應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程講義一解析PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程講義一解析應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程講義一解析 2021-7-182 第1頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-183 第2頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-184 第一講第一講 第3頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-185 第4頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-186 第5頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-187 第6頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-188 不發(fā)生。發(fā)生，但事件：事件 中至少有一事件發(fā)生。：事件 同時(shí)發(fā)生。：事件 BABA BABA BABA , , 第7頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-189 n n n n nn n n n n nn AA AA AA AA nA lim , lim , 1, 1 1 1

2、1 稱(chēng)之為單調(diào)不增序列。若 稱(chēng)之為單調(diào)不減序列。若 事事件件序序列列 第8頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1810 .limlimlim limlim inflimlim)( suplimlim)( 1 1 n n n n n n n n n n n n n n k nkn n n n n k nkn AAA AA AAA AAA 則定義 ，如果 第9頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1811 AI AI A A I A A A 0)(: 1)(: , 0 , 1 )( 事件 事件 示性函數(shù)示性函數(shù) 是最簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量 用隨機(jī)變量來(lái)表示事件 第10頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1812 ， 則若 取上端

3、取下端 )()( )()( )()()(, )()()( )()()( ,),max( ,),min( BA BA BABA BABA BABA IIBA IIBA IIIBA III III baba baba 用示性函數(shù)的關(guān)系及運(yùn)算來(lái)用示性函數(shù)的關(guān)系及運(yùn)算來(lái) 表示相關(guān)事件的關(guān)系及運(yùn)算表示相關(guān)事件的關(guān)系及運(yùn)算 第11頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1813 是最簡(jiǎn)單的集類(lèi)。 稱(chēng)為集類(lèi)。 的集合的子集作為元素構(gòu)成的粗略地說(shuō)，由 , 集類(lèi)集類(lèi) 第12頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1814 第13頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1815 概率概率 第14頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1816 ：事件的概率 的

4、元素，事件： 概率：完全可加的集函數(shù)， 代數(shù)：集類(lèi)， ：集合，樣本空間 )( ),( AP A P P 概概率率空空間間 第15頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1817 隱含了等可能條件 點(diǎn)集的面積 點(diǎn)集的面積 幾何概型 隱含了等可能條件 中的樣本點(diǎn)數(shù)目 中的樣本點(diǎn)數(shù)目 古典概型 A AP AA AP A )( . 2 )( )( )( . 1 第16頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1818 第17頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1819 0)(P )(1)(APAP n k k n k k n APAP jiAAAAA 11 21 )()( ),(,.,則且若 由概率非負(fù)性即得 ，顯然有, )()(.

5、1 k PP 即得及完全（可列）可加性由0)(P 第18頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1820 )()()( )()()( , BPAPBAP AB ABPAPBAP BA 若 )()()()(ABPBPAPBAP 4. 5. 6. )()(,BPAPBA則若 第19頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1821 ).() 1(. )()()()( , 2,1 , 21 1 1111 n n nji kji nji ji n k k n k k k AAAP AAAPAAPAPAP nnkA 11 )()( k k k k APAP )(lim)lim( 1, n n n n n APAP nA 為單調(diào)事

6、件序列，則若 第20頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1822 第21頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1823 第22頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1824 . . )( , 可測(cè)集為一維，稱(chēng) 代數(shù)一維 稱(chēng)為代數(shù)生成的則由 設(shè)集類(lèi) Borel Borel baRbaba 第23頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1825 : ,),(,),( ,(,), 5 21213 21 中開(kāi)集為 為有理數(shù) RGG rrrrbaRbaba baRbababaRbaba )51 (),()(k k 第24頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1826 )( 第25頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1827 第26頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1

7、828 第27頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1829 )|()()|()()( )()|( )( )( )|( , ABPAPBAPBPABP APAP BP ABP BAP BA 件概率相同。條件概率的性質(zhì)與無(wú)條 條件概率條件概率 第28頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1830 k kk k klk k k kk CBAPCBPCAP BAlkBB kBBAPBPAP )|()|()|( , 1 ,)|()()( ， 全概率公式全概率公式 第29頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1831 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 獨(dú)立 獨(dú)立 BA APBAPBAP BPAPABP BA , )()|()|( )()()

8、( , 第30頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1832 )()()()( )()()( )()()( )()()( , CPBPAPABCP CPBPBCP CPAPACP BPAPABP CBA等式相互獨(dú)立，要滿足四個(gè)三個(gè)事件 幾個(gè)事件的獨(dú)立性幾個(gè)事件的獨(dú)立性 第31頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1833 ., ., ,),(),( .,;,;,;, ;,;,;,;, 21 221121 獨(dú)立均與和例如， 獨(dú)立則 任取記 獨(dú)立獨(dú)立獨(dú)立獨(dú)立 獨(dú)立獨(dú)立獨(dú)立獨(dú)立 下列命題等價(jià)： CBABAAB AA AACBA CBACBACBACBA CBACBACBACBA 第32頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-183

9、4 獨(dú)立。和 則設(shè) 獨(dú)立，若 21 11211 21 21 ),.(),.,( )().()().( ,.1 ,., 2121 BB AABAAAB APAPAPAAAP niii AAA nmm iiiiii k n kk 第33頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1835 ).()( , 0)|(,05. 0)|(, 6 . 0)( ,98. 0)|(, 8 . 0)|(, 6 . 0)( )31 ( 1 321321 213121 213121 BPAP BBBBAAAA BBBPBBPBP AAAPAAPAP kk BA kk 和求： ，令 。已知次試驗(yàn)成功，甲乙兩人第 為，驗(yàn)，記：甲乙兩人各

