全等三角形中做輔助線總結(jié)供參考

1、百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地捉升口我全等三角形中做輔助線技巧要點(diǎn)大匯總3口訣：三角形圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看,對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線,等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線,三線合一試試看。線段垂直平分線,常向兩端把線連。線段和差及倍半,延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式,移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn),連接則成中位線。三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線。一、由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相 等。對(duì)

2、于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。 從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線； 利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下 考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等如圖 1-1, ZAOC二ZBOC,如取 0E二OF,并連 接DE、DF,則有 OEDAOFD,從而為我們證 明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例 1. 如圖 1-2, AB/CD, BE 平分ZBCD, CE平分ZBCD,點(diǎn)E在AD上，求證：BC二AB+CD。例2. 已知:如圖 1-3, AB=2AC,

3、ZBAD=ZCAD, DA二DB,求證 DC丄AC例3. 已知：如圖1-4,在ZABC中，ZC=2ZB, AD平分ZBAC,求證：AB-AC 二 CD圖1-4分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明 中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的 和差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的 線段上截取短的線段，來(lái)證明。試試看可否把短的 延長(zhǎng)來(lái)證明呢？練習(xí)1.已知在AABC中，AD平分ZBAC, ZB二2ZC,求證：AB+BD二AC2- 已知：在ZABC 中，ZCAB二2ZB, AE 平分ZCAB 交 BC 于 E, AB二2AC, 求證：AE二2CE3- 已知：在AABC中，ABAC, AD為

4、ZBAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CMAB-AC百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地捉升口我4- 已知：D是AABC的ZBAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DCo 求證:BD+CDAB+ACo（二人角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。例 1 如圖 2-1,已知 ABAD, ZBAC=ZFAC, CD=BCo求證：ZADC+ZB二 180分析：可山C向ZBAD的兩邊作垂線。近而證ZADC 與ZB之和為平角。例2.如圖 2-2,在/XABC 中，ZA=90, AB二AC, ZABD二ZCBD。求證：BC二AB+A

5、D例3.已知如圖2-3, A ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證:的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)Po分析：連接AP,證AP平分ZBAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。ZBACA,練習(xí):1-如圖 2-4ZA0P二ZB0P二 15, PC/0A, PD丄0圖2-4分析：過(guò)D作DE丄BC于E,則AD二DE二CE,則構(gòu)造出 全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問(wèn)題, 從中利用了相當(dāng)于截取的方法。如果 PC=4,則 PD二()A 4 B 3 C 22.已知在厶他。中，ZC二90,AD 平分ZCAB, CD=1. 5, DB=2. 5.求 AC。3. 已知：如圖 2-5, ZBAC=ZCAD,

6、 ABAD, CE丄AB,AE=2 (AB+AD).求證：ZD+ZB二 180。4. 已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn),F 為 BC 上的點(diǎn)，ZFAE=ZDAEo 求證：AF二AD+CF。5-已知：如圖 2-7,在 RtAABC 中，ZACB二90 ,CD丄AB,垂足為D, AE平分ZCAB交CD于F,過(guò)F作FH/AB交BC于H。求證CF 二 BH。(三)：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線,使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形, 垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和髙，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三 角形的三線合一的性質(zhì)。(如果

7、題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一例 1. 已知：如圖 3-1, ZBAD=ZDAC, ABAC, CD丄AD 于 D, H 是 BC 中點(diǎn)。求證：DH二+ (AB-AC)分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問(wèn)題可證。D例2.已知：如圖 3-2, AB=AC, ZBAC二90, AD 為ZA7圖3-2百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地捉升口我BC的平分線，CE丄BE.求證：BD二2CE。例3.已知：如圖3-3在AABC中，AD、AE分別ZBAC的內(nèi)、外角平分線,過(guò)頂點(diǎn)B作BFAD,交AD的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)FC并延長(zhǎng) 交AE于M。求證：AM二ME。分析：由AD、AE是ZBAC內(nèi)外

8、角平分線，可得EA 丄AF,從而有BF/AE,所以想到利用比例線段證相等。例4.已知：如圖3-4,在ABC中，AD平分ZBAC, AD=AB, CM丄AD交AD 延長(zhǎng)線于M。求證：AM二丄(AB+AC)2分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作AABD關(guān)于AD的對(duì)稱AAED,然后只需證DH二】EC,另外2曲求證的結(jié)果AM=| (AB+AC),即2AM二AB+AC，也可嘗試作AACM關(guān)于CM的對(duì)稱AFCM,然后只需證DF二CF即可。練習(xí)：E 已知：在ZABC中，AB=5, AC=3, D是BC中點(diǎn)，AE是ZBAC的平分線，且CE丄AE于E,連接DE,求DE。2. 已知BE

