獲得等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)的思路是難點幻燈片

1、 教學(xué)目標 知識與技能目標：知識與技能目標： 掌握等差數(shù)列前掌握等差數(shù)列前n項和公式，能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前項和公式，能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前 n項和公式求和。項和公式求和。 過程與方法目標：過程與方法目標： 經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗 從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思。從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思。 情感、態(tài)度與價值觀目標：情感、態(tài)度與價值觀目標： 獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴謹?shù)膶W(xué)習態(tài)度，提獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴謹?shù)膶W(xué)習態(tài)度，提 高代數(shù)推理的能力。高代數(shù)推理的能力。 教學(xué)重點、難點

2、 等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和公式是重點。項和公式是重點。 獲得等差數(shù)列前獲得等差數(shù)列前n n項和公式推導(dǎo)的思路是難點項和公式推導(dǎo)的思路是難點。 教學(xué)過程分為問題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)階段、應(yīng)用知教學(xué)過程分為問題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)階段、應(yīng)用知 識階段。識階段。 探索與發(fā)現(xiàn)公式推導(dǎo)的思路是教學(xué)的重點。如果直接介探索與發(fā)現(xiàn)公式推導(dǎo)的思路是教學(xué)的重點。如果直接介 紹紹“逆序相加逆序相加”求和，無疑就像波利亞所說的求和，無疑就像波利亞所說的“帽子里跳出帽子里跳出 來的兔子來的兔子”。所以在教學(xué)中采用以問題驅(qū)動、層層鋪墊，從。所以在教學(xué)中采用以問題驅(qū)動、層層鋪墊，從 特殊到一般啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)方

3、法。特殊到一般啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)方法。 應(yīng)用公式也是教學(xué)的重點。為了讓學(xué)生較熟練掌握公式，應(yīng)用公式也是教學(xué)的重點。為了讓學(xué)生較熟練掌握公式， 可采用設(shè)計變式題的教學(xué)手段，通過可采用設(shè)計變式題的教學(xué)手段，通過“選擇公式選擇公式”，“變用變用 公式公式”，“知三求二知三求二”三個層次來促進學(xué)生新的認知結(jié)構(gòu)的三個層次來促進學(xué)生新的認知結(jié)構(gòu)的 形成。形成。 建構(gòu)主義學(xué)習理論認為，學(xué)習是學(xué)生積極主動的建構(gòu)知建構(gòu)主義學(xué)習理論認為，學(xué)習是學(xué)生積極主動的建構(gòu)知 識的過程，學(xué)習應(yīng)該與學(xué)生熟悉的背景相聯(lián)系。在教學(xué)中，識的過程，學(xué)習應(yīng)該與學(xué)生熟悉的背景相聯(lián)系。在教學(xué)中， 讓學(xué)生在問題情境中，經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展

4、，通過觀察、讓學(xué)生在問題情境中，經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展，通過觀察、 操作、歸納、思考、探索、交流、反思參與學(xué)習，認識和理操作、歸納、思考、探索、交流、反思參與學(xué)習，認識和理 解數(shù)學(xué)知識，學(xué)會學(xué)習，發(fā)展能力。解數(shù)學(xué)知識，學(xué)會學(xué)習，發(fā)展能力。 問題呈現(xiàn)階段 探究發(fā)現(xiàn)階段 公式應(yīng)用階段 問題呈現(xiàn) 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七 世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛 妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建 而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世 界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖

5、界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖 案之細致令人叫絕。案之細致令人叫絕。 傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相 同大小的圓寶石鑲飾而成，共有同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100100層層 （見左圖），奢靡之程度，可見一斑。（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。 你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？ 設(shè)計說明 源于歷史，富有人文氣息. 圖中算數(shù)，激發(fā)學(xué)習興趣. 承上啟下，探討高斯算法. 1+2+3+100計算 探究發(fā)現(xiàn) 學(xué)生敘述高斯首尾配對的方法 學(xué)生對高斯的算法是熟悉的，知道采用 首尾配對的方法來求和，但是他們對這種方 法的認識可能處于模仿

6、、記憶的階段 。 為了促進學(xué)生對這種算法的進一步理解， 設(shè)計了下面問題。 探究發(fā)現(xiàn) 問題1：圖案中，第1層到第21層一共有 多少顆寶石？ 這是求奇數(shù)個項和的問題，不 能簡單模仿偶數(shù)個項求和的辦法， 需要把中間項11看成首、尾兩項 1和21的等差中項。 通過前后比較得出認識：高 斯“首尾配對” 的算法還得分 奇、偶個項的情況求和。 進而提出有無簡單的方法？ 探究發(fā)現(xiàn) 問題1：圖案中，第1層到第21層一共有 多少顆寶石？ 借助幾何圖形之 直觀性，引導(dǎo)學(xué)生使 用熟悉的幾何方法： 把“全等三角形”倒 置，與原圖補成平行 四邊形。 探究發(fā)現(xiàn) 問題1：圖案中，第1層到第21層一共有 多少顆寶石？ 1 2

