西安電子科技大學(xué)研究生課程隨機(jī)過程1.3

1、七七 幾類重要的隨機(jī)過程幾類重要的隨機(jī)過程 之前按照參數(shù)和狀態(tài)對隨機(jī)過程進(jìn)行了簡單的分類之前按照參數(shù)和狀態(tài)對隨機(jī)過程進(jìn)行了簡單的分類. 隨機(jī)過程可以按照不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類隨機(jī)過程可以按照不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類. 本講按照隨機(jī)過程所具有的一些性質(zhì)本講按照隨機(jī)過程所具有的一些性質(zhì),介紹幾類重要介紹幾類重要 的隨機(jī)過程的隨機(jī)過程: 二階矩過程二階矩過程 正態(tài)過程正態(tài)過程 正交增量過程正交增量過程 獨(dú)立增量過程獨(dú)立增量過程 Wiener過程過程 Poisson過程過程 1.二階矩過程二階矩過程 定義定義若若S.P.X(t),tTS.P.X(t),tT的一、二階矩存在，的一、二階矩存在， 則稱則稱. .X(

2、t),tT.X(t),tT是是二階矩過程二階矩過程 注注 二階矩過程的均值函數(shù)與相關(guān)函數(shù)一定存在二階矩過程的均值函數(shù)與相關(guān)函數(shù)一定存在 可利用均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)討論二階矩陣過程可利用均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)討論二階矩陣過程 的性質(zhì)的性質(zhì).(下章內(nèi)容下章內(nèi)容) 二階矩過程的相關(guān)函數(shù)具有以下性質(zhì)二階矩過程的相關(guān)函數(shù)具有以下性質(zhì) 定理定理 設(shè)設(shè)X(t),tTX(t),tT是二階矩過程是二階矩過程, ,則相關(guān)函數(shù)則相關(guān)函數(shù)R RX X(s,t)(s,t) 有有 (1)(1)共軛對稱性共軛對稱性 R RX X(s,t)=R(s,t)=RX X(t,s)(t,s) (2)非負(fù)定性非負(fù)定性 對任意對任意 t1,t

3、2,tnT,T,任意復(fù)數(shù)任意復(fù)數(shù) 1 ,2, n有有 0),( 11 lkl n k n l kX ttR 證明證明(1) RX(s,t)=EX(s)X(t) =EX(s)X(t) = RX(t,s) (2) lkl n k n l kX ttR),( 11 lkl n k n l k tt)X()(XE 11 _ )X()(XE 11 _ ll n k n l kk tt )X( )X(E 11 _ ll n k n l kk tt )X()()X(E( 11 _ l n k n l lkk tt n l ll n k kk tt 1 _ 1 )X()X(E 0)(XE 2 1 n k kk

4、 t 2.正態(tài)過程正態(tài)過程 補(bǔ)充補(bǔ)充: n維正態(tài)隨機(jī)變量分布及性質(zhì)維正態(tài)隨機(jī)變量分布及性質(zhì) 1 1 ()() 2 1 22 1 ( ) (2 ) ( , ) T 12n n 12 xBx n X =(X ,X ,.,X )n fe B X =(X ,X ,.,X ) BnNB x 定義 設(shè)是 維隨機(jī)變量， 如果其聯(lián)合概率密度函數(shù)為 則稱服從均值向量為 ， 協(xié)方差矩陣為 的是 維正態(tài)分布.記X 111 )( , ) . ,cov(,) 12n n kkk k=1 nnn kki kik k=i=k= X ,X ,.,XNB Yl Xl YNlllXX 定理 設(shè)X=(則 （1） =服從一維正態(tài)分布

5、是常數(shù) 即 2).Xm mnm（ ） 的（個(gè)分量服從 維正態(tài)分布 3)mNC BC T n m （ ）Y=XC(C),服從 維正態(tài)分布 ( C, 正態(tài)過程定義正態(tài)過程定義 設(shè)設(shè)X(t),tT是是S.P. ,若對任意的若對任意的n1 及及t1,t2,tnTT, X(t1), X(t2), , X(tn),是是n維正態(tài)隨機(jī)變量維正態(tài)隨機(jī)變量, 則稱則稱S.P.X(t),tT為為正態(tài)過程正態(tài)過程或或高斯過程高斯過程 注意注意 若若X(t),tT是一族正態(tài)隨機(jī)變量是一族正態(tài)隨機(jī)變量, 但但X(t),tT不一定是正態(tài)過程不一定是正態(tài)過程. (2) 正態(tài)過程的有限維分布由其均值函數(shù)正態(tài)過程的有限維分布由其

6、均值函數(shù) 與相關(guān)函數(shù)完全確定與相關(guān)函數(shù)完全確定. (3) 正態(tài)過程是二階矩過程正態(tài)過程是二階矩過程. 舉例舉例 獨(dú)立的獨(dú)立的r.v.，且都服從正態(tài)分布，且都服從正態(tài)分布N(0,2 2),),是常數(shù)是常數(shù) 設(shè)設(shè)S.P. ( )cossin,X tAtBt tR 試證明試證明 該過程是正態(tài)過程，并求它的有限維分布該過程是正態(tài)過程，并求它的有限維分布 ,其中其中A,B為相互為相互 3.正交增量過程正交增量過程 定義定義 設(shè)設(shè)X(t),tT是二階矩過程，若對任意的是二階矩過程，若對任意的 t1t2 t3 t4TT 都有都有 0)(X)(X)()(X)X(E 34 _ 12 tttt 則稱則稱S.P.