10、做三次試?yán)?第34頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1836 62. 0005. 04 . 06 . 0)( 9984. 098. 02 . 04 . 08 . 04 . 06 . 0 )|()( )|()()()( 21321 1211 321211 BP AAAPAAP AAPAPAPAP AAAAAAA（互不相容）解： 比較甲乙兩人的結(jié)果，從以上結(jié)果可以得到什么結(jié)論 ？ 第35頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1837 機(jī)遇偏愛(ài)有心人！機(jī)遇偏愛(ài)有心人！ 第36頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1838 功的概率。 ，求至少有一次成，若概率為 次成功次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)每：進(jìn)行例 40002. 0 2 n n

11、 .9997. 0)98. 0(1)( 400 AP 一次成功的概率只有一次成功的概率只有2，是典型的小概率事件；，是典型的小概率事件； 但重復(fù)次數(shù)足夠多，如但重復(fù)次數(shù)足夠多，如n=400， 至少一次成功就是大概率事件！至少一次成功就是大概率事件！ 第37頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1839 只要功夫深，鐵杵磨成針！ 第38頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1840 可測(cè)性要求。 保證了概率定義的 是可測(cè)映射； )(:, ),(),(:)( aXRa RX 第39頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1841 , )()( ),:( ,),(,. 1k Bk kk k k IxX XxXB NkxXPXvrd

12、 可以表示為則設(shè)事件 若其分布律為： 第40頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1842 分布函數(shù)分布函數(shù) 第41頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1843 微元法求概率密度函數(shù)微元法求概率密度函數(shù) 第42頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1844 2 , 1,: , 2211 ibababa ii 第43頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1845 亦可用微元法求亦可用微元法求 第44頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1846 第45頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1847 兩點(diǎn)分布 若r.v.X只取1和0兩個(gè)值，且 則稱(chēng)r.v.X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布。 簡(jiǎn)記為：XB(1,p).即 A A IXA A 0 1 )()(, )

13、10( ,1)0(,) 1(ppXPpXP EX=p,DX=p(1-p) 第46頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1848 EX=np,DX=np(1-p) EX=1/p,DX=(1-p)/p2 第47頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1849 EX=,DX= EX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/12 第48頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1850 EX=1/,DX=1/2 EX=,DX=2 第49頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1851 第50頁(yè)/共85頁(yè) 第51頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1853 dxxxf xXPx EX X kk )( )( k kk Px dxxfx X )(| 第52頁(yè)/共85

14、頁(yè) 2021-7-1854 黎曼斯蒂爾吉斯積分黎曼斯蒂爾吉斯積分 第53頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1855 任分任取任分任取 求和求和 取極限取極限 第54頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1856 第55頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1857 )(xXxdPEX dxxfxgxdFxgxfxF)()()()(),()( 則若 第56頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1858 第57頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1859 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（E|Xi|） 第58頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1860 不獨(dú)立反之， 獨(dú)立 YXYEXEXYE YEXEXYEYX ,)()()( )()()(, 1 1

15、10 )( )() 1()( k k k ik kXP kXPkXkPEX X取值非負(fù)整數(shù) 交換求和順序交換求和順序 第59頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1861 0 000 )( )()()( 0 dxxXP xXdPdyxXxdPEX X x 若 同理，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量有相似的結(jié)論成立同理，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量有相似的結(jié)論成立 第60頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1862 第61頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1863 第62頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1864 第63頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1865 第64頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1866 ) 1( | )|(| )|(| , 0 2 p E

16、XXE EXXP DX EXXP p p 第65頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1867 )(Ni 第66頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1868 第67頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1869 第68頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1870 用示性函數(shù)的線性組合表示離散型隨機(jī)變量用示性函數(shù)的線性組合表示離散型隨機(jī)變量 （見(jiàn)前面（見(jiàn)前面“隨機(jī)變量隨機(jī)變量”部分部分 ） 第69頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1871 )()|()()|( )0|() 1|()|( )|() 1|0(0) 1| 1(1 ) 1|( )()0(0) 1(1)( , )0()1( B B IBAIBABA BABA BA AAA BA

17、IBAPIBAP IIIEIIIEIIE BAPIIPIIP IIE APIPIPIE BAIYIX BB ，隨機(jī)變量 將概率運(yùn)算納入求期望運(yùn)算的范疇將概率運(yùn)算納入求期望運(yùn)算的范疇 第70頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1872 理解理解 E(X|Y)是的函數(shù)，也是Y()的函數(shù)，即Y() 取值不同， E(X|Y)也取相應(yīng)的值； 當(dāng)Y是離散型隨機(jī)變量時(shí)，E(X|Y)也是離散型隨 機(jī)變量。 第71頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1873 第72頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1874 第73頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1875 將將x替換成替換成X 第74頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1876 第75頁(yè)/共85

18、頁(yè) 2021-7-1877 條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 設(shè)E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y),Eg(X)h(Y)存在，則 (重要重要!) 全期望公式全期望公式 第76頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1878 第77頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1879 j jj j yYjA j yYjA AA jjA BPBAP IEyYIEIyYIEE YIEEIE AP yYBvrdYIX jj )()|( )()|()|( )|()( )( )(:.,.,事件為令 將全概率公式納入全期望公式的范疇將全概率公式納入全期望公式的范疇 第78頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1880 CB CBA CB CBA CB CBABCCBA CBA IIIIEIIIIE IIIIEIIIIE IIIE )0, 1|()0, 0|( ) 1, 0|() 1, 1|( ),|( CBCB CB BC ICBAPICBAP ICBAPIBCAP )|()|( )|()|( 第79頁(yè)/共85頁(yè) 2021-7-1881 B B IBCAPBACP IBCAPBACP )|()|( )|()|( B B BCBA IBCBPCBAPBCBPCBAP IBCBPCBAPBBCPBCAP IIIIEE