實變函數(shù)與泛函分析總復習題

1、第一章 復習題（一）一、判斷題1、大人全體構成集合。（ ）2、小個子全體構成集合。（ ）3、所有集合都可用列舉法表示。（ ）4、所有集合都可用描述法表示。（ ）5、對任意集合，總有。（ ）6、。（ ）7、。（ ）8、若，則。（ ）9、，其中表示全集。（ ）10、。（ ）11、，。（ ）12、，。（ ）13、若，則。（ ）14、若，則，反之亦然。（ ）15、若，且，則。（ ）16、若，則。（ ）17、若，且，則。（ ）18、可數(shù)集的交集必為可數(shù)集。（ ）19、有限或可數(shù)個可數(shù)集的并集必為可數(shù)集。（ ）20、因整數(shù)集有理數(shù)集，所以為不可數(shù)集。（ ）21、。（ ）第二章 復習題一、判斷題1、設，則。

2、（ ）2、設，則。（ ）3、設，則。（ ）4、設點為點集的內點，則。（ ）5、設點為點集的外點，則。（ ）6、設點為點集的邊界點，則。（ ）7、設點為點集的內點，則為的聚點，反之為的聚點，則為的內點。（ ）8、設點為點集的聚點，則為的邊界點。（ ）9、設點為點集的聚點，且不是的內點，則為的邊界點。（ ）10、設點為點集的孤立點，則為的邊界點。（ ）11、設點為點集的外點，則不是的聚點，也不是的邊界點。（ ）12、開集中的每個點都是內點，也是聚點。（ ）13、開集中可以含有邊界點和孤立點。（ ）14、是開集的內部（開核）。（ ）15、任意多個開集的并集仍為開集。（ ）16、任意多個開集的交集仍為

3、開集。（ ）17、有限個開集的交集仍為開集。（ ）18、閉集中的每個點都是聚點。（ ）19、和都是閉集。（ ）20、是閉集。（ ）21、任意多個閉集的交集仍為閉集。（ ）22、任意多個閉集的并集仍為閉集。（ ）23、有限個閉集的并集仍為閉集。（ ）24、是開集是閉集。（ ）25、是完全集（完備集）是無孤立點的閉集。（ ）二、填空題1、設，是上的全部有理點，則；的內部 空集 ；。2、設，則；的內部 空集 ；。3、設，則；的內部；。4、設是康托（三分）集，則為 閉 集；為 完全 集；沒有 內 點； c ； 0 。5、設為上的開集的構成區(qū)間，則滿足，且，。6、設，寫出的所有的構成區(qū)間。7、設，寫出的

4、所有的構成區(qū)間。8、設為上的閉集，為的孤立點，則必為的兩個鄰接區(qū)間的 公共 端點。9、設為上的閉集，則的鄰接區(qū)間必為的構成區(qū)間。第三章復習題一、判斷題1、對任意，都存在。（ ）2、對任意，都存在。（ ）3、設，則可能小于零。（ ）4、設，則。（ ）5、設，則。（ ）6、。（ ）7、。（ ）8、設為中的可數(shù)集，則。（ ）9、設為有理數(shù)集，則。（ ）10、設為中的區(qū)間，則。（ ）11、設為中的無窮區(qū)間，則。（ ）12、設為中的有界集，則。（ ）13、設為中的無界集，則。（ ）14、是可測集是可測集。（ ）15、設是可測集列，則，都是可測集。（ ）16、零測集、區(qū)間、開集、閉集和Borel集都是可測

5、集。（ ）17、任何可測集總可表示成某個Borel集與零測集的差集。（ ）18、任何可測集總可表示成某個Borel集與零測集的并集。（ ）19、若，則。（ ）20、若是無限集，且，則是可數(shù)集。（ ）21、若，則必為無界集。（ ）22、在中必存在測度為零的無界集。（ ）23、若，都是可測集，且，則。（ ）24、和都是可測集，且，。（ ）25、設為可測集，則。（ ）26、設為可測集，且，則。（ ）二、填空題1、若是可數(shù)集，則 0 ；為 可測 集； 0 。2、若為可測集，則 小于或等于 ；若為兩兩不相交的可測集，則 等于 。3、設為可測集，則 大于或等于 ；若還有，則 大于或等于 。4、設為可測集，

6、且，則 等于 。5、設為的內點，則 大于 。6、設為康托三分集，則為 可測 集，且 0 。7、 0 ， + 。8、敘述可測集與型集的關系 可測集必可表示成一個型集與零測集的差集 。9、敘述可測集與型集的關系 可測集必可表示成一個型集與零測集的并集 。第四章 復習題一、判斷題1、設是定義在可測集上的實函數(shù)，如果對任意實數(shù)，都有為可測集，則為上的可測函數(shù)。（ ）2、設是定義在可測集上的實函數(shù)，如果對某個實數(shù)，有不是可測集，則不是上的可測函數(shù)。（ ）3、設是定義在可測集上的實函數(shù)，則為上的可測函數(shù)等價于對某個實數(shù)， 為可測集。（ ）4、設是定義在可測集上的實函數(shù)，則為上的可測函數(shù)等價于對任意實數(shù)，

