隨機(jī)過程-平穩(wěn)隨機(jī)過程11

1、第六章第六章 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 第六章第六章 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 6.1 6.1 平穩(wěn)過程的概念與例子平穩(wěn)過程的概念與例子 相關(guān)理論與平穩(wěn)過程相關(guān)理論與平穩(wěn)過程 平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程 一方面受隨機(jī)因素的影響產(chǎn)生隨機(jī)波動(dòng)一方面受隨機(jī)因素的影響產(chǎn)生隨機(jī)波動(dòng), ,同同 時(shí)又有一定的慣性時(shí)又有一定的慣性, ,使在不同時(shí)刻的波動(dòng)特性基使在不同時(shí)刻的波動(dòng)特性基 本保持不變本保持不變. . 其統(tǒng)計(jì)特性是其統(tǒng)計(jì)特性是: : 當(dāng)過程隨時(shí)間的變化而產(chǎn)生隨機(jī)波動(dòng)時(shí)當(dāng)過程隨時(shí)間的變化而產(chǎn)生隨機(jī)波動(dòng)時(shí), ,其前其前 后狀態(tài)是相互聯(lián)系的后狀態(tài)是相互聯(lián)系的, ,且這種聯(lián)系不隨時(shí)間的推且這種聯(lián)系不隨時(shí)間的推 延而改

2、變延而改變. . 3 第六章第六章 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 如如 紡織過程中棉紗橫截面積的變化紡織過程中棉紗橫截面積的變化, , 導(dǎo)彈在飛行中受到氣流影響產(chǎn)生的隨機(jī)波動(dòng)導(dǎo)彈在飛行中受到氣流影響產(chǎn)生的隨機(jī)波動(dòng), , 軍艦在海浪中的顛簸及通信中的干擾噪聲等軍艦在海浪中的顛簸及通信中的干擾噪聲等 它們都可以用平穩(wěn)過程描述它們都可以用平穩(wěn)過程描述. . 平穩(wěn)過程的概念與例平穩(wěn)過程的概念與例 嚴(yán)平穩(wěn)過程嚴(yán)平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特征是由有限維分布函數(shù)所決的統(tǒng)計(jì)特征是由有限維分布函數(shù)所決 定的定的, ,在應(yīng)用中比較難以確定在應(yīng)用中比較難以確定; ; 寬平穩(wěn)過程的判別只涉及一、二階矩的確定寬平穩(wěn)過程的判別只涉及一、

3、二階矩的確定, ,在實(shí)在實(shí) 際中比較容易獲得際中比較容易獲得. .因此因此, ,我們主要研究我們主要研究 寬平穩(wěn)過程寬平穩(wěn)過程. .這種僅研究與過程一、二階矩有關(guān)性這種僅研究與過程一、二階矩有關(guān)性 質(zhì)的理論質(zhì)的理論, ,稱稱相關(guān)理論相關(guān)理論. . 對于正態(tài)過程對于正態(tài)過程, ,寬平穩(wěn)性與嚴(yán)平穩(wěn)性是等價(jià)的寬平穩(wěn)性與嚴(yán)平穩(wěn)性是等價(jià)的, , 所所 以用相關(guān)理論研究它以用相關(guān)理論研究它, ,顯得特別方便顯得特別方便. . 在后文的討論中在后文的討論中, ,所涉及的主要是寬平穩(wěn)過程所涉及的主要是寬平穩(wěn)過程, , 我們簡稱之為我們簡稱之為平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程. . 5 6.1 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的

4、概念 定義定義6.1 設(shè)設(shè) X(t)，t T 是是隨機(jī)過程，隨機(jī)過程， 對任意常數(shù)對任意常數(shù) 和正整數(shù)和正整數(shù)n， t1,t2, tn T, , t1+ + , t2+ + ,tn+ + T， 若若(X(t1), X(t2), , X(tn)與與 (X(t1+ + ), X(t2+ + ), X(tn+ + ) 有相同的聯(lián)合分布，則稱有相同的聯(lián)合分布，則稱 X(t)，t T 為為嚴(yán)平穩(wěn)過程嚴(yán)平穩(wěn)過程，也稱，也稱狹義平穩(wěn)過程狹義平穩(wěn)過程。 6 6.1 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的概念 定義定義6. 2 設(shè)設(shè) X(t)，t T 是是隨機(jī)過程，隨機(jī)過程， 并滿足：并滿足： (1)(1)X(t)，

