[注冊土木工程師考試密押資料]基礎知識分類模擬題高等數(shù)學(八)

1、注冊土木工程師考試密押資料基礎知識分類模擬題高等數(shù)學(八)注冊土木工程師考試密押資料基礎知識分類模擬題高等數(shù)學(八)基礎知識分類模擬題高等數(shù)學(八)單項選擇題(下列選項中，只有一項符合題意)問題:1. 答案:B解析問題:2. 已知A.2B.-2C.0D.4答案:D解析 令 觀察矩陣B，容易發(fā)現(xiàn)B正是A的伴隨矩陣，即B=A*，故由AA*=|A|E，得 |A*|=|A|n-1=23-1=4 問題:3. 機床廠某日從兩臺機器所加工的同一種零件中，分別抽取，n1=20，n2=25的兩個樣本，檢驗兩臺機床的加工精度是否相同，則提出假設 。 答案:B解析 機床的加工精度應用方差來比較，并且檢驗精度是否相同

2、，所以假設問題:4. 設A、B、C為隨機事件，則 。A.P(A-B-C)=P(A)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)B.P(A-B-C)=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)C.P(A-B-C)=P(A)-P(AB)-P(BC)+P(ABC)D.P(A-B-C)=P(4)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)答案:B解析 P(A-B-C)=P(AB-C)=P(AB)-P(ABC)=P(A-B)-P(AC-B)=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)。問題:5. 若級數(shù)在x0時發(fā)散，在x=0時收斂，則常數(shù)a= 。A.1B.-1C.2D.-2答案:B解析 由已知，

3、若x=0時收斂，則必有|a|1。又a=1且x=0時，原級數(shù)僅當a=-1且x=0時，原級數(shù)收斂，故選B。問題:6. =i+2j+3k，=i-3j-2k，與、都垂直的單位向量為 。 答案:D解析 根據(jù)題意，先將向量表示為點：=(1，2，3)，=(1，-3，-2)；設與它們垂直的單位向齡為=(x，y，z)，則有 問題:7. 與向量(1，3，1)和(1，0，2)同時垂直的向量是 。A.(3，-1，0)B.(6，-1，-3)C.(4，0，-2)D.(1，0，1)答案:B解析 同垂直于向量(1，3，1)和(1，0，2)的向量應為c(1，3，1)(1，0，2)，其中C為不為零的常數(shù)，即 所以所求向量為c(6

4、，-1，-3)。 問題:8. 設函數(shù)y=f(x)在(0，+)內(nèi)有界且可導，則 。 答案:B解析 設所以f(x)在(0，+)內(nèi)有界， 由于 問題:9. 設則R0時，下面說法正確的是 。A.IR是R的一階無窮小B.IR是R的二階無窮小C.IR是R的三階無窮小D.IR至少是R的一階無窮小答案:B解析 由圓周的參數(shù)方程：從0到2；求出曲線積分IR： 上式右端的積分存在為常數(shù)，則 可見當R0時，IR是R的二階無窮小量。 問題:10. 冪級數(shù)收斂域是 。 答案:A解析 設所以收斂半徑R=3，-3x-13，-2x4，當x=-2時，冪級數(shù)為收斂；當x=4時，冪級數(shù)為調(diào)和級數(shù)，發(fā)散；故冪級數(shù)的收斂域為-2，4)

5、。問題:11. 設隨機變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，其概率密度為則E(X2+Y2)等于( )。 答案:A解析 從密度函數(shù)可以看出X、Y是獨立的標準正態(tài)分布，所以X2+Y2是服從自由度為2的X2分布，X2分布的期望值為自由度，故E(X2+Y2)=2。問題:12. 離散型隨機變量X的分布為P(X=k)=ck(k=0，1，2，)，則不成立的是 。 AC0 B01 Cc=1- 答案:D解析 A項，已知概率值尸必須大于O，故ck0，從而c0，0； B項，由概率分布函數(shù)的性質(zhì)可得： 已知等比級數(shù)只有當|1時收斂，又0，故01； C項 問題:13. 設(X1，X2)是來自任意總體X的一個容量為2的樣本，則