9、、BF分別是AABC的ZABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF丄BF 于F, AE丄BE于E,連接EF分別交AB、AC于M、N,求證MX二*BC（四人以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰 三角形。或通過(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交， 從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。c圖4一29例 4 如圖,ABAC, Z1=Z2,求證：AB-ACBD-CDo例 5 如圖，BCBA, BD 平分ZABC,且 AD二CD,求證：ZA+ZC二 180。例 6 如圖，AB/CD, AE、DE 分別平分ZBAD 各ZAD

10、E,求證：AD二AB+CD。百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地捉升口我練習(xí)：1.已知，如圖，ZC=2ZA, AC二2BC。求證：ABC是直角三角形。c2.已知：如圖，AB二2AC, Z1=Z2, DA=DB,求證：DC丄AC4.已知：如圖在厶艇。中，ZA=90 , AB二AC, BD是ZABC的平分線，求證：BC二AB+AD1、由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，

11、然后證明新線 段等于長(zhǎng)線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于笫 三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可 連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或兒個(gè)三角形中， 再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知如圖1-1： D、E為厶ABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+ACBD+DE+CE.證明：(法一)將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、X,在 AAMN 中，AM+AXMD+DE+E; (1)在BDM 中，MB+MDBD； (2)在ACEN 中，CX+NECE； (3)由(1)

12、+ (2) + (3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+AOBD+DE+EC（法二：圖 1-2）延長(zhǎng)BD交AC于F,廷長(zhǎng)CE交BF于G,在ZXABF和AGFC和AGDE中有：AB+AFBD+DG+GF （三角形兩邊之和大于第三邊）(1)GF+FOGE+CE （同上）（2）DG+GEDE （同上）（3）由（1） + （2） + （3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+AOBD+DE+EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在 某個(gè)三角形

13、的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定 理：例如：如圖2-1：已知D為AABC內(nèi)的任一點(diǎn),求證:ZBDC NBAC。 殛：因?yàn)閆BDC與ZBAC不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng) 添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使ZBDC處于在外角的位置，ZBAC處于在內(nèi)角 的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)ZBDC是AEDC的外角,AZBDOZDEC,同理ZDEOZBAC, A ZBDOZBAC證法二：連接AD,并廷長(zhǎng)交BC于F,這時(shí)ZBDF是AABD的外角，AZBDFZBAD,同理，ZCDFZCAD, A ZBDF+ZCDFZBAD+ZCAD, B|J： ZBDOZBAC。注

14、意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三. 有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形,如：例如:如圖3-1：已知AD為AABC的中線,且Zl = Z2,Z3=Z4、求證:BE+CFEF。分珮 要證BE+CFEF,可利用三角形三邊關(guān)系定 理證明，須把BE, CF, EF移到同一個(gè)三角形中，而由 已知Z1=Z2,Z3=Z4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN, FN, EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN二DB,連接NE, NF,則DN二DC, 在ADBE

15、和中：DN二DB （輔助線作法）Z1=Z2 （已知）1 ED二ED （公共邊）/.ADBEANDE （SAS）BE二NE （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF二NF在AEFN中EN+FNEF （三角形兩邊之和大于笫三邊）BE+CFEF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全 等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。三、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-仁 在ZABC中，ABAC, Z1 = Z2, P為AD上任一占求證:AB-ACPB-PCO要證：AB-AOPB-PC,想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)?欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從

16、而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,故可 在AB上截取AN等于AC,得AB-AC二BN,再連接PN,則PC二PN,又在APNB中， PB-PNPB-PCo證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN=AC連接PN,在UPN和MPC中AN二AC （輔助線作法）z2 （已知）AP=AP （公共邊）.APN呂MPC （ SAS ）八PC二PN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.在BPN中，有PB-PNBN （三角形兩邊之差小于第三邊）.BP-PCPM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）/.AB-ACPB-PCO例1.如圖，AC平分ZBAD, CE丄AB,17例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分ZBAD, CE丄AB于E, AD

