2019年大一高數復習資料83557.doc

1、高等數學（本科少學時類型）第一章函數與極限第一節(jié)函數函數基礎（高中函數部分相關知識）（）鄰域（去心鄰域） （ ）Ua,x | xaUa,x | 0xa第二節(jié)數列的極限數列極限的證明（）【題型示例】已知數列xn ，證明lim xnax【證明示例】N 語言1由 xna化簡得 n g， Ng2即對0 ， Ng，當 nN 時，始終有不等式 xn a成立， limxnax第三節(jié)函數的極限 xx0 時函數極限的證明（）【題型示例】已知函數f x，證明 lim f xAx x0【證明示例】語言1由 f xA化簡得 0xx0gg2即對0，g ，當 0 x x0 limf xAx x 0，時，始終有不等式fxA

2、成立， x時函數極限的證明（）【題型示例】已知函數f x ，證明 lim f xAx【證明示例】X 語言1由 f xA化簡得 xg， Xg2即對0 ，Xg，當 xX 時，始終有不等式fxA成立， lim f xAx高等數學期末復習資料第 1頁（共 1頁）第四節(jié)無窮小與無窮大無窮小與無窮大的本質（）函數 f x 無窮小limf x 0函數 f x 無窮大limf x無窮小與無窮大的相關定理與推論（）（定理三）假設f x 為有界函數， g x 為無窮小，則 lim f x g x（定理四）在自變量的某個變化過程中，若f x為無窮大，則?。环粗?，若f x 為無窮小，且 f x0 ，則 f1 x 為無

3、窮大【題型示例】計算：limf xg x （或 x）x x00f 1 x 為無窮1 fx M 函數 fx在xx0 的任一去心鄰域 U x0 ,內是有界的；（ fx M ，函數 fx在 x D 上有界；）2 limgx0即函數 g x 是 xx0 時的無窮??；xx0（ limgx0 即函數 g x是 x時的無窮小；）x3由定理可知 limfxg x0xx0（ limfxgx0）x第五節(jié)極限運算法則極限的四則運算法則（）（定理一）加減法則（定理二）乘除法則關于多項式 p x、 q x 商式的極限運算設：p x a0xma1 xm 1amq x b0 xnb1xn 1bnnm則有 limp xa0n

4、mxq xb0nm0fx0gx00gx0fxgx00, fx00limxx x0 g0gx0fx000高等數學期末復習資料第 2頁（共 2頁）（特別地，當f x0 （不定型）時，通常分子分母約去公因式即約去可limx x0 g x0去間斷點便可求解出極限值，也可以用羅比達法則求解）【題型示例】求值limx3x3x29【 求 解 示 例 】 解 ： 因 為 x3 ， 從 而 可 得 x3，所以原式limx3limx3lim11x29x 3x 3 x 3 x 3x 3 x 3 6其中 x3 為函數 fxx3 的可去間斷點x29倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節(jié)）：0x3解： limx3 0l

5、im11limx 3 x29 L x 3x29x 3 2x 6連續(xù)函數穿越定理（復合函數的極限求解）（）（定理五）若函數fx 是定義域上的連續(xù)函數，那么，limfxf limxx x0x x0【題型示例】求值：limx3x29x 3【求解示例】limx3limx316x29x2966x 3x3第六節(jié)極限存在準則及兩個重要極限夾迫準則（ P53）（）第一個重要極限： lim sin x1x0x x 0,， sin xxtan x lim sin x12x 0xx1lim1limx01limsin xsin xx 0 sin xx0xlimxx0（特別地，limsin( xx0 )1）xx0x x

6、0單調有界收斂準則（P57）（）1x第二個重要極限： lim 1exx高等數學期末復習資料第 3頁（共 3頁）（一般地， limfxg xlimfxlim g x，其中 lim f x0 ）【題型示例】求值：2x3x 1limx2x1【求解示例】x1x 1x 1解：2x3lim2x12lim12lim2x12 x12x1xx2 x 12 x 122x 12x1x12 x 122lim122 x1lim122 x 12x12 x12x1lim2x12 x122 x 12 x1lim2x122 x 1lim12 x 12x1e2 x 1lim2 x22 x1e1ee2 x 1第七節(jié)無窮小量的階（無

