基于MATLAB的雙線性變換法濾波器

1、 鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院電子信息系統(tǒng)仿真課程設(shè)計(jì) 2010 級 電子信息工程 專業(yè) 1013081 班級題 目 基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器 姓 名 張婷婷 學(xué)號 101308138 指導(dǎo)教師 王 丹 二一 二 年 11 月 13 日內(nèi) 容 摘 要數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的基礎(chǔ)，用來對信號進(jìn)行過濾、檢測與參數(shù)估計(jì)等處理，在通信、圖像、語言、雷達(dá)等領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用。尤其在圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮等方面取得了令人矚目的進(jìn)展和成就、鑒于此，數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)就顯得尤為重要。根據(jù)IIR濾波器的特點(diǎn)，在MATLAB壞境下用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。利用MATLAB設(shè)計(jì)濾波器，可以隨時(shí)對比設(shè)計(jì)

2、要求和濾波器特性調(diào)整參數(shù)，直觀簡便，極大的減輕了工作量，有利于濾波器設(shè)計(jì)的最優(yōu)化。關(guān) 鍵 詞雙線性變換法；數(shù)字濾波器；MATLAB ；IIR一、 MATLAB 軟件簡介 MATLAB是英文Matrix Laboratory (矩陣實(shí)驗(yàn)室)的縮寫。它是由美國Mathworks公司推出的用于數(shù)值計(jì)算和圖形處理的數(shù)學(xué)計(jì)算環(huán)境。在MATLAB環(huán)境下，用戶可以集成地進(jìn)行程序設(shè)計(jì)、數(shù)值計(jì)算、圖形繪制、輸入輸出、文件管理等各項(xiàng)操作。它優(yōu)秀的數(shù)值計(jì)算能力和卓越的數(shù)據(jù)可視化能力使其很快在同類軟件中脫穎而出。MATLAB系統(tǒng)最初是由Cleve Moler 用FORTRAN語言設(shè)計(jì)的，現(xiàn)在的MATLAB程序是Mat

3、hworks公司用C語言開發(fā)的。它的第一版(DOS版本1.0)發(fā)行于1984年；經(jīng)過20年的不斷改進(jìn)，MATLAB已經(jīng)成為國際上最流行的科學(xué)與工程計(jì)算的軟件工具，最流行的計(jì)算機(jī)高級編程語言了，有人稱它為“第四代”計(jì)算機(jī)語言，它在國內(nèi)外高校和研究部門正扮演著重要的角色。MATLAB語言的功能也越來越強(qiáng)大，不斷適應(yīng)新的要求提出新的解決方法?？梢灶A(yù)見，在科學(xué)運(yùn)算、自動(dòng)控制與科學(xué)繪圖領(lǐng)域MATLAB語言將長期保持其獨(dú)一無二的地位。MATLAB語言之所以能如此迅速地普及，顯示出如此旺盛的生命力，是由于它有著不同其他語言的特點(diǎn)。1語言簡潔緊湊，使用方便靈活，庫函數(shù)極其豐富。MATLAB程序書寫形式自由，利

4、用其豐富的庫函數(shù)避開了繁雜的子程序編程任務(wù)，壓縮了一切不必要的編纂工作。由于庫函數(shù)都是由本領(lǐng)域的專家編寫，所以用戶不必?fù)?dān)心函數(shù)的可靠性。2運(yùn)算符號豐富。由于MATLAB是用C語言編寫的，所以MATLAB提供了C語言幾乎一樣多的運(yùn)算符，靈活使用MATLAB的運(yùn)算符將使程序變得極為簡短。3高效方便的矩陣和數(shù)組運(yùn)算。MATLAB語言像Basic、Fortran、C語言一樣規(guī)定了矩陣的算術(shù)運(yùn)算符、關(guān)系運(yùn)算符、邏輯運(yùn)算符、條件運(yùn)算符及賦值運(yùn)算符，而且這些運(yùn)算符大部分可以毫無改變地照搬到數(shù)組間的運(yùn)算，另外，它不需要定義數(shù)組的唯數(shù)，并給出矩陣函數(shù)、特殊矩陣函數(shù)、特殊矩陣專門的庫函數(shù)，使之在求解諸如信號處理、