5、t T 是二階矩過程；是二階矩過程； (2)(2)對任意對任意t T ，mX(t)= =EX(t)= =常數(shù)；常數(shù)； (3)(3)對任意對任意s, t T ， RX(s, t)= =EX(s)X(t)= =RX(t- -s)， 則稱則稱 X(t)，t T 為為寬平穩(wěn)過程寬平穩(wěn)過程，也稱，也稱 廣義平穩(wěn)過程廣義平穩(wěn)過程，簡稱，簡稱平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程。 若若T為離散集，為離散集，稱稱平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程 Xn，n T 為為平穩(wěn)序列平穩(wěn)序列。 7 6.1 6.1 平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念 寬平穩(wěn)過程寬平穩(wěn)過程 嚴(yán)平穩(wěn)過程嚴(yán)平穩(wěn)過程 嚴(yán)平穩(wěn)過程嚴(yán)平穩(wěn)過程 寬平穩(wěn)過程寬平穩(wěn)過程 嚴(yán)平穩(wěn)過程嚴(yán)平穩(wěn)過

6、程 寬平穩(wěn)過程寬平穩(wěn)過程 正態(tài)過程正態(tài)過程 二階矩存在二階矩存在 6.1 6.1 平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念 設(shè)設(shè)X(t)=Ycos( t)+Zsin( t), t0， 且且Y, Z相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，EY=EZ=0， DY=DZ= 2，試討論隨機(jī)過程試討論隨機(jī)過程X(t), t0 的平穩(wěn)性的平穩(wěn)性。 0)sin()cos( )sin()cos()()( EZtEYt tZtYEtEXtm X )()(),(tXsXEtsRX )sin()cos()(sin()cos(tZtYsZsYE 6.1 6.1 平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念 )cos( )sin()sin()cos(

7、)cos( )sin()sin( )(sin)cos()cos( )()sin()sin( )()(sin)()cos()cos( )sin()sin()(sin)cos( )cos()(sin)cos()cos( 2 22 2 2 2 2 st tsts DZts EYEZtsDYts ZEts YZEtsYEts ZtsYZts YZtsYtsE 所以所以 X(t)，t T 為寬平穩(wěn)過程。為寬平穩(wěn)過程。 6.1 6.1 平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念 設(shè)設(shè)Xn,n=0, 1, 2,是實(shí)的互不相關(guān)是實(shí)的互不相關(guān) 隨機(jī)變量序列，且隨機(jī)變量序列，且EXn=0，DXn = 2 ，試討，試討

8、論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性。(白噪聲白噪聲) 解解 因?yàn)橐驗(yàn)镋Xn=0， 所以所以Xn,n=0, 1, 2,是平穩(wěn)隨機(jī)序列。是平穩(wěn)隨機(jī)序列。 2 0 00 Xnn R (n,n)E X X , , 11 平穩(wěn)過程的概念與例子平穩(wěn)過程的概念與例子 在物理和工程技術(shù)中在物理和工程技術(shù)中, ,稱上述隨機(jī)序列為稱上述隨機(jī)序列為白噪聲白噪聲. . 它普遍存在于各類波動(dòng)現(xiàn)象中它普遍存在于各類波動(dòng)現(xiàn)象中, ,如電子發(fā)射波的波動(dòng)如電子發(fā)射波的波動(dòng), , 通信設(shè)備中電流或電壓的波動(dòng)等通信設(shè)備中電流或電壓的波動(dòng)等. . 這是一種較簡單的隨機(jī)干擾的數(shù)學(xué)模型這是一種較簡單的隨機(jī)干擾的數(shù)學(xué)模型. . 平穩(wěn)過程

