最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)課件(10)

1、2021/3/111 2021/3/112 、公約數(shù)；最大公約數(shù)；最大公約數(shù)性質(zhì)；、公約數(shù)；最大公約數(shù)；最大公約數(shù)性質(zhì)； 、公倍數(shù)；最小公倍數(shù)；最小公倍數(shù)性質(zhì)；、公倍數(shù)；最小公倍數(shù)；最小公倍數(shù)性質(zhì)； 、質(zhì)數(shù)與合數(shù)；分解質(zhì)因數(shù)的方法。、質(zhì)數(shù)與合數(shù)；分解質(zhì)因數(shù)的方法。 2021/3/113 定理定理1 一個(gè)大于一個(gè)大于1 1的整數(shù)的整數(shù)b b整除另一個(gè)整除另一個(gè) 自然數(shù)自然數(shù)a a的充要條件是：的充要條件是：b b的每一個(gè)質(zhì)因的每一個(gè)質(zhì)因 數(shù)都是數(shù)都是a a的質(zhì)因數(shù)；并且的質(zhì)因數(shù)；并且b b里任何一個(gè)相里任何一個(gè)相 同質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)，都不超過同質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)，都不超過a a里該質(zhì)因里該質(zhì)因 數(shù)的個(gè)數(shù)。

2、數(shù)的個(gè)數(shù)。 2021/3/114 求幾個(gè)數(shù)最大公約數(shù)的方法：求幾個(gè)數(shù)最大公約數(shù)的方法： 把這幾個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，再把這幾個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，再 把幾個(gè)數(shù)公有的一切質(zhì)因數(shù)連乘起來。把幾個(gè)數(shù)公有的一切質(zhì)因數(shù)連乘起來。 2021/3/115 5 52| 5 57| 3 5223 5763 05312 00722 7 53 |5 501 | 3 513 | 3 5493 09812 08732 06572 例例1 求求2700、7560、3960的最大公約數(shù)的最大公約數(shù) 解：解： 11 55 | 5 561 | 3 5943 0992 08912 06932 得得: 2700223352 , 756

3、0233357, 39602332511 （2700，7560，3960） 22325 180 2021/3/116 書寫簡(jiǎn)便形式 224215 11021075|5 3306302253 99018906753 1980378013502 3960756027002 （2700，7560，3960）22325180 2021/3/117 用分解質(zhì)因數(shù)法求各組數(shù)的最大公約數(shù)用分解質(zhì)因數(shù)法求各組數(shù)的最大公約數(shù) （1）36和和48 （2）64和和72 （3）4、12和和42 （4）112、124和和420 2021/3/118 定理定理2 如果第一個(gè)數(shù)能被第二個(gè)如果第一個(gè)數(shù)能被第二個(gè) 數(shù)整除，那么

4、這兩個(gè)數(shù)的最大公數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公 約數(shù)就是第二個(gè)數(shù)。約數(shù)就是第二個(gè)數(shù)。 如果如果ba , ba , 那么（那么（a,ba,b）=b=b 2021/3/119 定理定理3 如果第一個(gè)數(shù)除以第二個(gè)數(shù)，余數(shù)如果第一個(gè)數(shù)除以第二個(gè)數(shù)，余數(shù) 不等于零，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)就是不等于零，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)就是 第二個(gè)數(shù)與這個(gè)余數(shù)的最大公約數(shù)。第二個(gè)數(shù)與這個(gè)余數(shù)的最大公約數(shù)。 如果如果a ab=q(b=q(余余r)(r0)r)(r0)， 則（則（a,ba,b）（）（b,rb,r）. 2021/3/1110 例如例如 527102 5（余（余17）, (527,102) (102,17)

5、 又又17102， （102，17）17. 因此（因此（527，102）17. 2021/3/1111 設(shè)設(shè)ab, 當(dāng)當(dāng)ba時(shí)，那么（時(shí)，那么（a、b）b； 當(dāng)當(dāng)b a時(shí)，有余數(shù)時(shí)，有余數(shù)r1，那么（，那么（a、b）=(b、r1). 當(dāng)當(dāng)r1b時(shí)，那么（時(shí)，那么（b, r1）= r1 ； 當(dāng)當(dāng)r1 b時(shí)，有余數(shù)時(shí)，有余數(shù)r2，那么（，那么（b, r1）=( r1 , r2). 依次除下去，余數(shù)逐漸減?。ㄒ来纬氯?，余數(shù)逐漸減?。╞ r1 r2rn）, 必能得到一個(gè)必能得到一個(gè)rn0，這時(shí)，這時(shí)， rn-1 rn-2， （rn-1 , rn-2）rn-1 . 由此得出：由此得出： （a,b）=