17、+AB二2AE,求證：ZADC+ZB二 180例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB二AC, A=108 , BD平分ABCo 求證：BC二AB+DC。百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地捉升口我例4如圖，已知RtAABC中，ZACB二90 , AD是ZCAB的平分線，DH丄AB于M,且AM二MB。求證：CD二亍DB?！竞粚?shí)基礎(chǔ)】 例：A4BC中，AD是ABAC的平分線，且BD=CD,求證AB二AC 方法1：作DE丄AB于E,作DF丄AC于F,證明二次全等 方法2：輔助線同上，利用而積【方法稱講】常用輔助線添加方法一 長(zhǎng)中線延長(zhǎng)AD到E, 使 DE=AD, 連接BE間接倍長(zhǎng)延長(zhǎng)MD到N, 使 DHMD,

18、連接CD方法3：倍長(zhǎng)中線AD【經(jīng)典例題】例1： AABC中，AB=5, AC=3,求中線AD的取值范圍提示：畫出圖形，倍長(zhǎng)中線AD,利用三角形兩邊之和大于第三邊例2：已知在AABC中，AB=AC, D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F,且 DF=EF,求證：BD=CEA方法1：過(guò)D作DGAE交BC于G,證明A DGF A CEF方法2：過(guò)E作EG/7AB交BC的延長(zhǎng)線于G,證明A EFG A DFB /方法3：過(guò)D作DG丄BC于G,過(guò)E作EH丄BC的延長(zhǎng)線于H %.證明 A BDG旦 A ECHB 一 c例3：已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE二AC,延長(zhǎng)

19、BE交AC 于 F,求證：AF=EF提示：倍長(zhǎng)AD至G,連接BG,證明A BDG A CDA 三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如圖，在中，ABAC, D、E在BC上，且DE二EC,過(guò)D作DF/B4 交AE于點(diǎn)F, DF=AC求證：AE平分ABAC提示：方法1：倍長(zhǎng)AE至G,連結(jié)DG方法2：倍長(zhǎng)FE至H,連結(jié)CH例 5：已知 CD=AB, ZBDA=ZBAD, AE 是AABD 的中線，求證：ZC=ZBAE提示：倍長(zhǎng)AE至F,連結(jié)DF 證明 AABE AFDE (SAS) 進(jìn)而證明厶ADFAADC (SAS)【融會(huì)貫通】1、在四邊形ABCD中，ABDC, E為BC邊的中點(diǎn)，ZBAE=ZEAF

20、. AF與DC的延長(zhǎng)線 相交于點(diǎn)耳 試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長(zhǎng)AE、DF交于G 證明 AB二GC、AF二GF 所以 AB二AF+FC2、如圖，AD為AABC的中線，DE平分Z3O4交AB于E, DF平分ZADC交AC于F.求第14題囹證：BE+CFEF提示：方法1：在DA上截取DG=BD,連結(jié)EG. FG 證明 A BDE A GDE DCF9 DGF 所以 BE=EG. CF=FG利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長(zhǎng)ED至H,連結(jié)CH、FH證明 FH=EF、CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖，AABC 中，ZC=90% CMXAB

21、 于 M, AT 平分ZBAC 交 CM 于 D,交 BC 于T,過(guò)D作DE/AB交BC于E,求證：CT=BE提示：過(guò)T作TN丄AB于NAM證明 A BTN A ECDA B v-EC1如圖，ABCD，AE、DE 分別平分ZBAD 各ZADE,求證：AD二AB+CD。212 如圖，A ABC 中，ZBAC=90 , AB=AC, AE 是過(guò) A 的一條直線，且 B, C在AE的異側(cè)，BD丄AE 于 D, CE丄AE 于 E。求證：BD二DE+CE四、由中點(diǎn)想到的輔助線口訣:三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地捉升口我在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三

22、角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到 三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、 等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1, AD是A ABC的中線，則S、血二S y二Ws * （因?yàn)锳ABD與AACD 是等底同高的）。例1.如圖2, A ABC中，AD是中線，延長(zhǎng)AD到E,使DE二AD, DF是ADCE 的中線。已知AABC的面積為2,求：ACDF的面積。解：因?yàn)锳D是A ABC的中線，所以S二丄Sy二丄X2二1, 乂因CD是AAC 2 2E的中線，故SgFSg=l,因DF是ACDE的

