混合中值 線性FIR濾波器

1、 XXXXX 2015.6.10 7.5 混合中值/線性 有限沖激響應(yīng)濾波 Ll 和Ljl濾波的不足 Ll 和Ljl濾波利用了數(shù)據(jù)的排序特性和時(shí)序特性，但是有以下兩點(diǎn)不足： 1、Ll 和Ljl濾波需要大量的濾波權(quán)重 2、Ll 和Ljl濾波的復(fù)雜度會(huì)隨著觀察窗尺寸N和參數(shù)j的變大而迅速 增加，這限制了實(shí)際濾波中所能實(shí)現(xiàn)的最小樣本尺寸。 在考慮數(shù)據(jù)排序特性和時(shí)序特性的前提下，我們討論其他濾波的實(shí)現(xiàn) 方法。 Median and FIR Affinity Trimming 這種方法結(jié)合了線性FIR濾波和L濾波的屬性，通過更改截尾樣本 利用了數(shù)據(jù)的排序特性和時(shí)序特性。 當(dāng)離群值不存在時(shí)，截尾均值的效率

2、會(huì)大大降低。為此，Lee 和 Kassam在1985年引入了修正截尾均值（MTM）的概念，其基本思 想是先將與樣本中值相差較大的樣本舍棄，然后再取平均。 MTM位置估計(jì)： N i i N i ii q a Xa 1 1 (7.73) 其中 其它 ）（如果 0 1 1 qXMEDIANX a N jji i 這里的q是一個(gè)決定截尾程度的自定義參數(shù)。 和截尾均值一樣，修正截尾均值是穩(wěn)定估計(jì)，其可以用作相繼平滑器。 (7.73)式有多種變形，雙窗修正截尾均值（DW MTM）是其中的一種， 其采用兩個(gè)有重疊的平滑窗。在這種情況下，最小平滑窗內(nèi)的樣本中值 被當(dāng)作參考點(diǎn)。 (7.74) 另外一類(7.73

3、)式形式的平滑器不采用樣本中值，而選用平滑窗內(nèi)的中 間樣本作為截尾參考點(diǎn)。 K最近鄰平滑和sigma平滑就采用了上述截尾結(jié)構(gòu)，它們的系數(shù)i： 其中，Xc 是觀察窗內(nèi)的中間樣本，q是一個(gè)決定截尾程度的自定義參數(shù)。 這種結(jié)構(gòu)能夠很好地保留細(xì)節(jié)信息，但是對離群值和沖擊噪聲非常脆弱。 在有了修正截尾均值和K最近鄰估計(jì)的概念之后，我們可以很自然地拓 展出這種樣本既被截尾平均又被時(shí)間加權(quán)的濾波結(jié)構(gòu)。在這種結(jié)構(gòu)中， 數(shù)據(jù)的排序特性和時(shí)序特性均得到了利用。 (7.75) 其它 如果 0 1qXX a ci i Weighted Median Affine Filters Flaig等人在1998年提出Weig

4、hted Median Affine Filters的概念， 其基本思想是將加權(quán)中值作為截尾的參考點(diǎn)，樣本依據(jù)他們的時(shí)間 順序被加權(quán)平均。 定義7.6 在一個(gè)觀測窗中給出含有N個(gè)觀測值的集合X1 , X2 ,. . ., Xn ，含有N個(gè)實(shí)值相似度權(quán)重的集合C1 , C2 , . . . , Cn，含有N個(gè) 濾波權(quán)重的集合W1 , W2 , . . . , Wn，定義截尾參考值(n)為加權(quán) 中值： nnn XCCXCCMEDIANn)sgn(,.,)sgn()( 111 (7.76) 歸一化的WM affine FIR filter被定義為： N i ii i XW nX gnKnY 1 )(

5、 )()( (7.77) 這里K(n)是歸一化常數(shù) 函數(shù)g(.)衡量了第i個(gè)觀測樣本與加權(quán)中值(n)的相似度，其分布參數(shù) 是自定義的。 在(7.77)式的濾波結(jié)構(gòu)中，每個(gè)觀測量都被雙重加權(quán)：第一，根據(jù)其可 靠性，通過g(.)加權(quán)；第二，根據(jù)其自然順序，通過Wis加權(quán)。 1 1 )( )( N i i i nX gWnK WM affine estimates是基于可靠而有效的觀測值的，考慮到它們的自然 順序，這些觀測值是可靠而有效的。那些不符合上述標(biāo)準(zhǔn)的觀測值，對 估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生的影響很小。 圖7.7 相似度函數(shù)與樣本Xi的位置以及分布 參數(shù)(n)、(n)的關(guān)系 相似度函數(shù)可以有多種形式，其中指