5、建模、系統(tǒng)識別、控制、優(yōu)化等領(lǐng)域的問題時(shí)，顯得大為簡捷、高效、方便，這是其它高級語言所不能比擬的。在此基礎(chǔ)上，高版本的MATLAB已逐步發(fā)展到科學(xué)及工程計(jì)算的其它領(lǐng)域。因此，不久的將來，它一定能名副其實(shí)地成為“萬能演算紙式的”科學(xué)算法語言。4MATLAB即具有結(jié)構(gòu)化的控制語句，又有面向?qū)ο缶幊傻奶匦浴?.語法限制不嚴(yán)格，程序設(shè)計(jì)自由度大。為了充分利用Fortran、C等語言的資源，包括用戶已編好的Fortran、C語言程序，通過建立M文件的的形式，混合編程，方便地調(diào)用有關(guān)的Fortran、C語言的子程序。6.程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各種型號的計(jì)算機(jī)和操作系統(tǒng)上運(yùn)行。7.MAT

6、LAB的圖形功能強(qiáng)大。在C和FORTRAN語言里，繪圖都很不容易，但在MATLAB里，數(shù)據(jù)的可視化非常簡單。此外，MATLAB還具有較強(qiáng)的編輯圖形界面的能力。8. MATLAB具有的一項(xiàng)重要特色是擁有功能強(qiáng)大的工具箱。MATLAB包含兩個(gè)部分；核心部分和各種可選的工具箱。功能性工具箱主要用來擴(kuò)充其符號計(jì)算功能、圖示建模仿真功能、文字處理功能以及與硬件實(shí)施交互功能。功能性工具箱能用于多種學(xué)科。而學(xué)科性工具箱是專業(yè)性比較強(qiáng)的；如Control toolbox、Signal processing toolbox 、Communication toolbox等，這些工具箱都是由該領(lǐng)域內(nèi)的學(xué)術(shù)水平很高的

7、專家編寫的，所以用戶無需編寫自己學(xué)科范圍內(nèi)的基礎(chǔ)程序，而直接進(jìn)行高、精、尖的研究。9.源程序的開放性。除內(nèi)部函數(shù)以外，所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可讀可改變的源文件，用戶可通過對源文件的修改以及加入自己的文件構(gòu)成新的工具箱。MATLAB軟件自1984年推向市場以來，歷經(jīng)十幾年的發(fā)展和競爭，現(xiàn)已成為(IEEE評述)國際公認(rèn)的最優(yōu)秀的科技應(yīng)用軟件。它功能強(qiáng)大、界面友好、語言自然、開放性強(qiáng)的特點(diǎn)是它獲得了對應(yīng)用學(xué)科(特別是邊緣學(xué)科和交叉學(xué)科)的季強(qiáng)是盈利，并且很快成為應(yīng)用學(xué)科計(jì)算機(jī)輔助分析、設(shè)計(jì)、仿真、教學(xué)乃至科技文字處理不可缺少的基礎(chǔ)軟件。在歐美等高校，MATLAB已成為理工科高級課

8、程的基本工具，成為攻讀學(xué)位的大學(xué)生、碩士生、博士生必須掌握的技能。在設(shè)計(jì)研究單位和工業(yè)部門，MATLAB已經(jīng)成為研究和解決各種具體工程問題的一種標(biāo)準(zhǔn)軟件。近年來該軟件系統(tǒng)開始在我國國內(nèi)流行。受到理工科大中專院校釋省級科研人員的重視，這也是本文選擇用它來設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)濾波器原因所在。二、 數(shù)字濾波器及其MATLAB實(shí)現(xiàn) 數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理中最重要的組成部分之一。在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，廣泛使用濾波器對信號進(jìn)行了處理。濾波器是一種選頻裝置，它對某一個(gè)或幾個(gè)頻率范圍(頻帶)內(nèi)的電信號給以很小的衰減：使這部分信號能夠順利通過，對其它頻帶內(nèi)的電信號則給以很大的衰減，從而盡可能地阻止這部分信號的通過。通

