2020屆人教版中考數學-拔高專題：一元二次方程及其解法（一）直接開平方法-中（有答案）

1、 一元二次方程及其解法（直接開平方法知識講解）【學習目標】1理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義，會把一元二次方程化為一般形式；2掌握直接開平方法解方程，會應用此判定方法解決有關問題；3理解解法中的降次思想，直接開平方法中的分類討論與換元思想.【要點梳理】要點一、一元二次方程的有關概念1一元二次方程的概念：通過化簡后，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程要點詮釋：識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數；（3）未知數的最高次數是2.不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2 一元二次方程的

2、一般形式：一般地，任何一個關于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次項，是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項要點詮釋：(1)只有當時，方程才是一元二次方程；(2)在求各項系數時，應把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項系數時注意不要漏掉前面的性質符號.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要結論（1）若a+b+c=0,則一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一個根，則a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,則一元

3、二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一個根，則a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一個根x=0，則c=0；反之也成立，若c=0，則一元二次方程必有一根為0.要點二、一元二次方程的解法1直接開方法解一元二次方程：(1)直接開方法解一元二次方程： 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.(2)直接開平方法的理論依據： 平方根的定義.(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類： 形如關于x的一元二次方程，可直接開平方求解. 若，則；表示為，有兩個不等實數根； 若，則x=O；表示為，有兩個相等的實數根； 若，則方程無實數根 形如關于x的

4、一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是 .要點詮釋：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據是平方根的定義，應用時應把方程化成左邊是含未知數的完全平方式，右邊是非負數的形式，就可以直接開平方求這個方程的根.【典型例題】類型一、關于一元二次方程的判定例1判定下列方程是不是一元二次方程:(1)； (2)【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得 ， 所以 其中，二次項的系數，所以原方程是一元二次方程(2)整理原方程，得 ， 所以 其中，二次項的系數為，所以原方程不是一元二次方程【總結升華】識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數；（3）未知數的最 高次數

5、是2.不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.【變式】判斷下列各式哪些是一元二次方程 ； ； ； ； ； 【答案】.【解析】不是方程； 不是整式方程； 含有2個未知數，不是一元方程； 化簡后沒有二次項，不是2次方程. 符合一元二次方程的定義類型二、一元二次方程的一般形式、各項系數的確定例2.把下列方程中的各項系數化為整數，二次項系數化為正數，并求出各項的系數：(1)-3x2-4x+2=0； (2)【答案與解析】(1)兩邊都乘-1，就得到方程 3x2+4x-2=0 各項的系數分別是： a=3，b=4，c=-2(2)兩邊同乘-12，得到整數系數方程 6x2-20x+9=0各項的系

6、數分別是：【總結升華】一般地，常根據等式的性質把二次項的系數是負數的一元二次方程調整為二次項系數是正數 的一元二次方程；把分數系數的一元二次方程調整為整數系數的一元二次方程值得注意的是，確定各項的系數時，不應忘記系數的符號，如(1)題中c=-2不能寫為c=2，(2)題中不能寫為舉一反三：【變式】將下列方程化為一元二次方程一般形式，并指出二次項系數、一次項系數和常數項： （1）； （2）【答案】（1），二次項系數是3、一次項系數是-5、常數項是2. （2）化為二次項系數是a、一次項系數是1、常數項是-a-2.類型三、一元二次方程的解（根）例3. 如果關于x的一元二次方程x2+px+q0的兩根分別

7、為x12，x21，那么p，q的值分別是( ) A-3，2 B3，-2 C2，-3 D2，3【答案】A；【解析】 x2是方程x2+px+q0的根， 22+2p+q0，即2p+q-4 同理，12+p+q0，即p+q-1 聯立，得 解之得：【總結升華】由方程根的定義得到關于系數的方程(組)，從而求出系數的方法稱為待定系數法，是常用的數學解題方法即分別用2，1代替方程中未知數x的值，得到兩個關于p、q的方程，解方程組可求p、q的值類型四、用直接開平方法解一元二次方程例4.解方程（1）3x2-24=0； (2)5(4-3n)2=320 【答案與解析】（1）把方程變形為3x2=24，x2=8開平方，得原方

8、程的根為x=或x=-(2)原方程可化為(4-3n)2=64，所以有4-3n=8或4-3n=-8所以，原方程的根為n=-或n=4【總結升華】應當注意，形如=k(k0)的方程是最簡單的一元二次方程，“開平方”是解這種方程最直接的方法“開平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一舉一反三：【變式1】用直接開平方法求下列各方程的根： (1)x2=361； (2)2y2-72=0； (3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0【答案】(1) x2=361， x=19或x=-19(2)2y2-72=0， 2y2=72， y2=36， y=6或y=-6(3)5a2-1=0， 5a2=1， a2=， a=或a=-(4)-8m2+36=0， -8m2=-36， m2=， m=或m=-【變式2】解下列方程： (1)(x+5)2=225； (2)(3y-2)2=27； (3)3(b+4)2=96. 【答案】(1) (x+5)2=225， x+5