7、窮小的比較）等價無窮小（）1U sin U tanU arcsin U arctan U ln(1 U )U1 e2 1U2 1 cosU2（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：limln 1x 2x ln 1xx 0x3 x【求解示例】解：因為x即0,所以原式ln 1xx ln 1x0, xlim2x0x3x1 x ln 1 x1 x xx 1 1limlimlimx 0x x 3x 0 x x 3x 0 x 3 3第八節(jié)函數的連續(xù)性函數連續(xù)的定義（）lim f xlim fxf x0x x0x x0間斷點的分類（ P67）（）第一類間斷點（左右極跳越間斷點（不等）限存在）可去間斷點（相等

8、）（特別地，可去間斷點能在分式中約去第二類間斷點無窮間斷點（極限為）相應公因式）【題型示例】設函數f xe2x， x0 應該怎樣選擇數 a ，使得 f x 成為在 R 上a xx0高等數學期末復習資料第 4頁（共 4頁）的連續(xù)函數？【求解示例】f 0e2 0e1e1 f 0a 0af 0a2由連續(xù)函數定義lim f xlim f xf 0ex0x0 ae第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質零點定理（）【題型示例】證明：方程fxg xC 至少有一個根介于a 與 b 之間【證明示例】1（建立輔助函數）函數xfxg xC 在閉區(qū)間a, b 上連續(xù)；2ab0 （端點異號）3由零點定理， 在開區(qū)間a, b 內至

9、少有一點，使得0 ，即 fgC0（ 01）4這等式說明方程f xgxC 在開區(qū)間 a, b 內至少有一個根第二章 導數與微分第一節(jié) 導數概念高等數學中導數的定義及幾何意義（P83）（）【題型示例】已知函數fxex1， x0 在 x 0處可導，求 a ， baxbx0【求解示例】1 f 0 e01 ， f 0e01 e01 2f 0 af 0be0f 0122由函數可導定義f0f0a1f0f 0f0 b 2 a 1,b 2【題型示例】求y fx 在 xa 處的切線與法線方程（或：過 y f x圖像上點 a, fa處的切線與法線方程）【求解示例】1 y f x ， y |x af a高等數學期末復

10、習資料第 5頁（共 5頁）2切線方程：法線方程：yfafa xayfa1afxa第二節(jié)函數的和（差） 、積與商的求導法則函數和（差）、積與商的求導法則（）1線性組合（定理一） ： ( uv)uv特別地，當1 時，有 (uv)uv2函數積的求導法則（定理二） ： (uv)u vuv3函數商的求導法則（定理三） ： uu v2uvvv第三節(jié)反函數和復合函數的求導法則反函數的求導法則（）【題型示例】求函數f 1x的導數【求解示例】由題可得 fx為直接函數， 其在定于域 D上單調、可導，且 f x0 ； f 1xf1x復合函數的求導法則（）【題型示例】設y lnearcsinx21x2a2，求 y【求

11、解示例】解： y1earcsin x2 1x2a2earcsin x2 1x2a21earcsin x21x 21x2a2earcsin x 2 1x2a21x212 x2a22x1earcsin x212 x212xearcsin x 2 1x2a22x22x2a21earcsin x21xxearcsin x 2 1x2a2x 212x2x 2a 2第四節(jié)高階導數 f n xf n 1 x（或 dn yd n 1 y ）（）dxndx n 1【題型示例】求函數yln 1x 的 n 階導數【求解示例】111，yx1x高等數學期末復習資料第 6頁（共 6頁）xy1 x111 x2 ，y1121

12、3x2 1 xy n( 1)n 1 ( n 1)！(1 x) n第五節(jié)隱函數及參數方程型函數的導數隱函數的求導（等式兩邊對x 求導）（）【題型示例】試求：方程 y xey 所給定的曲線 C ： yy x 在點 1e,1 的切線方程與法線方程【求解示例】由y xey 兩邊對 x 求導即yxey化簡得 y1eyy1 1y 1 e1 1 e切線方程：y11x1e1 e法線方程： y 11 e x 1 e參數方程型函數的求導【題型示例】設參數方程xt ，求 d 2 yytdx2d 2 ydydytdx【求解示例】 1. dxt2.dx2t第六節(jié)變化率問題舉例及相關變化率（不作要求）第七節(jié)函數的微分基本