9、過濾波器時(shí)不經(jīng)受衰減或經(jīng)受很小的衰減的頻帶稱為通帶，經(jīng)受的衰減超過某一規(guī)定值的頻帶稱為阻帶，位于通帶和阻帶之間的頻帶稱為過渡帶。于是，根據(jù)通帶的不同，濾波器可分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等。此外，根據(jù)它所處理的信號型類，濾波器又可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器，模擬濾波器用來處理連續(xù)信號，而數(shù)字濾波器用來處理離散信號，后者是在前者基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。數(shù)字濾波器與模擬濾波器比較，其主要優(yōu)點(diǎn)精度和穩(wěn)定性高，系統(tǒng)函數(shù)容易改變，因而靈活性高，不存在阻抗匹配問題，便于大規(guī)模集成，可以實(shí)現(xiàn)多維濾波。因此，目前在諸如通信、雷達(dá)、遙感、聲納、衛(wèi)星通信、宇宙航行、測量、語言和生物醫(yī)學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域的

10、信號處理中，已經(jīng)運(yùn)用了數(shù)字濾波技術(shù)，而且隨著大規(guī)模集成電路技術(shù)和數(shù)字計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，它的應(yīng)用會越來越廣泛。 數(shù)字濾波器實(shí)際上就是一種數(shù)字信號處理系統(tǒng)的算法或設(shè)備。數(shù)字濾波器實(shí)際上是一種運(yùn)算過程，數(shù)字濾波器的功能是將一組輸入的數(shù)字序列通過一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列，因此它本身就是一臺數(shù)字式的處理設(shè)備。數(shù)字濾波器的基本原理是：先利用取樣開關(guān)和模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器將一個(gè)聯(lián)系性的信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號。在數(shù)字計(jì)算器中完成所要求的傳輸函數(shù)運(yùn)算之后，再通過數(shù)字模擬轉(zhuǎn)換器和保持電路，使信號形成最后要求的波形。 數(shù)字濾波器一般可用兩種方法實(shí)現(xiàn)：一種是根據(jù)描述數(shù)字濾波器的數(shù)字模型或信號流圖，用數(shù)字硬件裝配成一

11、臺專門的設(shè)備，構(gòu)成專用的信號處理機(jī)，這就是硬件實(shí)現(xiàn)方式；另一種方法就是直接利用通用計(jì)算機(jī)，將所需要的運(yùn)算編成程序來讓計(jì)算機(jī)來執(zhí)行，這就是軟件實(shí)現(xiàn)方式。在硬件實(shí)現(xiàn)方式中，是一數(shù)字組件如延遲器、加法器和乘法器作為基本部件構(gòu)成專用數(shù)字信號處理系統(tǒng)。不像模擬濾波器需要用電感和電容元件，因此數(shù)字信號處理機(jī)很容易用數(shù)字集成電路來制成，而且它的轉(zhuǎn)移函數(shù)可變，各回路之間不存在阻抗匹配問題，因此可以很容易做成最佳沖激響應(yīng)和恒定延遲的線性相移網(wǎng)絡(luò)。在軟件實(shí)現(xiàn)方式中，它是借助于通用計(jì)算機(jī)機(jī)器語言、匯編語言或高級語言程序來做數(shù)字濾波器的運(yùn)算過程。三、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理3.1 設(shè)計(jì)原理濾波器的種類很多，從功能上可分為

12、低通、高通、帶通和帶阻濾波器，每一種又有模擬濾波器和數(shù)字濾波器兩種形式。如果濾波器的輸人和輸出都是離散時(shí)間信號，則該濾波器的沖擊響應(yīng)也必然是離散的，這種濾波器稱之為數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器是一種用來過濾時(shí)間離散信號的數(shù)字系統(tǒng)，通過對抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理來達(dá)到頻域?yàn)V波的目的。數(shù)字濾波器也是具有一定傳輸選擇特性的數(shù)字信號處理裝置，其輸入、輸出均為數(shù)字信號，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)由有限精度算法實(shí)現(xiàn)的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路。IIR濾波器運(yùn)算結(jié)構(gòu)通常由延時(shí)、乘以系數(shù)和相加等基本運(yùn)算組成，可以組合成直接型、正準(zhǔn)型、級聯(lián)型、并聯(lián)型四種結(jié)構(gòu)形式，都具有反饋回路。數(shù)字濾波器

13、根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。IIR 數(shù)字濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)，需要用遞歸模型來實(shí)現(xiàn)，其差分方程為：（1-1） （1-2）設(shè)計(jì)IIR濾波器的任務(wù)就是尋求一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，使其頻率響應(yīng)H(z)滿足所希望得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。本次課程設(shè)計(jì)采用雙線性變換法。3.2 設(shè)計(jì)步驟(1)將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)；(2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器H(s)；(3)在按一定規(guī)則將H(s)轉(zhuǎn)