6、在下列E(X)的無偏線性估計量中，最有效的估計量是 。 答案:D解析 在所有線性無偏估計中，以方差最小為最有效，故D入選。問題:14. 將3個球隨機地放入4個杯子中，則杯中球的最大個數(shù)為2的概率為 。 答案:C解析 把3個球放到4個杯子，每個球都有4種方法，共43種放法。杯中球的最大個數(shù)為2的放法為：從3個球中取2球放入其中的一個杯子，剩下的一個球放入到另外的一個杯子中，共有種放法。由古典型概率可得： 杯中球的最大個數(shù)為2的概率 問題:15. 微分方程y+y=x2+1+sinx的特解形式可設為 。A.y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B.y*=x(ax2+bx+c+Asinx

7、+Bcosx)C.y*=ax2+bx+c+AsinxD.y*=ax2+bx+c+Acosx答案:A解析 對應齊次方程y+y=0的特征方程為2+1=0，特征根為A=i，對y+y=x2+1=e0(x2+1)而言，因0不是特征根，從而其特解形式可設為： y+y=sinx，因i為特征根，從而其特解形式可設為： 從而y+y=x2+1+sinx的特解形式可設為： y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。 問題:16. 設函數(shù)f(x)在(-，+)內(nèi)連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖1-2-1所示，則f(x)有 。 A.一個極小值點和兩個極大值點B.兩個極小值點和一個極大值點C.兩個極小值點和兩個極大值點

8、D.三個極小值點和一個極大值點答案:C解析 據(jù)導函數(shù)的圖形可知，一階導數(shù)為零的點有3個，而x=0是導數(shù)不存在的點。三個一階導數(shù)為零的點左右兩側(cè)導數(shù)符號不一致，必為極值點，且兩個極小值點，一個極大值點；在x=0左側(cè)一階導數(shù)為正，右側(cè)一階導數(shù)為負，可見x=0為極大值點，故f(x)共有兩個極小值點和兩個極大值點。問題:17. 微分方程ydx+(x-y)dy=0的通解是 。 答案:A解析 微分方程ydx+(x-y)dy=0可寫成ydx+xdy=ydy； 右端僅含y，求積分得y2。左端即含x又含y，它不能逐項積分，但卻可以化稱d(xy)，因此，直接求積分得到xy，從而便得到微分方程的隱式解： 問題:18

9、. 微分方程y=x+sinx的通解是 。(c1，c2為任意常數(shù)) 答案:B解析 兩邊積分可得 問題:19. 下列方程中代表錐面的是 。 答案:A解析 錐面方程的標準形式為：問題:20. 已知函數(shù)f(x，y)在點(0，0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，則 。A.點(0，0)不是f(x，y)的極值點B.點(0，0)是f(x，y)的極大值點C.點(0，0)是f(x，y)的極小值點D.根據(jù)所給條件無法判斷點(0，0)是否為f(x，y)的極值點答案:A解析 由題設，容易推知f(0，0)=0，因此點(0，0)是否為f(x，y)的極值點，關鍵看在點(0，0)的充分小的鄰域內(nèi)f(x，y)是恒大于零、恒小于零還是變號。 知

10、，分子的極限必為零，從而有f(0，0)=0，且 f(x，y)-xy(x2+y2)。(|x|，|y|充分小時) 于是 f(x，y)-f(0，0)xy+(x2+y2)2 可見當y=x且|x|充分小時，f(x，y)-f(0，0)x2+4x40； 而當y=-x且|x|充分小時，f(x，y)-f(0，0)-x2+4x40。 故點(0，0)不是f(x，y)的極值點。 問題:21. 設1，2，3是齊次線性方程組Ax=0的基礎解系。則該方程組的基礎解系還可以表示為 。A.1，1+2，1+2+3B.1-2，2-3，3-1C.1，2，3的一個等價向量組D.1，2，3的一個等秩向量組答案:A解析 因為等秩的向量組不

11、一定是方程組Ax=0的解向量，所以排除D； 因為等價的向量組的個數(shù)不一定是3，所以排除C； 因為1，2，3是Ax=0的基礎解系，所以1，2，3線性無關，而選項B中，1-2，2-3，3-1。這三個向量雖然都是方程組_Ax=0的解，但由(1-2)+(2-3)+(3-1)=0可得這三個向量線性相關，所以也不符合基礎解系的定義，故排除B； 事實上，向量1，1+2，1+2+3都是方程組Ax=0的解，并且它們線性無關，所以它們構成線性方程組Ax=0的一組基礎解系。 問題:22. 設平面平行于兩直線及2x=y=z，且與曲面z=x2+y2+1相切，則的方程為 。A.4x+2y-z=0B.4x-2y+z+3=0