13、初等函數微分公式與微分運算法則（）dyfx dx第三章中值定理與導數的應用第一節(jié)中值定理引理（費馬引理） （）羅爾定理（）【題型示例】 現假設函數 f x 在 0,上連續(xù)，在 0,上可導，試證明：0, ，使得 fcosfsin0 成立【證明示例】1（建立輔助函數）令fx sin x高等數學期末復習資料第 7頁（共 7頁）顯然函數x 在閉區(qū)間 0,上連續(xù)，在開區(qū)間0,上可導；2又0f 0 sin00fsin0即003由羅爾定理知0,，使得 fcosfsin0成立拉格朗日中值定理（）【題型示例】證明不等式：當x1 時， exe x【證明示例】1（建立輔助函數） 令函數 fx ex ，則對 x1，顯

14、然函數 fx 在閉區(qū)間1,x上連續(xù)，在開區(qū)間1,x上可導，并且 fx ex ；2由拉格朗日中值定理可得，1, x使得等式 exe1x 1e 成立，又 ee1 ， exe1x 1 e1e x e ，化簡得 exex ，即證得：當 x1時， exe x【題型示例】證明不等式：當x0 時， ln 1 xx【證明示例】1（建立輔助函數） 令函數 fxln 1x，則對x0，函數 fx 在閉區(qū)間0,x上連續(xù)，在開區(qū)間0,上可導，并且fx1；1x2由拉格朗日中值定理可得，0,x 使得等式 ln1xln 11x 0成立，01化簡得 ln1 x10, x ，1x ，又 f1， ln 1 x1 x x ，11即證

15、得：當x1 時， exe x第二節(jié)羅比達法則運用羅比達法則進行極限運算的基本步驟（）2判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運用羅比達法則的三個前提條件A 屬于兩大基本不定型（0 , ）且滿足條件，則進行運算：f xf x0limlimx a g xx a g x（再進行 1、 2 步驟，反復直到結果得出）高等數學期末復習資料第 8頁（共 8頁）B 不屬于兩大基本不定型（轉化為基本不定型） 0 型（轉乘為除，構造分式）【題型示例】求值：【求解示例】lim xln xx0ln xln x1解：xln x limlimlimlim x1x 0x 0 1L x 0x 0xx1x2x1 lim x0a x

16、 0（一般地， lim xln x0 ，其中,R ）x 0 型（通分構造分式，觀察分母）【題型示例】求值：lim11sin xxx0【求解示例】解：11x sin xxsin xlimsin xlimx sin xlimx2x 0xx 0x00x sin x01cosx0limlim 1cosx 0limlim sin x0 00 型（對數求極限法）Lx 02x 02xLx 02xx 02x【題型示例】求值：【求解示例】lim xxx0解：設yx,兩邊取對數得：ln xxln xxln yxln x1x對對數取x時的極限：limln xln x0lim ln y1limx 0x 0L x 01

17、xx1 1 型（對數求極限法）x，從而有l(wèi)n ylimln y0x 0limlim xlim ylim eee 110x 0x 0x 0x 0x2【題型示例】求值：【求解示例】1lim cos xsin x xx0高等數學期末復習資料第 9頁（共 9頁）1ln cos x sin x解：令 ycosx sin x x ,兩邊取對數得 ln y,x對ln y求時的極限，lncos xsin xx 0lim ln y limxx 0x 00lncos xsin xcos xsin x10從而可得0limlim1,sin x10Lx0xx0 cos xlim y= lim eln ylim lnye

18、ex 0e1x0x0 0 型（對數求極限法）【題型示例】求值：1tan xlimx 0x【求解示例】tan x1解：令 y1,兩邊取對數得 ln y,xtan x lnx對求x時的極限，tan x1ln y0lim ln y limlnx 0x0xln xln x1limlimlimx12x0Lx 01x0sec xtan xtan2 xtan x202x0lim sinxsinli m 2sin xcos x0,limx 0xL x 0xx01從而可得 lim y= lim eln ylimln y1ex 0e0x0x0運用羅比達法則進行極限運算的基本思路（）0000(1)(2)(3)010