7、3 21 21 20 19 1 21 (121)21 2 s 獲得算法： 設(shè)計說明 幾何直觀能啟迪思路，幫助理解，因此，借 助幾何直觀學(xué)習和理解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習中的重 要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的 理解。因此在教學(xué)中，要鼓勵學(xué)生借助幾何直觀 進行思考，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，從而滲 透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 探究發(fā)現(xiàn) 從求確定的前n個 正整數(shù)之和到求一般 項數(shù)的前n個正整數(shù)之 和，旨在讓學(xué)生體驗 “逆序相加求和”這 一算法的合理性，從 心理上完成對“首尾 配對求和”算法的改 進。 123(1) (1)(2)21 2(1)(1)(1) (1) 2 n n n n n snn sn

8、nn snnn n n s 問題2：求1到n的正整數(shù)之和。 123(1) n snn 即 探究發(fā)現(xiàn) 問題3： ? nn an如何求等差數(shù)列的前 項和S 123 121 1 () 2 nn nnnn n n saaaa saaaa n aa s 由于前面的鋪墊，學(xué)生容易得出如下過程： 追問學(xué)生：為什么在等差數(shù)列中有 211 , nn aaaa 圖形直觀 等差數(shù)列的性質(zhì),.) mnpq mnpqaaaa(如果那么 探究發(fā)現(xiàn) 問題4： ? nn an如何求等差數(shù)列的前 項和S 如果蕭華同學(xué)目前還不知道等差數(shù)列的這個 性質(zhì)，你又該如何解釋呢？ 123(1) (1)(2)2 1 2(1)(1)(1) (

9、1) 2 n n n n n snn snnn snnn n n s 在圖與式的 啟發(fā)下，引導(dǎo)學(xué) 生用項（首項或 尾項）、公差兩 個基本元基本元表示等 差數(shù)列。 111 ()1) n Saadand（ ()(1) nnnn Saadand )(2 1nn aanS 1 () 1 2 n n n aa S 公式 dnaan) 1( 1 1 (1) 2 2 n n n Snad 公式 探究發(fā)現(xiàn) 問題4： ? nn an如何求等差數(shù)列的前 項和S 設(shè)計說明 （方法） 許多的教學(xué)設(shè)計在介紹“等差數(shù) 列前n項和”教學(xué)時，先復(fù)習或介紹等差數(shù)列的 性質(zhì)，然后在此基礎(chǔ)上采用逆序相加推導(dǎo)公式。 （方法）數(shù)學(xué)第一

10、冊（上）（人民教育 出版社）介紹的推導(dǎo)方法是先把等差數(shù)列用項 （首項、尾項）、公差兩個基本元表示，然后采 用逆序相加推導(dǎo)公式。 設(shè)計說明 有觀點認為方法直接干脆，要比方法好。我們之所以 濃墨重彩引出方法，絕不是一味迷信教材人云亦云，而是源 于以下的考慮： 方法是以學(xué)生掌握了等差數(shù)列的性質(zhì)（教材內(nèi)容始終未 出現(xiàn)，增加了學(xué)生的負擔）為基礎(chǔ)的，起點比較高，因而方法 顯得抽象一些，不容易被學(xué)生理解和信服。 方法的關(guān)鍵是等差數(shù)列的基本元表示只要給定首項 （尾項）和公差就可以確定該等差數(shù)列，反映了等差數(shù)列的本 質(zhì)，可以進一步促進學(xué)生對等差數(shù)列的理解。而且方法僅以等 差數(shù)列的定義為基礎(chǔ)，乃是學(xué)生熟悉的背景知

11、識，因而顯得比 較直觀，令人信服。 設(shè)計說明 以簡馭繁， 平實近人， 返樸歸真， 循循善誘， 引人入勝。 一言而蔽之，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)努力做到： 公式應(yīng)用 選用公式選用公式 變用公式變用公式 知三求二知三求二 公式應(yīng)用 750080008500900095001000010500 例某長跑運動員天里每天的訓(xùn)練量（單位：m） 是： 這位長跑運動員天共跑了多少米？ 本例提供了許多數(shù)據(jù)信息，學(xué)生可以從首項、尾 項、項數(shù)出發(fā)，使用公式1，也可以從首項、公差、 項數(shù)出發(fā)，使用公式2求和。達到學(xué)生熟悉公式的要 素與結(jié)構(gòu)的教學(xué)目的。 通過兩種方法的比較，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)該根據(jù)信息選 擇適當?shù)墓?，以便于計算?選用公式

12、選用公式 公式應(yīng)用 變用公式變用公式 例等差數(shù)列10，6，2，2，的前多少 項的和為54？ 本例已知首項，前n項和、并且可以求出公差， 利用公式2求項數(shù)。 事實上，在兩個求和公式中各包含四個元素， 從方程的角度，知三必能求余一。 1 20,54,999,. nnn aaasn在等差數(shù)列中，求 變式練習 公式應(yīng)用 知三求二知三求二 本例是使用等差數(shù)列的求和公式和通項公式求未知 元。 可以使用公式2，先求出首項，再使用通項公式求尾 項。也可以使用公式1和通項公式，聯(lián)列方程組求解。 事實上，在求和公式、通項公式中共有首項、公差、 項數(shù)、尾項、前n項和五個元素，如果已知其中三個， 聯(lián)列方程組，就可求其余二個。 例 1 20,37,629, . nn n ans aa 在等差數(shù)列中，已知d 求 及 課堂小結(jié) 回顧從特殊到一般的研究方法； 體會等差數(shù)列的基本元表示方法，逆序相加的算