12、C.16x+8y-16z+11=0D.16x-8y+8z-1=0答案:C解析 由平面平行于兩已知直線，知平面的法向量為 n=(2，-2，1)(1，2，2)=-3(2，1，-2) 設切點為(x0，y0，z0)，則切點處曲面的法向量為(2x0，2y0，-1)，故 問題:23. 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間的兩個端點處必 。A.都是收斂的B.都是發(fā)散的C.左端點收斂，右端點發(fā)散D.左端點發(fā)散，右端點收斂答案:D解析 冪級數(shù)的收斂半徑為 當-3x-13，即當-2x4時冪級數(shù)收斂。 在左端點x=-2處，級數(shù)為 因un0(n)，且|un|un+1|，故由萊布尼茲判別法知，該交錯級數(shù)收斂。 因此，所給級數(shù)在(-2，4

13、上收斂。 問題:24. 若A、B為非零常數(shù)，C1、C2為任意常數(shù)，則微分方程y+k2y=cosx的通解應具有形式 。A.C1coskx+C2sinkx+Asinx+BcosxB.C1coskx+C2sinkx+AxcosxC.C1coskx+Czsinkx+AxsinxD.C1coskx+C2sinkx+Axsinx+Bxcosx答案:C解析 齊次方程的通解為C1coskx+C2sinkx，只需驗證哪一個是非齊次方程的特解，如果非齊次方程的特解形式為Asinx+Bcosx，說明此時k1，經(jīng)驗證可知特解為cos， 問題:25. 設A是n階矩陣，且Ak=O(尼為正整數(shù))，則 。A.A一定是零矩陣B

14、.A有不為0的特征值C.A的特征值全為0D.A有n個線性無關的特征向量答案:C解析 設A是A的特征值，對應的特征向量為，則有 A= Ak=k=0 由0，有k=0，即=0，故A的特征值全為0。 若A有n個線性無關的特征向量，則A可對角化，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=O，則必有A=O，與題意矛盾。 問題:26. 三個平面x=cy+bz，y=az+cx，z=bx+ay過同一直線的充要條件是 。A.a+b+c+2abc=0B.a+b+c+2abc=1C.a2+b2+c2+2abc=0D.a2+b2+c2+2abc=1答案:D解析 由于三個平面過同一直線線性齊次方程組有無窮解行列式 問題:27.

15、設事件A，B相互獨立，且則等于 。 答案:A解析 由條件概率公式得又A、B相互獨 問題:28. 若直線相交，則必有( )。 答案:D解析 如果兩直線相交，則這兩條直線的方向向量與這兩條直線上兩點連線構成的向量應在同一平面上，由此來確定。點A(1，-1，1)，B(-1，1，0)分別為兩條直線上的一點，則兩條直線的方向向量分別為s1=(1，2，)，s2=(1，1，1)，這三個向量應在同一個平面上，解得：。問題:29. 設 答案:B解析 先用第一類換元積分法計算積分得an。再利用求極限。 問題:30. 曲線y=x3-6x上，切線平行于x軸的點是 。 答案:C解析 設該點為(x0，y0)，因為切線平行

16、于x軸，則說明切線的斜率為0，于是有 問題:31. 設函數(shù)f(x)在x=x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在x=x0處可導，則函數(shù)f(x)|f(x)|在x=x0處 。A.可導，且導數(shù)為2f(x)f(x0)B.可導，且導數(shù)為2f(x0)|f(x0)|C.可導，且導數(shù)為2|f(x0)|f(x0)|D.不可導答案:C解析 令g(x)=-f(x)|f(x)|。 問題:32. 設兩函數(shù)f(x)及g(x)都在x=a處取得極大值，則函數(shù)F(x)=f(x)g(x)在x=a處 。A.必取極大值B.必取極小值C.不可能取極值D.是否取極值不能確定答案:D解析 本題可通過選擇適當?shù)睦?，排除不正確的選項。 令 則x=0是f(x)

