大學(xué)物理波動方程[教學(xué)內(nèi)容]

1、 條件條件 8.4 波動方程波動方程 一、一、 機械機械波的產(chǎn)生波的產(chǎn)生 二二、橫波和縱波橫波和縱波 介質(zhì)質(zhì)點的振動方向與波傳播方向相互垂直的波；介質(zhì)質(zhì)點的振動方向與波傳播方向相互垂直的波； 如柔繩上傳播的波。如柔繩上傳播的波。 介質(zhì)質(zhì)點的介質(zhì)質(zhì)點的振動方向和波傳播方向相互平行的波；振動方向和波傳播方向相互平行的波； 如空氣中傳播的聲波。如空氣中傳播的聲波。 波源：作機械振動的物體波源：作機械振動的物體 橫波：橫波： 縱波：縱波： 機械波機械波: : 機械振動以一定速度在彈性介質(zhì)中由近及遠(yuǎn)地機械振動以一定速度在彈性介質(zhì)中由近及遠(yuǎn)地 傳播出去，就形成機械波。傳播出去，就形成機械波。 彈性介質(zhì)：承

2、擔(dān)傳播振動的物質(zhì)彈性介質(zhì)：承擔(dān)傳播振動的物質(zhì) 1優(yōu)學(xué)課堂 波的傳播方向波的傳播方向 特點：具有波峰和波谷特點：具有波峰和波谷 橫波橫波 質(zhì)點的振動方向質(zhì)點的振動方向 縱波縱波 波的傳播方向波的傳播方向 質(zhì)點振動方向質(zhì)點振動方向 特點：具有疏密相間的區(qū)域特點：具有疏密相間的區(qū)域 下面以橫波為例觀察波的形成過程下面以橫波為例觀察波的形成過程 2優(yōu)學(xué)課堂 0t 靜止靜止 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 T t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 振動狀態(tài)振動狀態(tài) 傳至傳至4 4 2 T t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3、13 振動狀態(tài)振動狀態(tài) 傳至傳至7 7 4 3T t 振動狀態(tài)振動狀態(tài) 傳至傳至10 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3優(yōu)學(xué)課堂 Tt 振動狀態(tài)振動狀態(tài) 傳至傳至1313 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 結(jié)論結(jié)論 (1) (1) 波動中各質(zhì)點并不隨波前進(jìn)；波動中各質(zhì)點并不隨波前進(jìn)； (2) (2) 各個質(zhì)點的相位依次落后各個質(zhì)點的相位依次落后, ,波動是相位的傳播；波動是相位的傳播； (3) (3) 波動曲線與振動曲線不同。波動曲線與振動曲線不同。 波面和波線波面和波線 在波傳播過程中，任一時刻媒質(zhì)中振動相位相同的在波傳播過程中，任

4、一時刻媒質(zhì)中振動相位相同的 點聯(lián)結(jié)成的面。點聯(lián)結(jié)成的面。 波面波面: : 4優(yōu)學(xué)課堂 沿波的傳播方向作的沿波的傳播方向作的 有方向的線。有方向的線。 柱面波柱面波 在各向同性均勻介質(zhì)中，波線在各向同性均勻介質(zhì)中，波線波面。波面。 波線波線: : 波前波前: : 在某一時刻，波傳播在某一時刻，波傳播 到的最前面的波面。到的最前面的波面。 注意注意 x y z 波面波面 波線波線 球面波球面波 波面波面 波線波線 波面波面波線波線 平面波平面波 5優(yōu)學(xué)課堂 同一波線上相鄰兩個相位差為同一波線上相鄰兩個相位差為 2 2 的質(zhì)點的質(zhì)點之間的之間的 距離；即波源作一次完全振動，波前進(jìn)的距離。距離；即波源

5、作一次完全振動，波前進(jìn)的距離。 波長反映了波的波長反映了波的空間周期性空間周期性。 三、波長三、波長 周期周期 頻率和波速頻率和波速 波前進(jìn)一個波長距離所需的時間。周期表征了波前進(jìn)一個波長距離所需的時間。周期表征了 波的時間周期性。波的時間周期性。 單位時間內(nèi)，波前進(jìn)距離中完整波的數(shù)目。頻率單位時間內(nèi)，波前進(jìn)距離中完整波的數(shù)目。頻率 與周期的關(guān)系為與周期的關(guān)系為 T 1 振動狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播速度。波速與波長、周振動狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播速度。波速與波長、周 期和頻率的關(guān)系為期和頻率的關(guān)系為 T u :）波長（波長（ :）周期（周期（T :）頻率（頻率（ :）波速（波速（u 6優(yōu)學(xué)課堂 (1) 波