6、(b, r1) = ( r1 ,r2) = = ( rn-1 , rn-2) = rn-1 . 這種方法叫做這種方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法輾轉(zhuǎn)相除法（也叫做歐幾里得算法）。（也叫做歐幾里得算法）。 | | 2021/3/1112 例例2 2 . 解：解： 377 3773193191 1（余（余5858），）， （377377，319319）（）（319319，5858）；）； 319 31958585 5（余（余2929），）， （319319，5858）（）（5858，2929）；）； 58 5829292 2（余（余0 0），）， （5858，2929）2929； （319319，377377）

7、2929。 2021/3/1113 可以用下面的簡(jiǎn)便形式來求（可以用下面的簡(jiǎn)便形式來求（319，377）. 1 319（b） 377（a） 290 319 2 29（r2） 58（r1） 5 58 0（r3） （319，377）29， 2021/3/1114 例例3 3 求（求（418，494，589）. 解：解：先求得（先求得（418，494）38， 再求得（再求得（38，589）19， （418，494，589）19 2021/3/1115 用輾轉(zhuǎn)相除法求下列各組數(shù)的最大公約用輾轉(zhuǎn)相除法求下列各組數(shù)的最大公約 數(shù)數(shù) （1）49和和91 （2）391和和299 （3）252和和180 （4）

8、4935和和13912 2021/3/1116 例例1 1 求求9696、3030和和132132的最小公倍數(shù)。的最小公倍數(shù)。 解：解：96962 25 53 3； 30302 23 35 5； 1321322 22 23 31111； 9696，3030，132=2132=25 53 35 5111152805280 2021/3/1117 1158 225162 6615483 13230962 二二個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)公公有有的的質(zhì)質(zhì)因因數(shù)數(shù) 三三個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)公公有有的的質(zhì)質(zhì)因因數(shù)數(shù) 三三個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)公公有有的的質(zhì)質(zhì)因因數(shù)數(shù) 96，30，13222385115280 2021/3/1118 可以先取出它們公

9、有的一切質(zhì)因數(shù)可以先取出它們公有的一切質(zhì)因數(shù) （可以從小到大依次取），再取出其中的（可以從小到大依次?。?，再取出其中的 幾個(gè)數(shù)（可以用依次去掉一個(gè)數(shù)的方法來幾個(gè)數(shù)（可以用依次去掉一個(gè)數(shù)的方法來 檢驗(yàn)）公有的質(zhì)因數(shù)，然后把所取出的公檢驗(yàn)）公有的質(zhì)因數(shù)，然后把所取出的公 有的質(zhì)因數(shù)和每個(gè)數(shù)所有的因數(shù)連乘起來。有的質(zhì)因數(shù)和每個(gè)數(shù)所有的因數(shù)連乘起來。 2021/3/1119 a,b(a,b)=a b, a,b=ab(a,b). 求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，可以用兩求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，可以用兩 個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，除兩個(gè)數(shù)的積，所個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，除兩個(gè)數(shù)的積，所 得的商就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。得的商就是這

10、兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 2021/3/1120 例例2 2 求求105,42.105,42. 解：解：（105,42105,42）=21, =21, 105,42 105,42 =105 =10542422121 =210. =210. 2021/3/1121 1、用分解質(zhì)因數(shù)法求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)。、用分解質(zhì)因數(shù)法求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)。 （1）36和和48 （2）64和和72 （3）4、12和和42 （4）112、124和和420 2、用求最大公約數(shù)法求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)；、用求最大公約數(shù)法求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)； （1）185和和338（2）46和和240 3、指出小明在求三個(gè)

11、數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí)的錯(cuò)誤，并對(duì)他作正、指出小明在求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí)的錯(cuò)誤，并對(duì)他作正 確的解釋。確的解釋。 12，18，2422324144. 432 12963 2418122 2021/3/1122 某班學(xué)生自制教具，把長(zhǎng)某班學(xué)生自制教具，把長(zhǎng)144144厘米、寬厘米、寬4848厘米、厘米、 厚厚3232厘米的長(zhǎng)方體木料，鋸成盡可能大的同樣大小厘米的長(zhǎng)方體木料，鋸成盡可能大的同樣大小 的正方體木塊，求正方體木塊的棱長(zhǎng)和鋸成的塊數(shù)的正方體木塊，求正方體木塊的棱長(zhǎng)和鋸成的塊數(shù) （鋸?fù)曛笤玖蠜]有剩余。）（鋸?fù)曛笤玖蠜]有剩余。） 解：解：正方體木塊的每條棱長(zhǎng)是（正方體木塊的每條棱長(zhǎng)是（1