7、X(t),tT是一是一正交增量過程正交增量過程. 注注: 這里這里 =EXY可視為內(nèi)積可視為內(nèi)積 若若T取為有限區(qū)間取為有限區(qū)間a,b,對對 astb ( )( )( )( )0E X sX aX tX s 特別的，當(dāng)特別的，當(dāng)X(a)=0時(shí)，有時(shí)，有 ( )( )( )0E X sX tX s 定理定理 設(shè)設(shè)X(t),ta,ba,b是正交增量過程是正交增量過程, 且且X(a)=0,則則 (2) X X(t)(t)是單調(diào)不減函數(shù)是單調(diào)不減函數(shù) ),(min(),(tstsR XX ,bats )()(),(min(),(min(),( 2 tmsmtsmtsDtsC XXXXX (1) ,ba

8、ts 4 獨(dú)立增量過程獨(dú)立增量過程 設(shè)設(shè)X(t),tTT是一是是一是S.P. 如果對如果對3n 12 , n tttT 21321 ( )( ),( )( ),( )() nn X tX tX tX tX tX t 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱X(t),tT 是是獨(dú)立增量過程獨(dú)立增量過程 以及以及 有有 如果對于任意如果對于任意 stT,T, X(t)-X(s)X(t)-X(s)的分布僅依賴于的分布僅依賴于t-s，而與，而與s, t本身取本身取 值無關(guān)，則稱值無關(guān)，則稱X(t),tT 為為平穩(wěn)增量過程平穩(wěn)增量過程 如果如果S.P.X(t),tT既是平穩(wěn)增量過程，又是既是

9、平穩(wěn)增量過程，又是 獨(dú)立增量過程，則稱獨(dú)立增量過程，則稱X(t),tT 為為平穩(wěn)的獨(dú)平穩(wěn)的獨(dú) 立增量過程立增量過程 定理定理 獨(dú)立增量過程的有限維分布函數(shù)由其一獨(dú)立增量過程的有限維分布函數(shù)由其一 維分布函數(shù)和增量分布函數(shù)確定維分布函數(shù)和增量分布函數(shù)確定 證明思路證明思路 由于隨機(jī)變量的分布函數(shù)與特征函數(shù)一一對應(yīng)由于隨機(jī)變量的分布函數(shù)與特征函數(shù)一一對應(yīng). 只需證只需證 獨(dú)立增量過程的有限維獨(dú)立增量過程的有限維特征函數(shù)特征函數(shù)由其一維特征由其一維特征 函數(shù)和增量特征函數(shù)確定函數(shù)和增量特征函數(shù)確定 證明證明,1 21 Ttttn n 及對 )(,),(),( 21n tXtXtX n維隨機(jī)變量的維隨

10、機(jī)變量的 的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為 1212 ( , ,., ;,.,) nn t tt u uu E )()( 11nn tXutXuj e 令令)()(,),()(),( 112211 nnn tXtXYtXtXYtXY 則則 nn YYYtX YYtX YtX 21 212 11 )( , ,)( ,)( 代入代入式式 由題意知由題意知 Y1,Y2,Yn獨(dú)立獨(dú)立 1212 ( , ,., ;,.,) nn t tt u uu E )()( 11nn tXutXuj e E )()( 2121211nn YYYuYYuYuj e E )()( 232121nnnn YuYuuuYuuuj

11、e E 232121 )()( nnnn YjuYuuujYuuuj eee EEE 232121 )()( nnnn YjuYuuujYuuuj eee 由Y1Y2,Yn的獨(dú)立性 )()()( 3221 21 nYnYnY uuuuuuu n 證畢證畢 Wiener過程過程 1. 1827年觀察到的現(xiàn)象 2. 1905由物理定律導(dǎo)出其數(shù)學(xué)描述 3. 1918后提出簡明的數(shù)學(xué)公式 Wiener過程定義過程定義 稱稱實(shí)實(shí)S.P.W(t),t0是參數(shù)為是參數(shù)為2 2的的Wiener過程過程, 如果如果 (1)(0)0W (2)( ),0W t t 是平穩(wěn)的獨(dú)立增量過程是平穩(wěn)的獨(dú)立增量過程 2 (3

12、)0,( )( ) (0,()st W tW sNts 定理定理 設(shè)設(shè) W(t),t0是參數(shù)為是參數(shù)為2的的Wiener過程過程.則則 2 (1)0,( ) (0,)tW tNt 2 2 (2)( )0,( ),0, ( , )( , )min( , ), , ,0 WW WW mtDttt Rs tCs ts t s t 證明證明 (1) 由定義由定義,顯然成立顯然成立. (2) 由由(1)易知有易知有 0,)(, 0)( 2 tttDtm WW 對對s0, 0, t 0,0,不妨設(shè)不妨設(shè) st,t,則則 )()(E),(tWsWtsR W ),min( )(E()( )(E0 )(E)()

13、()(0()(E )()()()(0()(E 2 2 2 2 2 ts s sWsWD sW sWsWtWWsW sWsWtWWsW 獨(dú)立性 ),min(t)(),(),( 2 tsmsmtsRtsC WWWW 定理定理 Wiener過程是正態(tài)過程過程是正態(tài)過程 證明證明 設(shè)設(shè) W(t),t0是參數(shù)為是參數(shù)為2的的Wiener過程過程. 則對任意的則對任意的n1,1,以及任意的以及任意的 n ttt 21 0 W(t1), W(t2), , W(tn)是是n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量 由由Wiener過程的定義知過程的定義知 )()(,),()(),( 1121 nn tWtWtWtWtW 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 分布，服從)(0()()( 1 2 1 kkkk