6、的周期和頻率與介質(zhì)的性質(zhì)無關(guān)；一般情況下，與波的周期和頻率與介質(zhì)的性質(zhì)無關(guān)；一般情況下，與 波源振動的周期和頻率相同波源振動的周期和頻率相同 。 Y ul 縱波的波速為：縱波的波速為： (2) 波速實質(zhì)上是相位傳播的速度，故稱為相速度；波速實質(zhì)上是相位傳播的速度，故稱為相速度； 其大其大 小主要決定于介質(zhì)的性質(zhì)，與波源及波的頻率無關(guān)。小主要決定于介質(zhì)的性質(zhì)，與波源及波的頻率無關(guān)。 說明說明 Y 固體棒的楊氏模量固體棒的楊氏模量 固體棒的密度固體棒的密度 固體既可以傳播縱波也可以傳播橫波固體既可以傳播縱波也可以傳播橫波 7優(yōu)學(xué)課堂 B ul 液體和氣體只能傳播液體和氣體只能傳播縱波縱波，其，其波

7、速波速由下式給出由下式給出 固體媒質(zhì)中傳播的固體媒質(zhì)中傳播的橫波速率橫波速率由下式給出：由下式給出： G ut 固體的切變彈性模量固體的切變彈性模量G 固體密度固體密度 流體的容變彈性模量流體的容變彈性模量B 流體的密度流體的密度 稀薄大氣中的稀薄大氣中的縱波波速縱波波速為為 p M RT ul 氣體摩爾熱容比氣體摩爾熱容比 M 氣體摩爾質(zhì)量氣體摩爾質(zhì)量 R 氣體摩爾常數(shù)氣體摩爾常數(shù) 8優(yōu)學(xué)課堂 三、簡諧波的波動方程三、簡諧波的波動方程 波面為平面的簡諧波波面為平面的簡諧波 介質(zhì)傳播的是諧振動，且波所到之處，介質(zhì)中各質(zhì)介質(zhì)傳播的是諧振動，且波所到之處，介質(zhì)中各質(zhì) 點作同頻率的諧振動。點作同頻率

8、的諧振動。 本節(jié)主要討論在無吸收（即不吸收所傳播的振動能量）、本節(jié)主要討論在無吸收（即不吸收所傳播的振動能量）、 各向同性、均勻無限大介質(zhì)中傳播的平面簡諧波。各向同性、均勻無限大介質(zhì)中傳播的平面簡諧波。 平面簡諧波平面簡諧波 平面簡諧波平面簡諧波 說明說明 簡諧波是一種最簡單、最基本簡諧波是一種最簡單、最基本 的波，研究簡諧波的波動規(guī)律的波，研究簡諧波的波動規(guī)律 是研究更復(fù)雜波的基礎(chǔ)。是研究更復(fù)雜波的基礎(chǔ)。 簡諧波簡諧波: 9優(yōu)學(xué)課堂 )cos( 0 tAyo y x x u P P O O 簡諧振動簡諧振動 從時間看從時間看, , P 點點 t 時刻的位移是時刻的位移是O 點點 u x t

9、簡諧振動簡諧振動)cos(tAy 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù) 時刻的位移時刻的位移; ; )(cos),( 0 u x tAtxyP 從相位看，從相位看，P 點處質(zhì)點振動相位較點處質(zhì)點振動相位較O 點處質(zhì)點相位落后點處質(zhì)點相位落后 u x 若若 )(cos),( 0 u x tAtxyP P 為任意點為任意點 10優(yōu)學(xué)課堂 )( 2 cos),( 0 xutAtxy )(2cos),( 0 x tAtxy )(2cos),( 0 x T t Atxy 其它形式其它形式 由波函數(shù)可知波的傳播過程中任意兩質(zhì)點由波函數(shù)可知波的傳播過程中任意兩質(zhì)點 x1 和和 x2 振動的相振動的相 位差為

10、位差為 )()()( 210 1 0 2 xx uu x t u x t x2x1, 0，說明，說明 x2 處質(zhì)點振動的相位總落后于處質(zhì)點振動的相位總落后于x1 處質(zhì)點的處質(zhì)點的 振動；振動； 討論討論 11優(yōu)學(xué)課堂 u 實際上是振動相位的傳播速度。實際上是振動相位的傳播速度。 t1 時刻時刻x1 處的振動狀態(tài)經(jīng)處的振動狀態(tài)經(jīng)t 時間傳播到時間傳播到x1+x 處，則處，則 )()( 1 1 1 1 u xx tt u x t 可得到可得到 t x u 若波沿軸負(fù)向傳播時，同樣可得到波動方程若波沿軸負(fù)向傳播時，同樣可得到波動方程: : )(cos),( 0 u x tAtxy )( 2 cos)

11、,( 0 xutAtxy )(2cos),( 0 x tAtxy )(2cos),( 0 x T t Atxy 其其 它它 形形 式式 12優(yōu)學(xué)課堂 如圖，如圖， 在下列情況下試求波動方程：在下列情況下試求波動方程： ) 8 1 (4costAyA (3) 若若 u 沿沿 x 軸負(fù)向，以上兩種情況又如何？軸負(fù)向，以上兩種情況又如何？ 例例 (1) 以以 A 為原點；為原點； (2) 以以 B 為原點；為原點； BA 1 x x 已知已知A 點的振動方程為：點的振動方程為： u (1)在在 x 軸上任取一點軸上任取一點P ，A點點 振動方程為：振動方程為： ) 2 4cos( tAyA ) 2