9、的概念與例子平穩(wěn)過程的概念與例子 例例6.26.2 設(shè)設(shè)(Z(Zn n,n=0,n=0,1,1,2,)2,)為復(fù)隨機(jī)序列為復(fù)隨機(jī)序列, ,且且EZEZn n=0,=0, EZ EZn nZ Zm m=2 2nm nm, , n n2 2, , n n(n=0,(n=0,1,1,2,)2,)為為 實(shí)數(shù)序列實(shí)數(shù)序列. .對于每一個(gè)對于每一個(gè)t,t,可證明級數(shù)可證明級數(shù) Z Zn n 在均方意在均方意 義義( (見見6.36.3節(jié)節(jié)) )下收斂下收斂. . 令令 n n ti n e 平穩(wěn)過程的概念與例子平穩(wěn)過程的概念與例子 X(t)= ZX(t)= Zn n . . 利用隨機(jī)變量級數(shù)均方收斂性質(zhì)利

10、用隨機(jī)變量級數(shù)均方收斂性質(zhì), ,可以推得可以推得 EX(t)=E ZEX(t)=E Zn n =0, =0, EX(t)X(t-)=E Z EX(t)X(t-)=E Zn n Z Zm m = = = E|Z = E|Zn n| . | . 物理上物理上,cos(t),sin(t),cos(t),sin(t)或或 都是描述簡諧振動(dòng)都是描述簡諧振動(dòng) 的的,U,Un ncos(cos(n nt),Vt),Vn nsin(sin(n nt)t)或或 都可以看作是具有都可以看作是具有 隨機(jī)振幅的簡諧振動(dòng)隨機(jī)振幅的簡諧振動(dòng). . 上述例題說明上述例題說明, ,若不同頻率的隨若不同頻率的隨 n m n n

11、 n ti n e ti n e ti n e )(ti m e n i n e 2 ni e n ti e ti n e 平穩(wěn)過程的概念與例子平穩(wěn)過程的概念與例子 機(jī)振幅互不相關(guān)機(jī)振幅互不相關(guān), ,則這種簡諧振動(dòng)的有限項(xiàng)甚至無限項(xiàng)則這種簡諧振動(dòng)的有限項(xiàng)甚至無限項(xiàng) 的疊加的疊加( (只要它是均方收斂的只要它是均方收斂的) )都是平穩(wěn)過程都是平穩(wěn)過程, ,而且它們而且它們 的相關(guān)函數(shù)亦有類似的分解的相關(guān)函數(shù)亦有類似的分解, ,即可以表示為與隨機(jī)振動(dòng)即可以表示為與隨機(jī)振動(dòng) 具有相同頻率成分的簡諧振動(dòng)之和具有相同頻率成分的簡諧振動(dòng)之和, ,其振幅為相應(yīng)的隨其振幅為相應(yīng)的隨 機(jī)振幅的方差機(jī)振幅的方差.

12、 . 例例6.36.3 設(shè)隨機(jī)過程設(shè)隨機(jī)過程N(yùn)(t),t0N(t),t0是具有參數(shù)是具有參數(shù)的泊松過程的泊松過程, , 隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t),t0X(t),t0定義為定義為: :若隨機(jī)點(diǎn)在若隨機(jī)點(diǎn)在0,t0,t內(nèi)出現(xiàn)內(nèi)出現(xiàn) 偶數(shù)次偶數(shù)次(0(0也看作偶數(shù)也看作偶數(shù)) ), ,則則X(t)=1;X(t)=1;若出現(xiàn)奇數(shù)次若出現(xiàn)奇數(shù)次, ,則則X(t)X(t) =-1, =-1,如圖所示如圖所示. . (1)(1)討論隨機(jī)過程討論隨機(jī)過程X(t)X(t)的平穩(wěn)性的平穩(wěn)性; ; (2)(2)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量V V具有概率分布具有概率分布: : P(V=-1=PV=1)=1/2. P(V=-1