7、為可測集。（ ）5、設是定義在可測集上的實函數(shù)，則為上的可測函數(shù)等價于對任意實數(shù)， 為可測集。（ ）6、設是定義在可測集上的實函數(shù)，則為上的可測函數(shù)等價于對任意實數(shù)和（）， 為可測集。（ ）7、設是零測集，是上的實函數(shù)，則為上的可測函數(shù)。（ ）8、若可測集上的可測函數(shù)列在上幾乎處處收斂于可測函數(shù)，則在上“基本上”一致收斂于。（ ）9、設為可測集上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則在上“基本上”連續(xù)。（ ）10、設為可測集，若上的可測函數(shù)列（），則的任何子列都在上幾乎處處收斂于可測函數(shù)。（ ）11、設為可測集，若上的可測函數(shù)列于，則（）。（ ）二、填空題1、 等于 ， 等于 。2、 包含于 ， 包含于

8、； 等于 ， 等于 。3、設，則 等于 。4、設，則 等于 。5、由于區(qū)間上的單調函數(shù)的不連續(xù)點所成的集為 至多可數(shù) 集，則為上的 幾乎處處 連續(xù)函數(shù)，從而為上的 可測 函數(shù)。6、敘述可測函數(shù)的四則運算性 可測函數(shù)經過四則運算所得的函數(shù)（只要有意義）仍可測 。7、敘述可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關系 簡單函數(shù)是可測函數(shù)；在幾乎處處收斂的意義下，任何可測函數(shù)總可表示成一列簡單函數(shù)的極限 。8、敘述可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關系 連續(xù)函數(shù)必為可測函數(shù)；可測函數(shù)“基本上”可以表示成一個連續(xù)函數(shù) 。9、敘述葉果洛夫定理 設E是測度有限的可測集，則E上幾乎處處收斂的可測函數(shù)列“基本上”一致收斂 。10、敘述魯津定理

9、設E是可測集，則E上的可測函數(shù)“基本上”是連續(xù)函數(shù) 。11、若，（），則 等于 幾乎處處于 。第五章復習題復習題（一）一、判斷題1、設是可測集上的非負簡單函數(shù)，則一定存在。（ ）2、設是可測集上的非負簡單函數(shù)，則在上勒貝格可積。（ ）3、設是可測集上的非負簡單函數(shù)，且，則在上勒貝格可積。（ ）4、設是可測集上的非負可測函數(shù)，則一定存在。（ ）5、設是可測集上的非負可測函數(shù)，則在上勒貝格可積。（ ）6、設是可測集上的非負簡單函數(shù)，且，則在上勒貝格可積。（ ）7、設是可測集上的可測函數(shù)，則一定存在。（ ）8、設是可測集上的可測函數(shù)，且，至少有一個成立，則一定存在。（ ）9、設是可測集上的可測函數(shù)，

10、且，至少有一個成立，則在上勒貝格可積。（ ）10、設是可測集上的可測函數(shù)， 若且，則在上勒貝格可積。（ ）11、設是可測集上的可測函數(shù)， 若，則。（ ）12、設是可測集上的可測函數(shù)， 若且，則。（ ）13、若為零測集，為上的任何實函數(shù)，則。（ ）14、若，則。（ ）15、若，則。（ ）16、若，則。（ ）17、若，為的可測子集，則。（ ）18、在上勒貝格積分值存在。（ ）19、若，且，則于。（ ）20、若在上可積，則若在上可積，且。 （ ）21、若，且于，則。（ ）22、若，則于。（ ）23、若，則于。（ ）24、若與存在，且，則。（ ）25、若存在，是的可測子集，且，則。（ ）26、勒貝格積

11、分也是黎曼廣義積分的推廣。（ ）二、計算題1、設，求。解：因為有理數(shù)集為零測集，所以，于，于是。2、設，其中為中的三分康托集，求。解：因為，所以，于，于是。第五章 復習題（二）一、判斷題1、設是可測集上的可測函數(shù)列，是可測集上的可測函數(shù)，如果于，則。（）2、設是可測集上的可測函數(shù)列，是可測集上的可測函數(shù)，如果（），則。（）3、設是可測集上的可測函數(shù)列，是可測集上的可測函數(shù)，如果且（）或于，則。（）4、設是可測集上的非負可測函數(shù)列，如果，則。（ ）5、設是可測集上的非負可測函數(shù)列，如果，則。（）6、設是可測集上的非負可測函數(shù)列，則。（）7、設是可測集上的非負可測函數(shù)列，則。（ ）8、設是可測集上的非負可測函數(shù)列，則。（ ）9、設是可測集上的非正可測函數(shù)列，則。（ ）10、設是可測集上的可測函數(shù)列，則。（）11、設在可測集上的勒貝格積分存在，且，則。（）12、設在可測集上的勒貝格積分存在，且，