實(shí)變函數(shù)與泛函分析總復(fù)習(xí)題

1、第一章 復(fù)習(xí)題（一）一、判斷題1、大人全體構(gòu)成集合。（ ）2、小個(gè)子全體構(gòu)成集合。（ ）3、所有集合都可用列舉法表示。（ ）4、所有集合都可用描述法表示。（ ）5、對(duì)任意集合，總有。（ ）6、。（ ）7、。（ ）8、若，則。（ ）9、，其中表示全集。（ ）10、。（ ）11、，。（ ）12、，。（ ）13、若，則。（ ）14、若，則，反之亦然。（ ）15、若，且，則。（ ）16、若，則。（ ）17、若，且，則。（ ）18、可數(shù)集的交集必為可數(shù)集。（ ）19、有限或可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并集必為可數(shù)集。（ ）20、因整數(shù)集有理數(shù)集，所以為不可數(shù)集。（ ）21、。（ ）第二章 復(fù)習(xí)題一、判斷題1、設(shè)，則。

2、（ ）2、設(shè)，則。（ ）3、設(shè)，則。（ ）4、設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)，則。（ ）5、設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)集的外點(diǎn)，則。（ ）6、設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)集的邊界點(diǎn)，則。（ ）7、設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)，則為的聚點(diǎn)，反之為的聚點(diǎn)，則為的內(nèi)點(diǎn)。（ ）8、設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)集的聚點(diǎn)，則為的邊界點(diǎn)。（ ）9、設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)集的聚點(diǎn)，且不是的內(nèi)點(diǎn)，則為的邊界點(diǎn)。（ ）10、設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)集的孤立點(diǎn)，則為的邊界點(diǎn)。（ ）11、設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)集的外點(diǎn)，則不是的聚點(diǎn)，也不是的邊界點(diǎn)。（ ）12、開(kāi)集中的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，也是聚點(diǎn)。（ ）13、開(kāi)集中可以含有邊界點(diǎn)和孤立點(diǎn)。（ ）14、是開(kāi)集的內(nèi)部（開(kāi)核）。（ ）15、任意多個(gè)開(kāi)集的并集仍為開(kāi)集。（ ）16、任意多個(gè)開(kāi)集的交集仍為

3、開(kāi)集。（ ）17、有限個(gè)開(kāi)集的交集仍為開(kāi)集。（ ）18、閉集中的每個(gè)點(diǎn)都是聚點(diǎn)。（ ）19、和都是閉集。（ ）20、是閉集。（ ）21、任意多個(gè)閉集的交集仍為閉集。（ ）22、任意多個(gè)閉集的并集仍為閉集。（ ）23、有限個(gè)閉集的并集仍為閉集。（ ）24、是開(kāi)集是閉集。（ ）25、是完全集（完備集）是無(wú)孤立點(diǎn)的閉集。（ ）二、填空題1、設(shè)，是上的全部有理點(diǎn)，則；的內(nèi)部 空集 ；。2、設(shè)，則；的內(nèi)部 空集 ；。3、設(shè)，則；的內(nèi)部；。4、設(shè)是康托（三分）集，則為 閉 集；為 完全 集；沒(méi)有 內(nèi) 點(diǎn)； c ； 0 。5、設(shè)為上的開(kāi)集的構(gòu)成區(qū)間，則滿足，且，。6、設(shè)，寫(xiě)出的所有的構(gòu)成區(qū)間。7、設(shè)，寫(xiě)出的

4、所有的構(gòu)成區(qū)間。8、設(shè)為上的閉集，為的孤立點(diǎn)，則必為的兩個(gè)鄰接區(qū)間的 公共 端點(diǎn)。9、設(shè)為上的閉集，則的鄰接區(qū)間必為的構(gòu)成區(qū)間。第三章復(fù)習(xí)題一、判斷題1、對(duì)任意，都存在。（ ）2、對(duì)任意，都存在。（ ）3、設(shè)，則可能小于零。（ ）4、設(shè)，則。（ ）5、設(shè)，則。（ ）6、。（ ）7、。（ ）8、設(shè)為中的可數(shù)集，則。（ ）9、設(shè)為有理數(shù)集，則。（ ）10、設(shè)為中的區(qū)間，則。（ ）11、設(shè)為中的無(wú)窮區(qū)間，則。（ ）12、設(shè)為中的有界集，則。（ ）13、設(shè)為中的無(wú)界集，則。（ ）14、是可測(cè)集是可測(cè)集。（ ）15、設(shè)是可測(cè)集列，則，都是可測(cè)集。（ ）16、零測(cè)集、區(qū)間、開(kāi)集、閉集和Borel集都是可測(cè)

5、集。（ ）17、任何可測(cè)集總可表示成某個(gè)Borel集與零測(cè)集的差集。（ ）18、任何可測(cè)集總可表示成某個(gè)Borel集與零測(cè)集的并集。（ ）19、若，則。（ ）20、若是無(wú)限集，且，則是可數(shù)集。（ ）21、若，則必為無(wú)界集。（ ）22、在中必存在測(cè)度為零的無(wú)界集。（ ）23、若，都是可測(cè)集，且，則。（ ）24、和都是可測(cè)集，且，。（ ）25、設(shè)為可測(cè)集，則。（ ）26、設(shè)為可測(cè)集，且，則。（ ）二、填空題1、若是可數(shù)集，則 0 ；為 可測(cè) 集； 0 。2、若為可測(cè)集，則 小于或等于 ；若為兩兩不相交的可測(cè)集，則 等于 。3、設(shè)為可測(cè)集，則 大于或等于 ；若還有，則 大于或等于 。4、設(shè)為可測(cè)集，

