個(gè)三角形中,看成是一組三角形的對(duì)應(yīng)邊, 題目中所給的ABC與ADE是用來(lái)干擾你的思路的,應(yīng)該去想如何把兩組相等的邊聯(lián)系到一起,加上所求的“BD=CE”,你會(huì)發(fā)現(xiàn)BD在ABD中,CE在ACE中,這樣一來(lái),“AB=AC”可以理解為:AB在ABD中,AC在ACE中,它們是一組對(duì)應(yīng)邊; “AD=AE”可以理解為:AD在ABD中,AE在ACE中,它們是一組對(duì)應(yīng)邊;21圖13所以只需要說(shuō)明它們的夾角相等即可。關(guān)鍵還是在于:說(shuō)明“相等的邊(角)所
17、在的三角形全等” 解: 1=2(已知) 1+CAD=2+CAD(等式性質(zhì)) 即: BAD=CAE 在ABD與ACE中, AB=AC(已知) BAD=CAE(已求) AD=AE21圖14 ABDACE(SAS) BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)變形1:如圖13,已知BAC=DAE,1=2,BD=CE,請(qǐng)說(shuō)明ABDACE.嗎?為什么?分析:例三是兩組邊相等,放入一組三角形中,利用SAS說(shuō)明全等, 此題是兩組角相等,那么該如何做呢?變形2:過(guò)點(diǎn)A分別作兩個(gè)大小不一樣的等邊三角形,連接BD,CE,請(qǐng)說(shuō)明它們相等。圖15分析:此題實(shí)際上是例三的變形,只不過(guò)將等腰三角形換成了等邊三角形,只要你根據(jù)所求
18、問(wèn)題,把BD看成在ABD的一邊,CE看成ACE的一邊,自然就得到了證明的方向。 解:ABC與ADE是等邊三角形, AB=AC, AD=AE BAC=DAE=60 BAC+CAD=DAE+CAD(等式性質(zhì)) 即: BAD=CAE接下來(lái)的過(guò)程與例三完全一致,不予描述! 圖16變形3:如圖1618,還是剛才的條件,把右側(cè)小等邊三角形的位置稍加變化,連接BD,CE,請(qǐng)說(shuō)明它們相等 這里僅以圖17進(jìn)行說(shuō)明 解: ABC與ADE是等邊三角形, AB=AC, AD=AE BAC=DAE=60圖17BACCAD=DAECAD【僅這步有差別】即:BAD=BAD=CAE 在ABD與ACE中, AB=AC(已知)
19、BAD=CAE(已求)圖18 AD=AE ABDACE(SAS) BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等) 圖16,圖18的類(lèi)型,請(qǐng)同學(xué)們自己去完成變形4:如圖,四邊形ABCD、DEFG都是正方形,連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M,CG與AD相交于點(diǎn)N求證:;分析:和上面相比,只不過(guò)等邊三角形換成正方形,60換成直角了,思路一樣例四: 如圖,ABC中,C=90,AB=2AC,M是AB的中點(diǎn),點(diǎn)N在BC上,MNAB.求證:AN平分BAC.分析:要說(shuō)明AN平分BAC,必須說(shuō)明兩角相等,可以說(shuō)明AMNCAN,而題中已有了一組直角相等,一組公共邊(斜邊)結(jié)合題目中條件,比較容易找到一邊直角邊相等,從而利用HL定理得到全等。變形1
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