13、=PV=1)=1/2. x(t)x(t) t t o o 1 1 -1-1 平穩(wěn)過程的概念與例子平穩(wěn)過程的概念與例子 且且V V與與X(t)X(t)獨(dú)立獨(dú)立, ,令令Y(t)=VX(t),Y(t)=VX(t),試討論隨機(jī)過程試討論隨機(jī)過程Y(t)Y(t)的的 平穩(wěn)性平穩(wěn)性. . 解解: : ( (1) 1) 由于隨機(jī)點(diǎn)由于隨機(jī)點(diǎn)N(t)N(t)是具有參數(shù)是具有參數(shù)的泊松過程的泊松過程, ,故在故在 0,t0,t內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)出現(xiàn)內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)出現(xiàn)k k次的概率次的概率 P Pk k(t)=e(t)=e-t -t ,k=0,1,2, ,k=0,1,2, 故故 PX(t)=1=PPX(t)=1=P0 0(t)

14、+P(t)+P2 2(t)+P(t)+P4 4(t)+(t)+ =e =e-t -t1+ + + 1+ + + =e =e-t -tch(t), ch(t), PX(t)=-1=P PX(t)=-1=P1 1(t)+P(t)+P3 3(t)+P(t)+P5 5(t)+(t)+ =e =e-t -tt+ + + t+ + + ! )( k t k ! 2 )( 2 t ! 4 )( 4 t ! 3 )( 3 t ! 5 )( 5 t 平穩(wěn)過程的概念與例子平穩(wěn)過程的概念與例子 =e=e-t -tsh(t), sh(t), 于是于是 m mX X(t)=EX(t)=1e(t)=EX(t)=1e-t

15、-tch(t)-1e ch(t)-1e-t -tsh(t) sh(t) =e =e-t -tch(t)-sh(t) ch(t)-sh(t) =e =e-t -te e-t -t =e =e-2t -2t. . 為了求為了求X(t)X(t)的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù), ,先求先求X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2) )的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布: : PX(t PX(t1 1)=x)=x1 1,X(t,X(t2 2)=x)=x2 2 = PX(t = PX(t2 2)=x)=x2 2|X(t|X(t1 1)=x)=x1 1PX(tPX(t1 1)=x)=x1 1, 其中其中x xi i=-1=-1

16、或或1(i=1,2).1(i=1,2). 由上式知由上式知, ,需求需求PX(tPX(t1 1)=x)=x1 1 和和PX(tPX(t2 2)=x)=x2 2|X(t|X(t1 1)=x)=x1 1. 設(shè)設(shè)t t2 2t t1 1, ,令令=t=t2 2-t-t1 1, ,因?yàn)槭录驗(yàn)槭录X(tPX(t1 1)=1,X(t)=1,X(t2 2)=1)=1等等 價(jià)于事件價(jià)于事件X(tX(t1 1)=1,)=1,且在且在(t(t1 1,t,t2 2 內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)次內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)次. 平穩(wěn)過程的概念與例子平穩(wěn)過程的概念與例子 由假設(shè)知由假設(shè)知, ,在在X(tX(t1 1)=1)=1的條件下的

17、條件下, ,在區(qū)間在區(qū)間(t(t1 1,t,t2 2 內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)內(nèi)隨機(jī)點(diǎn) 出現(xiàn)偶數(shù)次出現(xiàn)偶數(shù)次, ,與在區(qū)間與在區(qū)間(0,(0,內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)次的概內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)次的概 率相等率相等, ,故故 PX(tPX(t2 2)=1|X(t)=1|X(t1 1)=1=e)=1=e-t -tch(t). ch(t). 由于由于 PX(tPX(t1 1)=1= ch(t)=1= ch(t1 1),), 所以所以 PX(tPX(t1 1)=1,X(t)=1,X(t2 2)=1= ch(t)=1= ch(t1 1) ch().) ch(). 類似可得類似可得 PX(tPX(t1 1)=-1,X(t)=-1,X