17、，g(x)的極大值點，但 這時x=0并不是F(x)的極大值點，而是F(x)的極小值點，故AC兩項不正確。 若令 則 從而x=0是F(x)的極大值點，故B項不正確。 問題:33. 已知曲面z=4-x2-y2上點P處的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0，則點P的坐標是 。A.(1，-1，2)B.(-1，1，2)C.(1，1，2)D.(-1，-1，2)答案:C解析 即求曲面S：F(x，y，z)=0，其中F(x，y，z)=z+x2+y2-4上點P使S在該點處的法向量n與平面：2z+2y+z-1=0的法向量n0=(2，2，1)平行。 S在P(x，y，z)處的法向量nn0n=n0，為常數(shù)，即2x=2，

18、2y=2，1=。即x=1，y=1，又點P(x，y，z)Sz=4-x2-y2(x，y)=(1，1)=2，求得P(1，1，2)(P不在給定的平面上)。 問題:34. 設平面曲線l：，其所圍成的區(qū)域分別記為D和D1，則有 。 答案:A解析 由對稱性知 問題:35. 在曲線x=t，y=-t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z=4平行的切線 。A.只有1條B.只有2條C.至少有3條D.不存在答案:B解析 求曲線上的點，使該點處的切向量與平面x+2y+z=4的法向量n=(1，2，1)垂直。曲線在切點處的切向量 =(x(t)，y(t)，z(t)=(1，-2t，3t2) 即1-4t+3t2=0， 解得

19、t=1，。(對應于曲線上的點均不在給定的平面上) 因此，只有兩條這種切線。 問題:36. 設 答案:C解析 由題設知，應先將f(x)從0，1)作偶延拓，使之成為區(qū)間-1，1上的偶函數(shù)，然后再作周期(周期為2)延拓，進一步展開為傅里葉級數(shù)，根據(jù)收斂定理有 問題:37. 已知f(x)是二階可導的函數(shù)，y=e2f(x)，。A.e2f(x)B.e2f(x)f(x)C.e2f(x)(2f(x)D.2e2f(x)2(f(x)2+f(x)答案:D解析 將y看作一個復合函數(shù)，利用復合函數(shù)的求導法則可得： 問題:38. 一元回歸方程不一定經(jīng)過的點是 。 答案:D解析問題:39. 級數(shù)(常數(shù)0) 。A.發(fā)散B.條

20、件收斂C.絕對收斂D.收斂性與有關答案:C解析 由正項級數(shù)的比較判別法知，也收斂，從而原級數(shù)絕對收斂。 問題:40. 設總體X的數(shù)學期望與方差2存在，X1，X2，Xn是X的樣本，則 可以作為2的無偏估計。 答案:A解析 當已知時，為統(tǒng)計量，利用定義D(Xi)=E(Xi-)2=D(X)=2，驗證之。 問題:41. 設其中是由所圍成的，則I= 。 答案:B解析 設圓錐側(cè)面，球面上側(cè)所圍區(qū)域為1，球面與平面z=1，圓錐面所圍區(qū)域為2(見圖1-3-3)，則 問題:42. 假設總體X服從正態(tài)分布N(，1)，關于總體X的數(shù)學期望的兩個假設H0：=0；H1：=1。已知X1，X是來自總體X的簡單隨機樣本，為其

21、均值。以u表示標準正態(tài)分布上分位數(shù)，H0的4個否定域分別取為 相應的犯第一類錯誤的概率為i，犯第二類錯誤的概率為i(i=1，2，3，4)，則 。 A.i相等，i相等B.i相等，i不相等C.i不相等，i相等D.i不相等，i不相等答案:B解析 由題設知H0成立時，總體XN(0，1)，且i=PVi|0成立=0.05，即犯第一類錯誤的概率i相等，對于相同的顯著性水平而言，一般來蛻不同的否定域犯第二類錯誤的概率i是不同的，因此選擇B。 問題:43. 曲線r=aeb(a0，b0)從=0到=(0)的一段弧長為 。 答案:A解析 利用極坐標方程表示曲線的弧長公式， 評注 也可用參數(shù)方程的弧長公式來計算： 問題:44. 設三向量a，b，c滿足關系式ab=ac，則 。A.必有a=0或b=cB.必有a=b-c=0C.當a0時必有b=cD.a與(b-c)均不為0時必有a(b-c)答案:D解析 因ab=ac且a0，b-c0，故ab-ac=0，即a(b-c)=0，a(b-c)。問題:45. 已知曲面z=4-x2-y2上點P處的切平面平行于