14、換為H(z)；若所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器是低通的，那么上述設(shè)計(jì)工作可以結(jié)束，若所設(shè)計(jì)的是高通、帶通或者帶阻濾波器，那么還有步驟： (4)將高通、帶通或者帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)先轉(zhuǎn)化為低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后按上述步驟(2)設(shè)計(jì)出模擬低通濾波器H(s)，再將H(s)轉(zhuǎn)換為所需的H(z)。 四、設(shè)計(jì)方案 IIR數(shù)字濾波器是一種離散時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為 （1-3）假設(shè)MN，當(dāng)MN時(shí),系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個(gè)IIR的子系統(tǒng)和一個(gè)(M-N)的FIR子系統(tǒng)的級聯(lián)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)際上是求解濾波器的系數(shù)和 ，它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則）去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平

15、面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。實(shí)現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有雙線性變換法和脈沖響應(yīng)不變法兩種基本方案，現(xiàn)在就對兩種基本方案的優(yōu)劣進(jìn)行具體論證，從而說明選擇方案二的理由。方案一： 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足h(n)=ha(nT)式中,T是采樣周期。如圖1所示。如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用采樣序列的Z變換與模擬信號的拉普拉

16、斯變換的關(guān)系得(1-4)可看出，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面，這個(gè)從s到z的變換z=esT是從S平面變換到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。圖1脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系由（1-4）式，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為(1-5)這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即(1-6)才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即| (1-7)但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓

17、分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，如圖2所示。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。圖2脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象對某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時(shí)間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。方案二： 雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器雙線性變換法主要是采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓

18、縮到-/T/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個(gè)S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖1所示。 圖3雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個(gè)虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)（1-8）式中,T仍是采樣間隔。當(dāng)1由-/T經(jīng)過0變化到/T時(shí)，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個(gè)j軸。將式（1-8）寫成將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，

19、則得（1-9）再將S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面z=es1T從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為：（1-10） （1-11） 式（1-10）與式（1-11）是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（1-9）與式（1-10）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。首先,把z=ej，可得（1-12）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=+j代入式（1-12），得因此由此看出，當(dāng)0時(shí)，|z|0時(shí)，|z|1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。

20、因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。兩種方案優(yōu)缺點(diǎn)比較：脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當(dāng)然這樣會進(jìn)一步增加設(shè)計(jì)復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊

21、現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。S平面整個(gè)j軸單值地對應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系如式（1-8）所示，重寫如下：上式表明，S平面上與Z平面的成非線性的正切關(guān)系，如圖4所示。由圖4看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)進(jìn)一步增加時(shí)，增長得越來越慢，最后當(dāng)時(shí)，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖4雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個(gè)特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如式（1-12）及圖1所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)

22、系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如圖5所示。5雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然

23、后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。由于用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器，存在從S平面到Z平面的多值映射的缺點(diǎn)，而且還有頻譜混疊現(xiàn)象，所以本次課程設(shè)計(jì)就采用雙線性變換法來設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。五、設(shè)計(jì)步驟要求：根據(jù)以上IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法，采用雙線性變換法基于MATLAB設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，其中要求通帶截止頻率為p=0.25;通帶最大衰減Rp=1dB;阻帶最小衰減As=15dB;阻帶截止頻率s=0.4;濾波器采樣頻率Fs=100Hz.5.1設(shè)計(jì)步驟(1)根據(jù)任務(wù),確定性能指標(biāo):在設(shè)計(jì)低通濾波器之前,首先根據(jù)工程實(shí)際的需要確定濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo):通帶截止頻率wp，阻帶截止頻

24、率ws，通帶最大衰減Rp，阻帶最小衰減Rs通帶截止頻率wp=fp/Fs*2*Pi=0.785, 通帶衰減Rp=1dB和阻帶截止頻率ws=fs/Fs*2*Pi=1.256，阻帶最大衰減As=15dB;(2)根據(jù)公式=2/T*tan(w/2) 進(jìn)行預(yù)修正，將數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)，對雙線性變換法一般T=2s通帶截止頻率wc=(2/T)*tan(wp/2)=tan(0.392)=0.0068阻帶截止頻率ws=(2/T)*tan(ws/2)=tan(0.628)=0.011通帶最小衰減Rp=1dB和阻帶最大衰減As=15dB;(3)將模擬高通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器指標(biāo)。norm