18、(t2 2)=-1= sh(t)=-1= sh(t1 1) ch(),) ch(), PX(t PX(t1 1)=-1,X(t)=-1,X(t2 2)=1= sh(t)=1= sh(t1 1) sh(),) sh(), PX(t PX(t1 1)=1,X(t)=1,X(t2 2)=-1= ch(t)=-1= ch(t1 1) sh().) sh(). 因此因此 R RX X(t(t1 1,t,t2 2)=EX(t)=EX(t1 1)X(t)X(t2 2) 1 t e 1 t e e e 1 t e 1 t e 1 t e e e 平穩(wěn)過程的概念與例子平穩(wěn)過程的概念與例子 =11 ch(t=11

19、 ch(t1 1) ch() ch() +(-1)(-1) sh(t +(-1)(-1) sh(t1 1) ch() ch() +(-1)1 sh(t +(-1)1 sh(t1 1) sh() sh() +1(-1) ch(t +1(-1) ch(t1 1) sh() sh() = ch(-t = ch(-t1 1)-sh(-t)-sh(-t1 1) = = = = = . = . 當(dāng)當(dāng)t t2 2t t1 1時(shí)時(shí), ,同理可得同理可得 R RX X(t(t1 1,t,t2 2)= = .)= = . 故對任意故對任意t t1 1,t,t2 2有有 R RX X(t(t1 1,t,t2 2)=

20、 = .)= = . e e e e 1 t e 1 t e 1 t e 1 t e )( 1 t e )( 1 t e )( 1 t e 2 e )(2 12 tt e )(2 12 tt e 2 e |2 e |2 12 tt e 平穩(wěn)過程的概念與例子平穩(wěn)過程的概念與例子 由于由于m mX X(t)=e(t)=e-2t -2t與時(shí)間 與時(shí)間t t有關(guān)有關(guān), ,故故X(t)X(t)不是平穩(wěn)過程不是平穩(wěn)過程. . 值得注意值得注意的是的是, ,就相關(guān)函數(shù)而言就相關(guān)函數(shù)而言, ,非平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)非平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù) 也可以與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)也可以與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān). . (2)(2)由于由于EV

21、=0,EVEV=0,EV2 2=1,=1,故由故由V V與與X(t)X(t)獨(dú)立知獨(dú)立知 EY(t)=EVEX(t)=0,EY(t)=EVEX(t)=0, R RY Y(t,t-)=EV(t,t-)=EV2 2EX(t)X(t-)EX(t)X(t-) = =R = =RY Y().(). 所以所以Y(t)Y(t)是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程, ,其相關(guān)系數(shù)其相關(guān)系數(shù)R RY Y()()如圖所示如圖所示. . 例例6.46.4 設(shè)有狀態(tài)連續(xù)、時(shí)間離散的隨機(jī)過程設(shè)有狀態(tài)連續(xù)、時(shí)間離散的隨機(jī)過程X(t)=sin(X(t)=sin( 2t), 2t),其中其中是是(0,1)(0,1)上均勻分布的隨機(jī)變量上均勻

22、分布的隨機(jī)變量,t,t只取只取 整數(shù)值整數(shù)值1,2,.1,2,.試討論隨機(jī)過程試討論隨機(jī)過程X(t)X(t)的平穩(wěn)性的平穩(wěn)性. . |2 e R RY Y()() o o 平穩(wěn)過程的概念與例子平穩(wěn)過程的概念與例子 解解: : 因?yàn)橐驗(yàn)?EX(t)=Esin(2t)EX(t)=Esin(2t) = sin(2t)f()d = sin(2t)f()d = sin(2t)d=0, = sin(2t)d=0, R RX X(t,t-)=EX(T)X(t-)(t,t-)=EX(T)X(t-) = sin(2t)sin2(t-)d = sin(2t)sin2(t-)d = cos(2)-cos2(2t-)

23、d = cos(2)-cos2(2t-)d ,=0, ,=0, 0 ,0. 0 ,0. 可見可見,X(t),X(t)是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程. . 例例6.56.5 設(shè)設(shè)X(t)=Xf(t)X(t)=Xf(t)是復(fù)隨機(jī)過程是復(fù)隨機(jī)過程, ,其中其中X X是均值為是均值為0 0的實(shí)的實(shí) 1 0 1 0 1 0 2 1 2 1 = = 平穩(wěn)過程的概念與例子平穩(wěn)過程的概念與例子 隨機(jī)變量隨機(jī)變量,f(t),f(t)是是t t的函數(shù)的函數(shù). .試證試證X(t)X(t)是平穩(wěn)過程的充要是平穩(wěn)過程的充要 條件是條件是f(t)=cef(t)=cei(t+) i(t+), ,其中 其中c,c,是常數(shù)是常數(shù). .