12、)(4cos),( u x tAtxy 波函數(shù)為：波函數(shù)為： 解解 P 1 x BA x 13優(yōu)學(xué)課堂 (2) B 點振動方程為：點振動方程為：) 8 1 (4cos)( 1 u x tAtyB ) 2 )(4cos),( 1 u xx tAtxy ) 2 )(4cos),( u x tAtxy (3) 以以 A 為原點：為原點： 以以 B 為原點：為原點： 波動方程波動方程: ) 2 )(4cos 1 u xx tA ) 2 4 (4cos 1 u x tA ) 2 4 ()(4cos)( 1 u x u x tAtyB 14優(yōu)學(xué)課堂 表示在表示在t1 時刻的波形時刻的波形 y t o t

13、與與 x 都發(fā)生變化都發(fā)生變化 y x o 表示表示x1處質(zhì)點的振動方程處質(zhì)點的振動方程 波動方程的物理意義波動方程的物理意義 )(cos 1 u x tAy x=x1（常數(shù)）（常數(shù)） t=t1（常數(shù)）（常數(shù)） )(cos 1 u x tAy 表示介質(zhì)中任何質(zhì)點在任意時刻的位移表示介質(zhì)中任何質(zhì)點在任意時刻的位移 15優(yōu)學(xué)課堂 已知已知t1時刻的波形圖（紫色），要確定時刻的波形圖（紫色），要確定t=t1+t時刻的波形圖，時刻的波形圖， 只須將其沿波的傳播方向平移只須將其沿波的傳播方向平移ut的距離即可（紅色）的距離即可（紅色） o y t y y tu t=t1時時 )(cos 1 u x tA

14、y t=t1+t時時 )(cos 1 u x ttAy y y 16優(yōu)學(xué)課堂 可以證明三維的波動方程為：可以證明三維的波動方程為： 其中其中為質(zhì)點的位移為質(zhì)點的位移 從上兩式可得波動方程：從上兩式可得波動方程： 波動方程的一般形式波動方程的一般形式 )(cos u x tAy )(cos 2 2 2 u x tA t y )(cos 2 2 2 2 u x t u A x y 2 2 22 2 1 t y ux y 2 2 22 2 2 2 2 2 1 tuzyx 17優(yōu)學(xué)課堂 y(m) o x(m) 波速波速 u =400m/s, t = 0 s時刻的波形如圖所示。寫出波動方程。時刻的波形如

15、圖所示。寫出波動方程。 4 p 2 u 3 5 設(shè)波動方程為設(shè)波動方程為 t = 0 s時刻時刻yo=2m，vo0，所以，所以 )(cos u x tAy O點處的質(zhì)點的位移及速度點處的質(zhì)點的位移及速度 )cos(4tyo 0sin 2cos4 3 例例 解解 ) 400 (cos4 x t )(sin4t o v 3 18優(yōu)學(xué)課堂 同理，對于同理，對于P點有點有 3 ) 240 1 (cos4 ty p t = 0 s時刻時刻yP=0，vP0，所以，所以 0) 3240 sin( 0) 3240 cos( 波動方程為波動方程為 3 ) 400 (200cos4 x ty 3 2 0 3 )

16、240 1 (sin4 t p v 23240 200 y(m) o x(m) 4 p 2 u 3 5 19優(yōu)學(xué)課堂 沿沿x軸負(fù)向傳播的平面簡諧波在軸負(fù)向傳播的平面簡諧波在t=2s時的波形曲線如圖，設(shè)波時的波形曲線如圖，設(shè)波 速速u=0.5m/s求原點求原點0的振動表達(dá)式。的振動表達(dá)式。 x0 y 0.5 -1 1 2 t=2s u t=0 由圖知由圖知 5 . 0m125 . 0utx 2 )( 2 cos5 . 0 u x ty t=0原點原點0: 2 ) 22 cos(5 . 0 0 ty 例例 解解 1 sm5 . 0m2s4 uT 1 srad 2 2 T 20優(yōu)學(xué)課堂 一平面簡諧波沿一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，已知其波函數(shù)為軸正方向傳播，已知其波函數(shù)為 m )10. 050(cos04. 0 xty ) 2 10.0 2 50 (2cos04.0 xty m 04. 0A s 04.0 50 2 T m 20 10. 0 2 m/s 500 T u (1) a. 比較法比較法(與標(biāo)準(zhǔn)形式比較）與標(biāo)準(zhǔn)形式比較） )(2cos),( 0 x T t Atxy標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式 波函數(shù)為波函數(shù)為 比較可得比較可得 例例 解解 求求 (1) 波的振幅、波長、周期及波速；波的振幅、波長、周期及波速； (2) 質(zhì)點振動的最大速度。質(zhì)點振動的最大速度。 21優(yōu)學(xué)課堂 2)10.