12、44144，4848，3232）1616 木料和長(zhǎng)所鋸成的份數(shù)是木料和長(zhǎng)所鋸成的份數(shù)9， 木料的寬所鋸成的份數(shù)是木料的寬所鋸成的份數(shù)是484816163 3， 木料的厚所鋸成的份數(shù)是木料的厚所鋸成的份數(shù)是323216162 2， 鋸成正方體的塊數(shù)是鋸成正方體的塊數(shù)是 9 93 32=542=54（塊）。（塊）。 答：正方體木塊的棱長(zhǎng)是答：正方體木塊的棱長(zhǎng)是1616厘米，可以鋸成厘米，可以鋸成5454塊。塊。 2021/3/1123 例例2 2 一對(duì)嚙合齒輪，一個(gè)有一對(duì)嚙合齒輪，一個(gè)有2121個(gè)齒，另一個(gè)齒，另一 個(gè)有個(gè)有3030個(gè)齒，其中某一對(duì)指定的齒，從第一個(gè)齒，其

13、中某一對(duì)指定的齒，從第一 次相遇到第二次相遇，每個(gè)齒輪要轉(zhuǎn)多少周？次相遇到第二次相遇，每個(gè)齒輪要轉(zhuǎn)多少周？ 解：兩個(gè)齒輪的某一對(duì)指定的齒從第一次接解：兩個(gè)齒輪的某一對(duì)指定的齒從第一次接 觸到下次接觸，兩個(gè)齒輪各轉(zhuǎn)的齒數(shù)是觸到下次接觸，兩個(gè)齒輪各轉(zhuǎn)的齒數(shù)是 2121，3030210210（齒）（齒）. . 小齒輪轉(zhuǎn)的周數(shù)是小齒輪轉(zhuǎn)的周數(shù)是21021021211010（周）（周）. . 大齒輪轉(zhuǎn)的周數(shù)是大齒輪轉(zhuǎn)的周數(shù)是21021030307 7（周）（周）. . 答：小齒輪要轉(zhuǎn)答：小齒輪要轉(zhuǎn)1010周，大齒輪要轉(zhuǎn)周，大齒輪要轉(zhuǎn)7 7周。周。 2021/3/1124 例例3 3 某班學(xué)生人數(shù)在某班學(xué)

14、生人數(shù)在4040與與5050之間，如果每之間，如果每 8 8人分成一個(gè)小組，那么最后一個(gè)小組只有人分成一個(gè)小組，那么最后一個(gè)小組只有 5 5人；如果每人；如果每1212人分成一個(gè)小組，那么有一人分成一個(gè)小組，那么有一 個(gè)小組少個(gè)小組少3 3人，求這班學(xué)生人數(shù)。人，求這班學(xué)生人數(shù)。 2021/3/1125 1 1、某班學(xué)生不到、某班學(xué)生不到5050人，每人，每1212人站一行或者每人站一行或者每1616人站人站 一行都正好是整行，這班學(xué)生有多少人？一行都正好是整行，這班學(xué)生有多少人？ 2 2、某數(shù)除、某數(shù)除193193余余4 4，除，除10871087余余7 7，求該數(shù)（要最大的，求該數(shù)（要最大

15、的 一個(gè)）。一個(gè)）。 3 3、一個(gè)數(shù)除以、一個(gè)數(shù)除以3636和和4848都余都余5 5，求這個(gè)數(shù)（要最小的，求這個(gè)數(shù)（要最小的 一個(gè)）一個(gè)）. . 4 4、兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是、兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是24002400，最大公約數(shù)是，最大公約數(shù)是2020， 已知這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)是已知這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)是6060，求另一數(shù)。，求另一數(shù)。 5 5、 兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1515，最小公倍數(shù)是，最小公倍數(shù)是 180180，求，求 ba、 ab . 2021/3/1126 1、求最大公約數(shù)的方法：分解質(zhì)因、求最大公約數(shù)的方法：分解質(zhì)因 數(shù)法、碾轉(zhuǎn)相除法；數(shù)法、碾轉(zhuǎn)相除法； 2、求最小