24、證明證明: :充分性充分性. . 令令f(t)=cef(t)=cei(t+) i(t+), ,記 記DX=DX=2 2, ,因?yàn)橐驗(yàn)镋X=0, EX=0, 所以所以 m mX X(t)=EX(t)=EXf(t)=0.(t)=EX(t)=EXf(t)=0. 由于由于R RX X(t,t-)=EX(T)X(t-)(t,t-)=EX(T)X(t-) =EX =EX2 2cc2 2e ei(t+) i(t+)e e-i(t-)+-i(t-)+ =c =c2 22 2e ei i, , 所以所以X(t)X(t)是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程. . 必要性必要性. . 設(shè)設(shè)X(t)X(t)是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程, ,

25、則則 R RX X(t,t-)=EX(T)X(t-)=EX(t,t-)=EX(T)X(t-)=EX2 2f(t)f(t-),f(t)f(t-), 平穩(wěn)過程的概念與例子平穩(wěn)過程的概念與例子 前式必與前式必與t t無關(guān)無關(guān), ,可取可取=0=0并有并有: : |f(t)| |f(t)|2 2=c=c2 2 ( (常數(shù)常數(shù)),), 從而從而 f(t)=cef(t)=cei(t) i(t), ,其中 其中(t)(t)為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù). . 于是于是 f(t)f(t-)=cf(t)f(t-)=c2 2e ei(t)-(t-) i(t)-(t-). . 上式應(yīng)與上式應(yīng)與t t無關(guān)無關(guān), ,故而有故而有 (

26、t)-(t-)=0,(t)-(t-)=0, 即即 對一切對一切成立成立, , 因而因而 (t)=t+,(t)=t+, 所以所以 f(t)=cef(t)=cei(t+) i(t+). . dt d dt td dt td)()( 6.2 聯(lián)合平穩(wěn)聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程 定義定義6.4 設(shè)設(shè) X(t)，t T 和和 Y(t)，t T 是兩個(gè)平穩(wěn)是兩個(gè)平穩(wěn)過程，若它們的互相關(guān)函數(shù)過程，若它們的互相關(guān)函數(shù) EX(t)Y(t- - )及及EY(t)X(t- - )僅與僅與 有關(guān)，有關(guān)， 而與而與t無關(guān)，即無關(guān)，即 RXY(t, t- - )=EX(t)Y(t- - )=RXY( ) RYX(t, t-

27、 - )=EY(t)X(t- - )=RYX( ) 則稱則稱X(t)和和Y(t)是是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程。 6.2 6.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程 命題：當(dāng)命題：當(dāng)X(t)和和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程 時(shí)，時(shí)，W(t)=X(t)+Y(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程。 事實(shí)上，事實(shí)上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常數(shù)，常數(shù)， )( )()()()( )()()()( )()()()( )()()()( )()()()( )()()()( )()( W YYXXYX R RRRR tYtYEtXtYE tYtXEtXtXE tYtYtXtY tY

28、tXtXtXE tYtXtYtXE tWtWE 6.2 6.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程 設(shè)設(shè)X(t)=Asin( t+ )， Y(t)=Bsin( t+ - - )為兩個(gè)平穩(wěn)過程，為兩個(gè)平穩(wěn)過程， 其中其中A,B, 是常數(shù)，是常數(shù)， 是是(0,2 )上的均勻分布隨機(jī)變量，上的均勻分布隨機(jī)變量， 證明：證明：X(t)和和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程。 證明：證明： 6.2 6.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程 )()cos( 2 1 )22cos( )cos( 2 1 2 2 0 XY RAB dt AB 2 0 2 1 )sin()sin( )sin()sin(

29、)()(),( dttAB tBtAE tYtXEttRXY 6.2 6.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程 )()cos( 2 1 )22cos( )cos( 2 1 2 2 0 YX RAB dt AB 2 0 2 1 )sin()sin( )sin()sin( )()(),( dttAB tAtBE tXtYEttRYX 所以所以X(t)和和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程。 聯(lián)合平穩(wěn)過程及相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合平穩(wěn)過程及相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 2.2.相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程X(t)X(t)的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)R RX X()()具有如下性質(zhì)具有如下性質(zhì). .