23、中線,所以Sg二丄S,二丄XI二丄。2 2 2ACDF的面積為十。（二人由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2.如圖3,在四邊形ABCD中，AB二CD, E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、 CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、Ho求證：ZBGE=ZCHEo證明：連結(jié)BD,并取BD的中點(diǎn)為M,連結(jié)ME、MF,TME是ABCD的中位線，ME 丄 CD, ZMEF二ZCHE,=2MF是AABD的中位線， MF 丄 AB, ZMFE二 ZBGE,=2TAB二CD,AZMEF=ZMFE,從而 ZBGE=ZCHEo圖3E27AD 乂是BC邊上的中圖5（三人由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3.圖4,已知A ABC中，AB

24、二5, AC二3,連BC上的中線AD二2,求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng) AD 到 E,使 DE二AD,則 AE二2AD二2 X2二4在AACD和AEBD中，VAD=ED, ZADC二ZEDB, CD二BD,A AACD AEBD,二AC二BE,從而 BE二AC二 3。在 A ABE 中，因 AE:+BE2=42+3:=25=AB:,故ZE二90 ,:BD二 J胡十閔=腫十=矩,故 BC二2BD二2713。例4如圖5,已知A ABC中，AD是ZBAC的平分線,線。求證： ABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)AD到E,使DE=ADo仿例3可證：ABED ACAD,故 EB二AC, ZE二Z2,又 Z1=Z2,A

25、Z1=ZE,AB二EB,從而AB二AC,即A ABC是等腰三角形。（四人直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5.如圖6,已知梯形ABCD中，AB/DC, AC丄BC, AD丄BD,求證：AC二BD。證明：取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE、CE,則DE、CE分別為Rt AABD, Rt A ABC斜邊AB上的中線，故DE二CE二丄AB,因此ZCDE二ZDCE。2VAB/DC,ZCDE二Zl, ZDCE=Z2,AZ1=Z2,在A ADE和A BCE中,VDE=CE, Z1=Z2, AE二BE,AAADEABCE, AAD=BC,從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC二BD。（五人角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形

26、的中線例6如圖7, A ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90 , BD平分ZABC交AC于點(diǎn)D, CE垂直于BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD二2CE。 證明：延長(zhǎng)BA, CE交于點(diǎn)F,在ABEF和ABEC中， VZ1=Z2, BE二BE, ZBEF二ZBEC二90 , ABEF9 ABEC, AEF=EC,從而 CF二2CE。乂Zl+ZF二Z3+ZF二90 ,故Zl=Z3o在 A ABD 和 A ACF 中，VZ1=Z3, AB二AC, ZBAD二ZCAF二 90 ,A AABD AACF, ABD=CF, BD二2CE。注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線。（六）中線延長(zhǎng)口訣

27、：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。題H中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地捉升口我例一：如圖 4-1： AD 為ZABC 的中線，且Z1=Z2, Z3=Z4,求證：BE+CFAEFo證明：廷長(zhǎng)ED至M,使DH二DE,連接CM, MF。 在 ABDE 和 ZkCDM 中，（BD二CD （中點(diǎn)定義）EF上題也可加倍FD,證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1： AD為ZSABC的中線，求證：AB+AC2ADo分析：要證 AB+AO2AD,山圖想到

28、：AB+BDAD,AC+CDAD,所以有 AB+AC+BD +CDAD+AD二2AD,左邊比要證結(jié)論多BD+CD,故不能直接證出此題，而ill 2AD想 到要構(gòu)造2AD,即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長(zhǎng)AD至E,使DE二AD,連接BE, CEVAD為AABC的中線（已知）BD二CD （中線定義）在AACD和ZkEBD中BD=CD （已證）Z1二Z2 （對(duì)頂角相等）AD二ED （輔助線作法）AAACDAEBD （SAS）BE二CA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）圖5 1在AABE中有：AB+BEAE （三角形兩邊之和大于第三邊）AAB+AC2ADo練習(xí)：1如圖，AB二6, A

29、C二8, D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圉。2 如圖，AB=CD, E 為 BC 的中點(diǎn)，ZBAC=ZBCA,求證：AD=2AEo3 如圖，AB二AC, AD=AE, M 為 BE 中點(diǎn)，ZBAC=ZDAE=90。求證：AM丄DC。百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地捉升口我4,已知ABC, AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外 作等腰直角三角形，如圖5-2,求證EF二2AD。B D C5.已知：如圖AD為AABC的中線，AE二EF,求證： 圖5穩(wěn) /7 E BF二AC/ Z = ZCAE = 90。,連接，弘艸分別是、處的中點(diǎn).探究： 如/與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（1）如圖當(dāng) wc為直

