DVD在線租賃(2005年數(shù)學(xué)建模D題)

1、2005年數(shù)學(xué)建模D題 考慮如下的在線考慮如下的在線DVDDVD租賃問題。顧客繳納一定數(shù)量的月費(fèi)成租賃問題。顧客繳納一定數(shù)量的月費(fèi)成 為會(huì)員，訂購為會(huì)員，訂購DVDDVD租賃服務(wù)。會(huì)員對(duì)哪些租賃服務(wù)。會(huì)員對(duì)哪些DVDDVD有興趣，只要在線提有興趣，只要在線提 交訂單，網(wǎng)站就會(huì)通過快遞的方式盡可能滿足要求。會(huì)員提交的交訂單，網(wǎng)站就會(huì)通過快遞的方式盡可能滿足要求。會(huì)員提交的 訂單包括多張訂單包括多張DVDDVD，這些，這些DVDDVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會(huì)根是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會(huì)根 據(jù)手頭現(xiàn)有的據(jù)手頭現(xiàn)有的DVDDVD數(shù)量和會(huì)員的訂單進(jìn)行分發(fā)。每個(gè)會(huì)員每個(gè)月租數(shù)量和會(huì)員的訂單進(jìn)行分

2、發(fā)。每個(gè)會(huì)員每個(gè)月租 賃次數(shù)不得超過賃次數(shù)不得超過2 2次，每次獲得次，每次獲得3 3張張DVDDVD。會(huì)員看完。會(huì)員看完3 3張張DVDDVD之后，只之后，只 需要將需要將DVDDVD放進(jìn)網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費(fèi)由網(wǎng)站承擔(dān)），就可放進(jìn)網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費(fèi)由網(wǎng)站承擔(dān)），就可 以繼續(xù)下次租賃。請(qǐng)考慮以下問題：以繼續(xù)下次租賃。請(qǐng)考慮以下問題： 1.1. 網(wǎng)站正準(zhǔn)備購買一些新的網(wǎng)站正準(zhǔn)備購買一些新的DVDDVD，通過問卷調(diào)查，通過問卷調(diào)查10001000個(gè)會(huì)員，得到了個(gè)會(huì)員，得到了 愿意觀看這些愿意觀看這些DVDDVD的人數(shù)（表的人數(shù)（表1 1給出了其中給出了其中5 5種種DVDDVD的數(shù)據(jù)

3、）。此外，的數(shù)據(jù)）。此外， 歷史數(shù)據(jù)顯示，歷史數(shù)據(jù)顯示，60%60%的會(huì)員每月租賃的會(huì)員每月租賃DVDDVD兩次，而另外的兩次，而另外的40%40%只租一只租一 次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有1010萬個(gè)會(huì)員，對(duì)表萬個(gè)會(huì)員，對(duì)表1 1中的每種中的每種DVDDVD來說，應(yīng)該至來說，應(yīng)該至 少準(zhǔn)備多少張，才能保證希望看到該少準(zhǔn)備多少張，才能保證希望看到該DVDDVD的會(huì)員中至少的會(huì)員中至少50%50%在一個(gè)在一個(gè) 月內(nèi)能夠看到該月內(nèi)能夠看到該DVDDVD？如果要求保證在三個(gè)月內(nèi)至少？如果要求保證在三個(gè)月內(nèi)至少95%95%的會(huì)員能的會(huì)員能 夠看到該夠看到該DVDDVD呢？呢？ 問題重述問題重述 信

4、息：信息： 每個(gè)每個(gè)會(huì)員每月至多租會(huì)員每月至多租2 2次次 每次租賃可租每次租賃可租3 3張（寄回可再租）；張（寄回可再租）； 1.1.6060會(huì)員每月租會(huì)員每月租2 2次，次，4040會(huì)員每月租會(huì)員每月租1 1次次 調(diào)查調(diào)查10001000名會(huì)員，有以下觀看意愿的統(tǒng)計(jì)：名會(huì)員，有以下觀看意愿的統(tǒng)計(jì)： 101025255050100100200200愿意觀看的人數(shù)愿意觀看的人數(shù) DVD5DVD5DVD4DVD4DVD3DVD3DVD2DVD2DVD1DVD1DVDDVD名稱名稱 至少要準(zhǔn)備多少張至少要準(zhǔn)備多少張DVDDVD（上述（上述5 5種），才能使：種），才能使： 1010萬會(huì)員中，至少萬