19、通分獲得分式（通常伴有等價無窮小的替換）取倒數獲得分式（將乘積形式轉化為分式形式）取對數獲得乘積式（通過對數運算將指數提前）第三節(jié)泰勒中值定理（不作要求）第四節(jié)函數的單調性和曲線的凹凸性連續(xù)函數單調性（單調區(qū)間）（）【題型示例】試確定函數f x2x39x212x 3的單調區(qū)間【求解示例】1函數fx 在其定義域R 上連續(xù)，且可導 fx6x218x12高等數學期末復習資料第 10 頁（共 10 頁）2令 f x 6x 1 x 20 ，解得： x1 1, x2 23（三行表）x,111,222,f x00fx極極大小值值4函數 fx的單調遞增區(qū)間為,1,2,；單調遞減區(qū)間為1,2【題型示例】證明：當

20、x0 時， exx1【證明示例】1（構建輔助函數）設xexx1，（ x 0）2x ex1 0 ，（ x0 ）x003既證：當 x0 時， exx1【題型示例】證明：當x0 時， ln 1xx【證明示例】1（構建輔助函數）設xln1xx，（ x0 ）211 0，（ x0）x1 x x0 03既證：當x0 時， ln 1xx連續(xù)函數凹凸性（）【題型示例】試討論函數y13x2x3 的單調性、極值、凹凸性及拐點【證明示例】1 y3x26 x63x x 2y6 x6x12令 y3xx200 解得：x10, x2 2y6x1x13（四行表）x ( ,0)0(0,1)1(1,2) 2 (2,)高等數學期末復

21、習資料第 11 頁（共 11 頁）y00yy1(1,3)54函數 y13x2x3單調遞增區(qū)間為(0,1) , (1,2) 單調遞增區(qū)間為 ( ,0) ,(2,) ；函數 y13x2x3的極小值在 x 0 時取到，為 f 01，極大值在 x2 時取到，為 f 25；函數 y13x2x3在區(qū)間 (,0) , (0,1)上凹，在區(qū)間(1,2) , (2, ) 上凸；函數 y13x2x3的拐點坐標為 1,3第五節(jié) 函數的極值和最大、最小值函數的極值與最值的關系（）設函數 fx 的定義域為 D ，如果 xM 的某個鄰域 U xMD ，使得對x U xM ，都適合不等式fxf xM，我們則稱函數 fx 在

22、點 xM , f xM處有極大值 fxM ；令 xMxM 1 , xM 2 , xM 3 ,., xMn則函數 fx 在閉區(qū)間 a, b上的最大值 M 滿足：M max fa , xM 1 , xM 2 , xM 3,., xMn , f b；設函數 fx 的定義域為 D ，如果 xm 的某個鄰域 U xmD ，使得對x U xm ，都適合不等式 fxf xm ，我們則稱函數fx 在點 xm, f xm處有極小值 fxm ；令 xmxm1 , xm2 , xm3,., xmn則函數 fx 在閉區(qū)間 a, b上的最小值 m 滿足：m min fa , xm1 , xm2 , xm 3,., xm

23、n , f b；【題型示例】求函數f x3xx3 在1,3 上的最值【求解示例】1函數 fx 在其定義域1,3 上連續(xù)，且可導 f x3x232令 f x3 x 1x 1 0 ，解得： x11, x213（三行表）x11,111,3f x00高等數學期末復習資料第 12 頁（共 12 頁）極極fx小大值值4又 f12, f 1 2, f318 f xmaxf1 2, f x minf318第六節(jié)函數圖形的描繪（不作要求）第七節(jié)曲率（不作要求）第八節(jié)方程的近似解（不作要求）第四章 不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質原函數與不定積分的概念（）原函數的概念：假設在定義區(qū)間 I上，可導函數 F x 的

24、導函數為 F x ，即當自變量 x I時，有 Fx fx 或 dFxfx dx 成立，則稱 F x為 f x 的一個原函數原函數存在定理： （）如果函數 f x 在定義區(qū)間 I上連續(xù)，則在 I 上必存在可導函數Fx使得F x fx ，也就是說：連續(xù)函數一定存在原函數（可導必連續(xù)）不定積分的概念（）在定義區(qū)間 I 上，函數 f x的帶有任意常數項C 的原函數稱為fx在定義區(qū)間 I 上的不定積分，即表示為：f x dx F xC（ 稱為積分號， f x 稱為被積函數，f x dx 稱為積分表達式， x 則稱為積分變量）基本積分表（）不定積分的線性性質（分項積分公式）（）k1 fxk2 gxdxk1fx