6、且，則 等于 。5、設(shè)為的內(nèi)點(diǎn)，則 大于 。6、設(shè)為康托三分集，則為 可測(cè) 集，且 0 。7、 0 ， + 。8、敘述可測(cè)集與型集的關(guān)系 可測(cè)集必可表示成一個(gè)型集與零測(cè)集的差集 。9、敘述可測(cè)集與型集的關(guān)系 可測(cè)集必可表示成一個(gè)型集與零測(cè)集的并集 。第四章 復(fù)習(xí)題一、判斷題1、設(shè)是定義在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有為可測(cè)集，則為上的可測(cè)函數(shù)。（ ）2、設(shè)是定義在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)，如果對(duì)某個(gè)實(shí)數(shù)，有不是可測(cè)集，則不是上的可測(cè)函數(shù)。（ ）3、設(shè)是定義在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)，則為上的可測(cè)函數(shù)等價(jià)于對(duì)某個(gè)實(shí)數(shù)， 為可測(cè)集。（ ）4、設(shè)是定義在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)，則為上的可測(cè)函數(shù)等價(jià)于對(duì)任意實(shí)數(shù)，

7、為可測(cè)集。（ ）5、設(shè)是定義在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)，則為上的可測(cè)函數(shù)等價(jià)于對(duì)任意實(shí)數(shù)， 為可測(cè)集。（ ）6、設(shè)是定義在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)，則為上的可測(cè)函數(shù)等價(jià)于對(duì)任意實(shí)數(shù)和（）， 為可測(cè)集。（ ）7、設(shè)是零測(cè)集，是上的實(shí)函數(shù)，則為上的可測(cè)函數(shù)。（ ）8、若可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列在上幾乎處處收斂于可測(cè)函數(shù)，則在上“基本上”一致收斂于。（ ）9、設(shè)為可測(cè)集上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則在上“基本上”連續(xù)。（ ）10、設(shè)為可測(cè)集，若上的可測(cè)函數(shù)列（），則的任何子列都在上幾乎處處收斂于可測(cè)函數(shù)。（ ）11、設(shè)為可測(cè)集，若上的可測(cè)函數(shù)列于，則（）。（ ）二、填空題1、 等于 ， 等于 。2、 包含于 ， 包含于

8、； 等于 ， 等于 。3、設(shè)，則 等于 。4、設(shè)，則 等于 。5、由于區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)所成的集為 至多可數(shù) 集，則為上的 幾乎處處 連續(xù)函數(shù)，從而為上的 可測(cè) 函數(shù)。6、敘述可測(cè)函數(shù)的四則運(yùn)算性 可測(cè)函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算所得的函數(shù)（只要有意義）仍可測(cè) 。7、敘述可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系 簡(jiǎn)單函數(shù)是可測(cè)函數(shù)；在幾乎處處收斂的意義下，任何可測(cè)函數(shù)總可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限 。8、敘述可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系 連續(xù)函數(shù)必為可測(cè)函數(shù)；可測(cè)函數(shù)“基本上”可以表示成一個(gè)連續(xù)函數(shù) 。9、敘述葉果洛夫定理 設(shè)E是測(cè)度有限的可測(cè)集，則E上幾乎處處收斂的可測(cè)函數(shù)列“基本上”一致收斂 。10、敘述魯津定理

9、設(shè)E是可測(cè)集，則E上的可測(cè)函數(shù)“基本上”是連續(xù)函數(shù) 。11、若，（），則 等于 幾乎處處于 。第五章復(fù)習(xí)題復(fù)習(xí)題（一）一、判斷題1、設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，則一定存在。（ ）2、設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，則在上勒貝格可積。（ ）3、設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，且，則在上勒貝格可積。（ ）4、設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則一定存在。（ ）5、設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則在上勒貝格可積。（ ）6、設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，且，則在上勒貝格可積。（ ）7、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，則一定存在。（ ）8、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，且，至少有一個(gè)成立，則一定存在。（ ）9、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，

10、且，至少有一個(gè)成立，則在上勒貝格可積。（ ）10、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)， 若且，則在上勒貝格可積。（ ）11、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)， 若，則。（ ）12、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)， 若且，則。（ ）13、若為零測(cè)集，為上的任何實(shí)函數(shù)，則。（ ）14、若，則。（ ）15、若，則。（ ）16、若，則。（ ）17、若，為的可測(cè)子集，則。（ ）18、在上勒貝格積分值存在。（ ）19、若，且，則于。（ ）20、若在上可積，則若在上可積，且。 （ ）21、若，且于，則。（ ）22、若，則于。（ ）23、若，則于。（ ）24、若與存在，且，則。（ ）25、若存在，是的可測(cè)子集，且，則。（ ）26、勒貝格積

11、分也是黎曼廣義積分的推廣。（ ）二、計(jì)算題1、設(shè)，求。解：因?yàn)橛欣頂?shù)集為零測(cè)集，所以，于，于是。2、設(shè)，其中為中的三分康托集，求。解：因?yàn)?，所以，于，于是。第五?復(fù)習(xí)題（二）一、判斷題1、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列，是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，如果于，則。（）2、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列，是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，如果（），則。（）3、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列，是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，如果且（）或于，則。（）4、設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，如果，則。（ ）5、設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，如果，則。（）6、設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，則。（）7、設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，則。（ ）8、設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，則。（ ）9、設(shè)是可測(cè)集上的非正可測(cè)函數(shù)列，則。（ ）10、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列，則。（）11、設(shè)在可測(cè)集上的勒貝格積分存在，且，則。（）12、設(shè)在可測(cè)集上的勒貝格積分存在，且，