16、公倍數(shù)的方法：分解質(zhì)因、求最小公倍數(shù)的方法：分解質(zhì)因 數(shù)法、最大公約數(shù)法；數(shù)法、最大公約數(shù)法； 3、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的應(yīng)用。、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的應(yīng)用。 2021/3/1127 1、用分解質(zhì)因數(shù)的方法，求下列各組數(shù)的最、用分解質(zhì)因數(shù)的方法，求下列各組數(shù)的最 大公約數(shù)和最小公倍數(shù)；大公約數(shù)和最小公倍數(shù)； （1）48和和64 （2）38和和56 （3）210和和154 （4）36、40和和44 2、已知兩個(gè)數(shù)的積是、已知兩個(gè)數(shù)的積是5766，它們的最大公約，它們的最大公約 數(shù)是數(shù)是31，求這兩個(gè)數(shù)。，求這兩個(gè)數(shù)。 2021/3/1128 3、有、有96朵紅花和朵紅花和72朵白花做花束，如

17、果各個(gè)花束朵白花做花束，如果各個(gè)花束 里紅花與白花的朵數(shù)分別相同，每個(gè)花束里最少里紅花與白花的朵數(shù)分別相同，每個(gè)花束里最少 要有幾朵花？要有幾朵花？ 4、長(zhǎng)方形磚長(zhǎng)、長(zhǎng)方形磚長(zhǎng)42厘米，寬厘米，寬26厘米，用這種磚鋪成厘米，用這種磚鋪成 一塊正方形地，至少需要幾塊磚？一塊正方形地，至少需要幾塊磚？ 5、一個(gè)城市某公共汽車站有三條路線通往不同的、一個(gè)城市某公共汽車站有三條路線通往不同的 地方，第一條路線每隔地方，第一條路線每隔5分鐘發(fā)車一次，第二條分鐘發(fā)車一次，第二條 路線每隔路線每隔6分鐘發(fā)車一次，第三條路線每隔分鐘發(fā)車一次，第三條路線每隔10分分 鐘發(fā)車一次，三條路線的汽車在同一時(shí)間發(fā)車以鐘

18、發(fā)車一次，三條路線的汽車在同一時(shí)間發(fā)車以 后，至少再過多少分鐘在同一時(shí)間發(fā)車？后，至少再過多少分鐘在同一時(shí)間發(fā)車？ 2021/3/1129 小學(xué)數(shù)學(xué)聽課記錄 教學(xué)過程：教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境，初步感知一、創(chuàng)設(shè)情境，初步感知 談話：看老師手中拿的是什么？（三角板），你談話：看老師手中拿的是什么？（三角板），你 能找出它有多少個(gè)角嗎？能找出它有多少個(gè)角嗎？ 二、組織活動(dòng)，探究新知二、組織活動(dòng)，探究新知 1 認(rèn)識(shí)角認(rèn)識(shí)角 投影顯示：投影課本里的圖片投影顯示：投影課本里的圖片 談話：找一找，圖片上哪些像角？（學(xué)生回答）談話：找一找，圖片上哪些像角？（學(xué)生回答） 追問：角在我們的生活中無處不在，一個(gè)角

19、有幾追問：角在我們的生活中無處不在，一個(gè)角有幾 個(gè)頂點(diǎn)？幾條邊？能從我們身邊的一些物體的面?zhèn)€頂點(diǎn)？幾條邊？能從我們身邊的一些物體的面 上找到角嗎？找到后指出它們的頂點(diǎn)和邊。上找到角嗎？找到后指出它們的頂點(diǎn)和邊。 2021/3/1130 2 折一個(gè)角折一個(gè)角 談話：我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了角，能用自己靈巧的談話：我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了角，能用自己靈巧的 小手折一個(gè)角嗎？看誰折得快折得好。（用準(zhǔn)小手折一個(gè)角嗎？看誰折得快折得好。（用準(zhǔn) 備好的白紙折角）備好的白紙折角） 3 角的大小比較角的大小比較 （1）提問：能使你折的角變得再大一些嗎？你）提問：能使你折的角變得再大一些嗎？你 是怎么辦的？能把它變得小一些嗎？又是