30、角三角形時(shí)，山/與血的位置關(guān)系是線段如/與力的數(shù)量關(guān)系是:（2）將圖中的等腰繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（0&90）后, 如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理山.31百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地捉升口我（二）、截長(zhǎng)補(bǔ)短1 如圖，中，AB二2AC, AD 平分且 AD二BD,求證：CD丄ACBD3：如圖，已知在ABC內(nèi)，ZB4C = 60： ZC = 40, p, Q 分別在 BC, CAC33B上，并且AP, BQ分別是Z34G O3C的角平分線。求證:二AB+BP百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地捉升口我4：如圖，在四邊形ABCD中，BCBA, AD = CD, BD平分OBC,求證:ZA +

31、ZC = 180a3:如圖在ZABC中，ABAC, Z1 = Z2, P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC PB-PC中考應(yīng)用（08海淀一模）如圖，在四邊旳AECD中，.40 ffBC,點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若厶60。期=BC、且 判斷AD E Lj BC的關(guān)系并證明你的結(jié)論.例題講解:一. 利用轉(zhuǎn)化倍角.構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，我們就可以通過(guò)轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰 三角形如圖中，若ZABC=2ZC,如果作BD平分ZABC,則aDBC是等腰三角形；如圖中，若ZABC=2ZC,如果延長(zhǎng)線CB到D,使BD=BA,連結(jié)AD,貝U ADC 是等腰三角形：如圖中，若ZB=2

32、ZACB,如果以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在形 外作ZACD=ZACB.交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則DBC是等腰三角形. f百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地捉升口我k 如圖,AABC中，AB=AC9 BD丄AC交AC于D.求證:2、如圖.AABC 中，ZACB=2ZB. BC=2AC.求證：ZA=90%二. 利用角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形. 如圖中，若AD平分ZBAC, AD/EC9則aACE是等腰三角形； 如圖中，AD平分ZBAC, DE/AC,則aADE是等腰三角形； 如圖中.AD平分ZBAC, CE/AB,則bACE是等腰三角形

33、；433、如圖， ABC中，AB=AC.在AC上取點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作EF丄BC,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,垂足為點(diǎn)只求證：AE=AP.A4、如圖，A ABC 中，AD 平分 ABAC. E、F 分別在 BD、AD 上，且 DE=CD, EF=AC.求證：EF/AB.三. 利用角平分線+垂線，構(gòu)造等腰三角形ED圖1當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖1中, 若AD平分ZBAC, ADI DC,則 AEC是等腰三角形5、如圖 2,已知等腰 RtA ABC 中，AB=AC, ZBAC=90。，BF 平分ZABC, CD丄BD 交BF的延長(zhǎng)線于Do求證：BF=2CD四：其他方

34、法總結(jié)1.截長(zhǎng)補(bǔ)短法6、如圖，已知：正方形ABCD中，ZBAC的平分線交BC于E, 求證：AB+BE=AC2.倍長(zhǎng)中線法題中條件若有中線，可延長(zhǎng)一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)。7、如圖（7） AD是ZkABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求證：AC=BF8、已知AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為宜角邊各向外作等腰直角三角 形，如圖，求證EF=2ADo3.平行線法（或平移法）若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過(guò)中點(diǎn)作平行線或中位線，對(duì)Rt，有時(shí)可作出斜邊的中線.9、AABC 中，ZBAC=60 , ZC=40 AP 平分ZBAC 交 BC 于 P, BQ 平分ZABC 交 AC圖（2）于 Q,求證：AB+BP=BQ+AQ.說(shuō)明：本題也可以在AB截取AD=AQ,連OD, 構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”.本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下: 如圖（1）,過(guò)O作ODBC交AC于D,則厶ADOAABO來(lái)解決.如圖（2）,過(guò)O作DEBC交AB于D,交AC于E, 則厶ADOAAQO, aaboaae0 來(lái)解決. 如圖（3）,過(guò)P作PDBQ交AB的延長(zhǎng)線于D,則厶APDAAPC來(lái)解決. 如圖（4）,過(guò)P作PDBQ交AC于D,則厶ABPAADP來(lái)解決.C10、已知：如圖，EAABC中，ZA的平分線A