大學(xué)物理剛體力學(xué)習(xí)題課

1、2021-7-251 剛體力學(xué)習(xí)題課剛體力學(xué)習(xí)題課 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 平行軸定理。的計(jì)算（常見的公式） 瞬時(shí)軸）或質(zhì)心系適用于慣性系（定軸或 二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律： , J JM Z 2 : r, ar, arv rs nt 量的關(guān)系一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)線量和角 2021-7-252 222 2 11 2 22 2 1 2 1 2 1 2 1 , 2 1 2 1 JmvJE mghE JJMd A cck cp 固固 剛剛體體的的動(dòng)動(dòng)能能 剛剛體體的的重重力力勢勢能能 。 能能定定理理：三三、剛剛體體定定軸軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)的的動(dòng)動(dòng) 機(jī)機(jī)械械能能守守恒恒定定律律。原原理理系系統(tǒng)統(tǒng)中中有有剛剛體體時(shí)時(shí)的的功功能能

2、, 2021-7-253 慣性系或質(zhì)心系 ：角動(dòng)量守恒定律的條件 動(dòng)量定理：四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角 )2( 0) 1 ( 1122 2 1 M JJMdt t t 系系統(tǒng)統(tǒng)角角動(dòng)動(dòng)量量守守恒恒定定律律。 量量定定理理系系統(tǒng)統(tǒng)中中有有剛剛體體時(shí)時(shí)的的角角動(dòng)動(dòng) , 2021-7-254 進(jìn)動(dòng)方向的判斷。）（ 六、剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)： (2) sin 1 L M 適用于任意參照系。 只適用于慣性系。 五、剛體的平面運(yùn)動(dòng)： ,3 2 1 2 1 2 1 22 J M amF) ( Jmv) E ( rvv) ( cc c cck icci 2021-7-255 例。一均勻細(xì)棒（例。一均勻細(xì)棒（m,lm,l)

3、 )的兩端用繩子自天花板豎的兩端用繩子自天花板豎 直吊住，棒處于水平，若一端突然剪斷，求此直吊住，棒處于水平，若一端突然剪斷，求此 時(shí)另一端繩的張力。時(shí)另一端繩的張力。 AB T mg 分析：分析： mgTmgmgT mgTmgT 2 1 )4( 2 1 )3( )2( 2 1 ) 1 ( 2021-7-256 例。一均勻細(xì)棒（例。一均勻細(xì)棒（m,lm,l) )的兩端用繩子自天花板的兩端用繩子自天花板 豎直吊住，棒處于水平，若一端突然剪斷，豎直吊住，棒處于水平，若一端突然剪斷， 求此時(shí)另一端繩的張力。求此時(shí)另一端繩的張力。 AB T mg 解：解：剪斷瞬間，剪斷瞬間，A端可認(rèn)為靜止點(diǎn)。端可認(rèn)為

4、靜止點(diǎn)。 2 3 1 2 2 c c A a maTmg mmgM ) 2 3 , 4 3 ( 4 1 g gamgT c 2021-7-257 例（習(xí)題例（習(xí)題3.413.41）質(zhì)量為）質(zhì)量為m m 的人站在質(zhì)量為的人站在質(zhì)量為M M，長長L L 的竹筏的一端，起初，人和筏處于靜止?fàn)顟B(tài)，若的竹筏的一端，起初，人和筏處于靜止?fàn)顟B(tài)，若 人以速度為人以速度為v（相對(duì)于河岸）向垂直于筏身的方相對(duì)于河岸）向垂直于筏身的方 向水平跳出，求竹筏獲得的角速度。（筏作為細(xì)向水平跳出，求竹筏獲得的角速度。（筏作為細(xì) 桿，水的阻力可忽略）桿，水的阻力可忽略） ) 12 1 ( 0 2 2 MJmvJ 筏筏 角動(dòng)量

5、守恒： 水平面的軸為轉(zhuǎn)軸 ，以過竹筏中心垂直解：把人和竹筏為系統(tǒng) M mv6 1 2 3 2021-7-258 解法解法1： 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。點(diǎn)的垂直軸為固定軸，所以過 止點(diǎn)。為人跳離筏過程中的靜 為筏的中心，為系統(tǒng)，取岸為參照系，人和筏 P P O ) 12 1 ( 0) 2 ( 22 MxMJ xmvJ P P OP x v 2021-7-259 0 mvMV C 系統(tǒng)動(dòng)量守恒： xV C :相互關(guān)系 M mv V M mv x C , 6 , 6 Vc OP x v 2021-7-2510 方法方法2 2： 動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理 MLdt L FM: mvdtFm 2 12 1 2 :

6、M mv6 Vc OP x v 2021-7-2511 方法方法3 3： 質(zhì)心坐標(biāo)系C 略 2021-7-2512 例例 如圖，設(shè)如圖，設(shè)m1m2+m3，（M，R）、(m3,r)為兩均質(zhì)園柱為兩均質(zhì)園柱, , 繩子與圓柱體無滑動(dòng)，圓柱體中心軸無摩擦繩子與圓柱體無滑動(dòng)，圓柱體中心軸無摩擦。 求各物體的加速度和繩子的張力。求各物體的加速度和繩子的張力。 m3,r m1 m2 M,R 2021-7-2513 M,R m3,r m1 m2 T1 T2 T3 T4 a1 a2 1 2 2224 2 2 332 233432 1 2 21 1111 2 1 )( 2 1 )( amgmT rmrTT am