5、會(huì)員中，至少5050能看到想看的能看到想看的DVDDVD？（一個(gè)月內(nèi)）？（一個(gè)月內(nèi)） 1010萬會(huì)員中，至少萬會(huì)員中，至少9595能看到能看到DVDDVD？（三個(gè)月內(nèi)）？（三個(gè)月內(nèi)） 分析：分析： 要滿足一定的觀看人數(shù)，同時(shí)為了節(jié)約采購費(fèi)用，又要要滿足一定的觀看人數(shù)，同時(shí)為了節(jié)約采購費(fèi)用，又要 盡可能少買些盡可能少買些DVDDVD。顯然，。顯然，這是個(gè)優(yōu)化問題這是個(gè)優(yōu)化問題。 就就DVD1DVD1來說，來說，10001000名被調(diào)查者里面有名被調(diào)查者里面有200200人想看，意味人想看，意味 著著1010萬名會(huì)員里面有萬名會(huì)員里面有 人想看，如果每張人想看，如果每張DVDDVD每個(gè)每個(gè) 月只出

6、租一次，則則月只出租一次，則則DVD1DVD1就準(zhǔn)備就準(zhǔn)備 張。但是這張。但是這 樣談不上優(yōu)化，也不能提高樣談不上優(yōu)化，也不能提高DVDDVD利用率。所以利用率。所以有二次出有二次出 租租。 如果考慮實(shí)際情況，每張如果考慮實(shí)際情況，每張DVDDVD還的時(shí)間不一樣，有些還的時(shí)間不一樣，有些DVDDVD 多租幾次，有些只會(huì)被租一次，則情況就很復(fù)雜。有必多租幾次，有些只會(huì)被租一次，則情況就很復(fù)雜。有必 要轉(zhuǎn)變考慮角度。嘗試要轉(zhuǎn)變考慮角度。嘗試從簡(jiǎn)單的角度考慮從簡(jiǎn)單的角度考慮。 50% 1000 200 10 5 1000 200 10 5 從最保守的估計(jì)看：如果一個(gè)會(huì)員一個(gè)月租從最保守的估計(jì)看：如果

7、一個(gè)會(huì)員一個(gè)月租2 2次的話，次的話， 可以簡(jiǎn)單的認(rèn)為每次租賃的可以簡(jiǎn)單的認(rèn)為每次租賃的DVDDVD在他手上停留在他手上停留1515天；租天；租 一次的會(huì)員一次的會(huì)員DVDDVD在手上停留在手上停留3030天。則我們天。則我們?cè)谠鲁醯谝淮卧谠鲁醯谝淮?發(fā)出發(fā)出DVDDVD后，月中利用返還的后，月中利用返還的DVDDVD再出租一次再出租一次。 4.1.1.1簡(jiǎn)單模型的建立簡(jiǎn)單模型的建立 表示需要準(zhǔn)備DVD1的張數(shù)。x 找到最小的x 1%1%2.5%2.5%5 510102020愿意觀看的比例愿意觀看的比例 DVD5DVD5DVD4DVD4DVD3DVD3DVD2DVD2DVD1DVD1DVDDV

8、D名稱名稱 為方便下面討論，先算出愿意觀看的人數(shù)比為方便下面討論，先算出愿意觀看的人數(shù)比 符號(hào)假設(shè)：符號(hào)假設(shè)： 為希望看到為希望看到DVD1DVD1的會(huì)員人數(shù)比；的會(huì)員人數(shù)比； 為網(wǎng)站總?cè)藬?shù)；（這里為網(wǎng)站總?cè)藬?shù)；（這里 ） p n 5 10n 一個(gè)月內(nèi)租到DVD的人占想看的人50以上。 （第一次出租（第一次出租 張，月中有張，月中有 ？ 張還回來，再次租出去。）張還回來，再次租出去。）x%60 x %50 %60 np xx 整理得 %60%50 . . min xxnpts x 模型模型I 解得 ，即最少需要數(shù)量： 。npx 16 5 np 16 5 利用模型I，可以逐個(gè)算出5種DVD所需的

9、張數(shù)。 （結(jié)果、程序略） 4.1.1.2模型的進(jìn)一步思考模型的進(jìn)一步思考 前面假設(shè)還DVD的周期是15天，但這不見得符合實(shí)際情 況，會(huì)有短時(shí)間就歸還的情況。這里重新假設(shè)租賃2次 的會(huì)員返還周期為T，于是一個(gè)月就有 次租賃機(jī)會(huì)。 N)(s s 1次出租2次出租3次出租 T 30 次出租次出租 類推 x%60 x 2 %60 x前一次的60 1 u 2 u 3 u T u 30 表示取上整表示取上整 (不變) 一個(gè)月內(nèi)租到DVD的人占想看的人50以上。 s k k npu 1 %50 這里 T s xuq skquu kk 30 %,60 , 2 , 1 , 1 1 數(shù)量次出租的為第DVDk k