25、wp=wp/T=wp*Fs=78.5normws=ws/T=ws*Fs=125.6模擬低通濾波器指標(biāo)：normwp=78.5，normws=125.6，Rp=1dB，As=15dB(4)設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器。用模擬低通濾波器設(shè)計(jì)方法得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)并調(diào)用lp2bp函數(shù)將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)化為模擬帶通濾波器。(5)利用雙線性變換法將模擬低通濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器H(z).5.2程序流程框圖開始讀入數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)將指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)歸一化的模擬低通濾波器階數(shù)N和1db截止頻率模擬域頻率變換，將G(P)變換成模擬低通濾波器H(s)用雙線性

26、變換法將H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器H(z)輸入信號后顯示相關(guān)結(jié)果結(jié)束 圖6程序流程框圖5.3 MATLAB程序MATLAB 程序如下:%數(shù)字濾波器指標(biāo)wp=0.25*pi; %濾波器的通帶截止頻率ws=0.4*pi; %濾波器的阻帶截止頻率Rp=1;As=15; %輸入濾波器的通阻帶衰減指標(biāo)ripple=10(-Rp/20);Attn=10(-As/20);%轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標(biāo)Fs=100;T=1/Fs;Omgp=(2/T)*tan(wp/2); %原型通帶頻率預(yù)修正Omgs=(2/T)*tan(ws/2); %原型阻帶頻率預(yù)修正%模擬原型濾波器計(jì)算n,Omgc=buttord(Omgp,

27、Omgs,Rp,As,s) %計(jì)算階數(shù)n和截止頻率z0,p0,k0=buttap(n); %歸一化原型設(shè)計(jì)ba=k0*real(poly(z0); %求原型濾波器系數(shù)aa=real(poly(p0); %求原型濾波器系數(shù)aba1,aa1=lp2lp(ba,aa,Omgc); %變換為模擬低通濾波器系數(shù)b,a %注意，以上4行求濾波器系數(shù)ba1,aa1的程序，可由下一條程序替代 ba1,aa1=butter(n,Omgc,s); % 直接求模擬濾波器系數(shù)%用雙線性變換法計(jì)算數(shù)字濾波器系數(shù) bd,ad=bilinear(ba1,aa1,Fs); %用雙線性變換法計(jì)算數(shù)字濾波器系數(shù)b,asos,g=

28、tf2sos(bd,ad); %由直接型變換為級聯(lián)型%求數(shù)字系統(tǒng)的頻率特性H,w=freqz(bd,ad);dbH=20*log10(abs(H)+eps)/max(abs(H); %化為分貝值subplot(2,2,1),plot(w/pi,abs(H);ylabel(|H|);title(幅度響應(yīng));axis(0,1,0,1.1);set(gca,XTickMode,manual,XTick,0,0.25,0.4,1);set(gca,YTickMode,manual,YTick,0,Attn,ripple,1);gridsubplot(2,2,2),plot(w/pi,angle(H)/

29、pi);ylabel(phi);title(相位響應(yīng));axis(0,1,-1,1);set(gca,XTickMode,manual,XTick,0,0.25,0.4,1);set(gca,YTickMode,manual,YTick,-1,0,1);gridsubplot(2,2,3),plot(w/pi,dbH);title(幅度響應(yīng)(dB);ylabel(dB);xlabel(頻率（pi);axis(0,1,-40,5);set(gca,XTickMode,manual,XTick,0,0.25,0.4,1);set(gca,YTickMode,manual,YTick,-50,-15,-1,0);gridsubplot(2,2,4),zplane(bd,ad);axis(-1.1,1.1,-1.1,1.1);title(零級圖);5.4運(yùn)行結(jié)果及分析n=5圖7 運(yùn)行結(jié)果由頻率特性曲線可知，該設(shè)計(jì)結(jié)果在通阻帶截止頻率處能滿足Rp1dB,As15 dB的設(shè)計(jì)要求，系統(tǒng)的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，是一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)。由n=5可知，巴特沃斯數(shù)字低通濾波器是一個(gè)5階的系統(tǒng)，原型Ha（s）在s=-處有5個(gè)零點(diǎn)，映射到z=-1處。這個(gè)巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)為H(z)=0