7、gmTTT MRRTT amTgm 解： :, )2( :, :, 2223 21 2213 111 ramm rR raRmM RaMm 2021-7-2514 . 4328 224 321 321 2 g Mmmm mmm a 2021-7-2515 例例 如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同 一點(diǎn)，桿的質(zhì)量一點(diǎn)，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開始時(shí)直桿自與單擺的擺錘相等。開始時(shí)直桿自 然下垂，將單擺的擺錘拉到高度然下垂，將單擺的擺錘拉到高度h h0 0，令它自靜止?fàn)顟B(tài)，令它自靜止?fàn)顟B(tài) 下下垂垂, ,于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿于鉛

8、垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿 下端達(dá)到的高度下端達(dá)到的高度h 。 c hc h h b a m l ho l 2021-7-2516 c hc h h b a m l ho l 分析分析: :以小球、棒和地球?yàn)橄到y(tǒng)，在碰撞前、以小球、棒和地球?yàn)橄到y(tǒng)，在碰撞前、 中和碰后，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。碰撞中系統(tǒng)中和碰后，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。碰撞中系統(tǒng) 動(dòng)量不守恒，但系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。動(dòng)量不守恒，但系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。 2021-7-2517 解：設(shè)碰前擺球的速度為解：設(shè)碰前擺球的速度為v v0 0 ; ;碰撞后直桿的角速度 碰撞后直桿的角速度 為為 ，擺錘的速度為，擺錘的速度為v。桿下端上升的高度為桿

9、下端上升的高度為h 。 則則有：有： 2 0 3 1 (2) mlJ vmlJmlv 式中 碰中系統(tǒng)： (3) 2 1 2 1 2 1 222 0 vmJmv碰中系統(tǒng)： (1) 2 1 0 2 0 mghmv碰前擺球和地球： 2021-7-2518 l vv v 2 3 , 2 00 2 3 2 0 h hh c 由此得由此得 c hc h h b a m l ho l (4) 2 1 2 c mghJ碰后桿和地球： 2021-7-2519 。，水平邊長為板的豎直邊長為 薄減為原來的一半？已知問經(jīng)過多少時(shí)間角速度 。方的乘積，比例常數(shù)為正比于該面積和速度平 小小面積上所受阻力的大阻力垂直于板面

10、，每一 ，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到空氣阻力轉(zhuǎn)動(dòng)，初始角速度為 直邊的勻質(zhì)矩形薄板繞其豎一質(zhì)量例 ab k m 0 a b 分析：關(guān)鍵是計(jì)算阻力分析：關(guān)鍵是計(jì)算阻力 矩和板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩和板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2021-7-2520 解：解：建立如圖坐標(biāo)系，在距原點(diǎn) x 處取寬為 dx 的細(xì)薄板，根據(jù)題意，其受空氣的阻力為 bdxxkdskvdf 2 2 其對(duì)Oy 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)阻力矩為 dxxkbxdfdM f 32 整個(gè)薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)阻力矩 為 bakdxxkbdMM a ff 42 0 32 4 1 O x y a b dxx 2021-7-2521 細(xì)薄板對(duì)Oy 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 bdx ab m xdsxdmxdJ 22

11、2 整個(gè)薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 22 0 3 1 madxx a m dJJ a 代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律 dt d JM f O x y a b dxx 2021-7-2522 始條件兩邊積分，并考慮到初 得 2 2 0 2 0 03 1 4 1 d mdtbka t 所以得 0 2 3 4 bka m t 2 24 3 1 4 1 d mabdtka得： 2021-7-2523 例。如圖，轉(zhuǎn)軸平行的兩飛輪例。如圖，轉(zhuǎn)軸平行的兩飛輪A A、B B，半徑分半徑分 別為別為R1、R2。對(duì)各自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別對(duì)各自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別 為為J1、 J2 。A A輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 0 0，

12、B B輪不輪不 轉(zhuǎn)動(dòng)。移動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)。移動(dòng)B B輪使兩輪邊緣互相接觸。兩輪使兩輪邊緣互相接觸。兩 軸仍保持平行，軸光滑，輪間有摩擦。軸仍保持平行，軸光滑，輪間有摩擦。 問轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)后，兩輪的角速度各為多少？問轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)后，兩輪的角速度各為多少？ O1 O2 0 2021-7-2524 221101 JJJ 2211 R R線速相等： O1O2 F f1 f2 m1g m2g T1 T2 N1 N2 解：由系統(tǒng)（解：由系統(tǒng)（A，B） 受力分析可知，受力分析可知，f1, f2 為為 內(nèi)力，其它力的延長線內(nèi)力，其它力的延長線 過轉(zhuǎn)軸，所以力矩為零，過轉(zhuǎn)軸，所以力矩為零， 所以系統(tǒng)的角動(dòng)量恒。所以系統(tǒng)的角動(dòng)量恒。 。 2021-7-2525 恒分析系統(tǒng)的角動(dòng)量不守 解： 222 01111 t t JdtfRB JJdtfR ： ： 用角動(dòng)量定理