10、u 于是得到 T s xuq skquu nputs x kk s k k 30 %,60 , 2 , 1 , %50 . . min 1 1 1 模型模型 4.1.2考慮連續(xù)三個(gè)月的返還考慮連續(xù)三個(gè)月的返還 s 1 u s u 前一次的60 %60 s u 60 2 u 60 1ss+12 %40 1 u 1s u skququu skkk ),1 ( 1 Nkskquu xu kk , , , 1 1 一個(gè)月到期一個(gè)月到期 （注意條件的差別） 三個(gè)月內(nèi)租到DVD的人占總?cè)藬?shù)的95以上。 s k k nu 3 1 %95 這里 T s skququu Nkskquu xu skkk kk 3

11、0 ),1 ( , , , 1 1 1 于是有模型如下： T s skququu Nkskquu xu nuts x skkk kk s k k 30 ),1 ( , , , %95 . . min 1 1 1 3 1 模型 表表2 2中列出了網(wǎng)站手上中列出了網(wǎng)站手上2020種種DVDDVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的100100位會(huì)位會(huì) 員的在線訂單，如何對(duì)這些員的在線訂單，如何對(duì)這些DVDDVD進(jìn)行分配，才能使會(huì)員獲得最大的滿進(jìn)行分配，才能使會(huì)員獲得最大的滿 意度？請(qǐng)具體列出前意度？請(qǐng)具體列出前3030位會(huì)員（即位會(huì)員（即C0001C0001C0030C0030）分

12、別獲得哪些）分別獲得哪些DVDDVD。 注：注：D001D001D020D020表示表示2020種種DVD, C0001DVD, C0001C0100C0100表示表示100100個(gè)會(huì)個(gè)會(huì) 員，會(huì)員的在線訂單用數(shù)字員，會(huì)員的在線訂單用數(shù)字1,2,1,2,表示，數(shù)字越小表示會(huì)表示，數(shù)字越小表示會(huì) 員的偏愛程度越高，數(shù)字員的偏愛程度越高，數(shù)字0 0表示對(duì)應(yīng)的表示對(duì)應(yīng)的DVDDVD當(dāng)前不在會(huì)員的當(dāng)前不在會(huì)員的 在線訂單中。在線訂單中。 要確定把哪張DVD租給哪個(gè)會(huì)員，即分配方案，對(duì)于每 種DVD,每個(gè)會(huì)員都要知道是租還是不租。因此我們引 入 表示第j種DVD是否租給第i個(gè)會(huì)員。 ij x 個(gè)人不租給

13、第種第 個(gè)人租給第種第 iDVDj , 0 iDVDj , 1 ij x 分析：分析： 如果會(huì)員預(yù)定的如果會(huì)員預(yù)定的3 3張張DVDDVD不全有，是否就不租？為使全體不全有，是否就不租？為使全體 的滿意度最高，可以先租部分緩解一下。因此，的滿意度最高，可以先租部分緩解一下。因此，每次租每次租 賃可以少于或等于賃可以少于或等于3 3張張。 會(huì)員滿意度的數(shù)字越小，則滿意度越高。注意到會(huì)員滿意度的數(shù)字越小，則滿意度越高。注意到0 0最小，最小， 但是并不表示滿意，因此，但是并不表示滿意，因此，要對(duì)表中數(shù)據(jù)處理，使其能要對(duì)表中數(shù)據(jù)處理，使其能 顯示出滿意的一致性顯示出滿意的一致性（數(shù)字大表示滿意，或相

14、反）。（數(shù)字大表示滿意，或相反）。 符號(hào)：符號(hào)： 表示表示i i個(gè)會(huì)員對(duì)個(gè)會(huì)員對(duì)j j種種DVDDVD的滿意度數(shù)字（表格數(shù)據(jù)）的滿意度數(shù)字（表格數(shù)據(jù)） ij c 時(shí) 時(shí) 0 , 0 0 , 1 ij ij ijij c c ca 表示表示i i個(gè)會(huì)員對(duì)個(gè)會(huì)員對(duì)j j種種DVDDVD的偏愛系數(shù)的偏愛系數(shù) 總體滿意度最高（租到的會(huì)員對(duì)DVD的偏愛系數(shù) 和 最大） 100 1 20 1 1 ij ijijx aZ 1 Z 每人至多租3張DVD； 每種DVD租出去的量小于或等于存量； 100, 2 , 1 , 3 20 1 ix j ij 20, 2 , 1 , 100 1 jbx i jij j b