20、怎么是怎么辦的？能把它變得小一些嗎？又是怎么 做到的？做到的？ （2）鐘面上的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，形成了大?。╃娒嫔系臅r(shí)針和分針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，形成了大小 不同的角，同學(xué)們能比較出哪個(gè)角大些嗎？用不同的角，同學(xué)們能比較出哪個(gè)角大些嗎？用 什么方法比較？什么方法比較？ （3）談話：觀察老師手上的這兩個(gè)三角形（兩）談話：觀察老師手上的這兩個(gè)三角形（兩 個(gè)紙做的一大一小的三角形），哪個(gè)三個(gè)紙做的一大一小的三角形），哪個(gè)三 角形大些呢？還是一樣大呢？你知道角角形大些呢？還是一樣大呢？你知道角 的大小和什么有關(guān)嗎？的大小和什么有關(guān)嗎？ 2021/3/1131 三、鞏固應(yīng)用，拓展延伸三、鞏固應(yīng)用，拓展延伸 1課本練

21、習(xí)第課本練習(xí)第1題。談話：機(jī)靈的小猴找來了一題。談話：機(jī)靈的小猴找來了一 些圖形，想考考小朋友，敢接受它的挑戰(zhàn)嗎？投些圖形，想考考小朋友，敢接受它的挑戰(zhàn)嗎？投 影展示圖形：哪些是角，哪些不是角？是角的你影展示圖形：哪些是角，哪些不是角？是角的你 能指出它的頂點(diǎn)和邊嗎？指名回答。能指出它的頂點(diǎn)和邊嗎？指名回答。 2 課本練習(xí)第課本練習(xí)第2題。談話：好學(xué)的小貓覺得小朋題。談話：好學(xué)的小貓覺得小朋 友學(xué)得不錯(cuò)，于是來請(qǐng)教我們了。投影展示，圖友學(xué)得不錯(cuò)，于是來請(qǐng)教我們了。投影展示，圖 中各有幾個(gè)角，說給同桌聽。中各有幾個(gè)角，說給同桌聽。 3課本練習(xí)第課本練習(xí)第3、第、第5題。談話：聰明的小兔看到題。談

22、話：聰明的小兔看到 大家的本領(lǐng)這么棒，終于忍不住也要來考考我們，大家的本領(lǐng)這么棒，終于忍不住也要來考考我們， 投影展示題目。同桌討論后在班內(nèi)交流。投影展示題目。同桌討論后在班內(nèi)交流。 4 課本練習(xí)第課本練習(xí)第4題。談話：山羊老師對(duì)大家很滿題。談話：山羊老師對(duì)大家很滿 意，決定帶小朋友玩一玩動(dòng)手拉、合剪刀。說說意，決定帶小朋友玩一玩動(dòng)手拉、合剪刀。說說 你看到的角有什么變化你看到的角有什么變化 2021/3/1132 四、總結(jié)全課，布置作業(yè)四、總結(jié)全課，布置作業(yè) 談話：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有談話：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有 什么收獲？回家給爸爸媽媽展示什么收獲？回家給爸爸媽媽展示 一下你今天學(xué)到的本

23、領(lǐng)，找找你一下你今天學(xué)到的本領(lǐng)，找找你 們家哪些物體上有角。們家哪些物體上有角。 2021/3/1133 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)： 1、充分利用學(xué)具，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，、充分利用學(xué)具，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)， 激發(fā)學(xué)生探求新知的強(qiáng)烈欲望，使學(xué)生獲得對(duì)角的激發(fā)學(xué)生探求新知的強(qiáng)烈欲望，使學(xué)生獲得對(duì)角的 感性認(rèn)識(shí)。通過感性認(rèn)識(shí)。通過“看看”、“找找”，體會(huì)角在面上，體會(huì)角在面上， 初步建立對(duì)角的概念。初步建立對(duì)角的概念。 2、讓學(xué)生用喜歡的方法折一個(gè)角，在實(shí)踐中探、讓學(xué)生用喜歡的方法折一個(gè)角，在實(shí)踐中探 索不同的折角方法，給學(xué)生留出充分的思考及表現(xiàn)索不同的折角方法，給學(xué)生留出充分的思考及表現(xiàn) 自我的時(shí)間和空間。自我的時(shí)間和空間。 3、充分利用創(chuàng)造條件，提供大量的感性材料，、充分利用創(chuàng)造條件，提供大量的感性材料， 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察制作等活動(dòng)，獲得感性知識(shí)，形引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察制作等活動(dòng)，獲得感性知識(shí)