30、定理定理6.16.1 設(shè)設(shè)X(t),tT)X(t),tT)為平穩(wěn)過程為平穩(wěn)過程, , 則其相關(guān)函數(shù)具有則其相關(guān)函數(shù)具有 下列性質(zhì)下列性質(zhì): : (1)(1) R RX X(O)O;(O)O; (2)(2) R RX X()=R()=RX X(-);(-); (3)(3) |R |RX X()|R()|RX X(O);(O); (4)(4) R RX X()()是非負(fù)定的是非負(fù)定的, ,即對任意實(shí)數(shù)即對任意實(shí)數(shù)t t1 1,t,t2 2,t,tn n及復(fù)及復(fù) 數(shù)數(shù)a a1 1,a,a2 2,a,an n有有 R RX X(t(ti i,t,tj j)a)ai ia aj j0;0; (5) (5

31、) 若若X(t)X(t)是周期為是周期為T T的周期函數(shù)的周期函數(shù), ,即即X(t)=X(t+T), X(t)=X(t+T), 則則 R RX X()=R()=RX X(+T);(+T); n ji1, 聯(lián)合平穩(wěn)過程及相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合平穩(wěn)過程及相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) (6)(6) 若若X(t)X(t)是不含周期分量的非周期過程是不含周期分量的非周期過程, ,當(dāng)當(dāng)| | 時(shí)時(shí),X(t),X(t)與與X(t+)X(t+)相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,則則 lim Rlim RX X()=m()=mX Xm mX X . . 證明證明: : 由平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的定義得由平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的定義得 (1)(1)R R

32、X X(O)=EX(t)X(t)=E|X(t)|(O)=EX(t)X(t)=E|X(t)|2 20;0; (2)(2)R RX X()=EX(t)X(t-)=EX(t-)X(t)=R()=EX(t)X(t-)=EX(t-)X(t)=RX X(-);(-); 對于實(shí)平穩(wěn)過程對于實(shí)平穩(wěn)過程, ,則成立則成立R RX X()=R()=RX X(-).(-).即實(shí)平穩(wěn)過即實(shí)平穩(wěn)過 程程 的相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)的相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù). . (3)(3)由許瓦茲不等式由許瓦茲不等式, ,有有 |EX(t)X(t-)|EX(t)X(t-)|2 2E|X(t)X(t-)|E|X(t)X(t-)|2 2 E|X(t)|

33、 E|X(t)|2 2E|X(t-)|E|X(t-)|2 2 | 聯(lián)合平穩(wěn)過程及相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合平穩(wěn)過程及相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 從而有從而有 |R|RX X()|()|2 2RRX X(0)(0)2 2 及 及R RX X()R()RX X(0).(0). (4) (4) 在第二章在第二章2.32.3復(fù)隨機(jī)過程中的復(fù)隨機(jī)過程中的定理定理2.22.2已經(jīng)證明已經(jīng)證明. . (5)(5) R RX X(+T)=EX(t)X(t-+T)=EX(t)X(t-)(+T)=EX(t)X(t-+T)=EX(t)X(t-) =R =RX X();(); (6)(6) lim R lim RX X()=lim EX(t)X(t-)()=lim EX(t)X(t-) =lim EX(t)EX(t-) =lim EX(t)EX(t-) =m =mX Xm mX X. . 聯(lián)合平穩(wěn)過程聯(lián)合平穩(wěn)過程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)的的互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)具有以下具有以下性質(zhì)性質(zhì): : (