15、 為j種DVD的存量 因此，建立模型 時(shí) 時(shí) 或 0 , 0 0 , 1 10 20, 2 , 1 , 100, 2 , 1 , 3 . . max 100 1 20 1 100 1 20 1 1 ij ij ijij ij i jij j ij ij ijij c c ca x jbx ixts xaZ 模型 繼續(xù)考慮表繼續(xù)考慮表2 2，并假設(shè)表，并假設(shè)表2 2中中DVDDVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為的現(xiàn)有數(shù)量全部為0 0。如果你是網(wǎng)。如果你是網(wǎng) 站經(jīng)營(yíng)管理人員，你如何決定每種站經(jīng)營(yíng)管理人員，你如何決定每種DVDDVD的購買量，以及如何對(duì)這些的購買量，以及如何對(duì)這些 DVDDVD進(jìn)行分配，才能使一個(gè)

16、月內(nèi)進(jìn)行分配，才能使一個(gè)月內(nèi)95%95%的會(huì)員得到他想看的的會(huì)員得到他想看的DVDDVD，并且，并且 滿意度最大？滿意度最大？ 問題實(shí)質(zhì)：?jiǎn)栴}實(shí)質(zhì)： 確定確定DVDDVD購買量，一個(gè)月內(nèi)購買量，一個(gè)月內(nèi)9595以上會(huì)員看到想看的；以上會(huì)員看到想看的； 對(duì)對(duì)DVDDVD分配，滿意度最大。分配，滿意度最大。 4.3.1購買量的確定購買量的確定 分析：分析： 這一步驟其實(shí)又回到了前面的第一個(gè)問題?；仡櫱懊孢@一步驟其實(shí)又回到了前面的第一個(gè)問題?；仡櫱懊?的方法，我們的方法，我們。 現(xiàn)在手上有的資料是客戶預(yù)訂單，已經(jīng)體現(xiàn)出觀看意現(xiàn)在手上有的資料是客戶預(yù)訂單，已經(jīng)體現(xiàn)出觀看意 愿。作出處理：愿。作出處理：

17、 。( (這里可以手算，也可以用這里可以手算，也可以用 軟件輔助。軟件輔助。) ) 統(tǒng)計(jì)觀看意愿統(tǒng)計(jì)觀看意愿 設(shè)設(shè) 為對(duì)第為對(duì)第j j張張DVDDVD愿意觀看的人數(shù)愿意觀看的人數(shù) 則則 j n 30 , 1 30 , 0 ij ijij ij c cc d 或第第i i個(gè)會(huì)員不愿意看第個(gè)會(huì)員不愿意看第j j種種DVDDVD 第第i i個(gè)會(huì)員愿意看第個(gè)會(huì)員愿意看第j j種種DVDDVD 100 1i ijj dn 愿意觀看第愿意觀看第j種種DVD的人數(shù)的人數(shù) 設(shè)第j種DVD購買量為 ，目標(biāo)使其最小 j b 租到DVD的人占愿意觀看的95以上 T s q nbq s k jj k 30 %,60

18、,%95 1 1 從而 T sq dn c cc d nbqts b i ijj ij ijij ij s k jj k j 30 %,60 , 30 , 1 30 , 0 ,%95 . . min 100 1 1 1 或 20, 2 , 1j 模型 4.3.2最優(yōu)分配方案的確定最優(yōu)分配方案的確定 分析：分析： 分配不需要考慮分配不需要考慮9595以上的觀看率，已經(jīng)在本節(jié)的以上的觀看率，已經(jīng)在本節(jié)的 第第1 1小問解決，只需要考慮滿意程度。小問解決，只需要考慮滿意程度。 這里與第這里與第2 2個(gè)問題類似，但是區(qū)別在于問題個(gè)問題類似，但是區(qū)別在于問題2 2要求一要求一 次性的分配，滿意度最大；這里是在一個(gè)月內(nèi)分配，次性的分配，滿意度最大；這里是在一個(gè)月內(nèi)分配， 于是存在于是存在DVDDVD租賃周期的問題。不妨假設(shè)出分配周租賃周期的問題。不妨假設(shè)出分配周 期，則可以每次分配都按照第期，則可以每次分配