6、數(shù)距離是常用的一種： 2 2 )( exp )( nXnX g ii (7.78) 相似度函數(shù)衡量了樣本偏離參考值(n)的程度。在不引起歧義的情況下， WM affine FIR filters簡稱為WM affine filters。 注意，總權(quán)重會(huì)隨著觀測值的變化而變化。因此，需要?dú)w一化常數(shù)K(n) 保證位置估計(jì)或低通濾波的無偏性。 相似度函數(shù)為濾波提供了靈活性。大的值強(qiáng)調(diào)了濾波的線性性質(zhì)，而 小的值強(qiáng)調(diào)其順序統(tǒng)計(jì)特性。 值得注意的是兩種極限情況： 1、當(dāng)趨于無窮時(shí)，相似度函數(shù)在整個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)，所有觀測值僅 依據(jù)其自然順序加權(quán)，WM affine estimate退化為歸一化的線性FIR

7、 濾波。 2、當(dāng)趨于0時(shí)，相似度函數(shù)是(n)處的脈沖，因此，權(quán)重Wi被舍棄 并且估計(jì)值等于加權(quán)中值(n)，這樣： N i i N i ii W XW nY 1 1 )(lim (7.79) )()(lim 0 nnY (7.80) 若假設(shè)參考值等于樣本中值，WM affine filter具有一個(gè)特別簡單的形式， 其有效性已經(jīng)在MTM濾波得到了證明。此時(shí)，這個(gè)估計(jì)被稱為median affine filter。 圖7.8 median affine filter的結(jié)構(gòu) 中值化的線性FIR濾波 為了應(yīng)用median affine filter，我們需要設(shè)計(jì)程序確定分布參數(shù) 和權(quán)重值Ci 、Wi。

8、 文獻(xiàn)73中提出了一種梯度優(yōu)化算法，這種自適應(yīng)算法需要一個(gè) 理想的訓(xùn)練信號(hào)，在結(jié)構(gòu)和復(fù)雜度上同最小均方算法類似。這種 算法在假定觀測值固定的前提下，根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)測設(shè)計(jì)濾 波權(quán)重。 表7.3 Median Affine的自適應(yīng)優(yōu)化算法總結(jié) 由于時(shí)，median affine filter的性質(zhì)類似于線性FIR濾波，因 此我們可以將的初始值設(shè)置得很大，以便利用線性濾波器設(shè)計(jì)方法 尋找median affine filter的系數(shù)Wis。 如果保持Wis恒定，一般情況下可以通過逐漸減小值提高濾波的穩(wěn) 定性。 實(shí)際濾波過程中一般為固定值，由于這一過程強(qiáng)調(diào)了濾波的中值性 質(zhì)而弱化了FIR濾波權(quán)重的

9、影響，這種設(shè)計(jì)方法稱為線性FIR濾波的 中值化。 FIR affine L filter (7.74)式中的截尾相似度函數(shù)可以被用于L濾波框架。在這種情況 下，相似度函數(shù)可以衡量順序統(tǒng)計(jì)量到那個(gè)被定義為FIR估計(jì)參考 點(diǎn)的距離。 定義7.7 考慮觀測值X1, X2, . . . , XN和其相應(yīng)的順序統(tǒng)計(jì)量X(1), X(2) , . . . , X(N)。給定一個(gè)含有N個(gè)契合度權(quán)重C1 , C2, . . . , CN的 集合，含有N個(gè)濾波權(quán)重W1 , W2 , . . . , WN的集合，截尾參考值 (n)是FIR濾波器的輸出(n)= 。歸一化的FIR affine L filter 定義

10、為： N i ii i XW nX gnKnY 1 )( )( )( )()( (7.81) N i 1 iiX C 這里K(n)是歸一化常數(shù) 函數(shù)g(.)衡量了第i個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量X(i)與FIR的輸出參考值(n)的相似度， 其分布參數(shù)是自定義的。 在不引起歧義的情況下，F(xiàn)IR affine L filter簡稱為FIR affine filter。 FIR affine filter給順序統(tǒng)計(jì)量加權(quán)時(shí)首先考慮它們與(n)的相似度，其 次考慮它們的排序特性。這種估計(jì)主要基于那些既和(n)相近又由于 排序特性而有效的順序統(tǒng)計(jì)量。 1 1 )( )( )( N i i i nX gWnK 和WM a

11、ffine filter類似，F(xiàn)IR affine filter在取極限的情況下也有簡化 形式，即 和 因此，在0時(shí)，F(xiàn)IR affine filter退化為系數(shù)為Ci的FIR濾波；在 時(shí)，F(xiàn)IR affine filter退化為系數(shù)為Wi的歸一化L濾波。 N i i N i ii W XW nY 1 1 )( )(lim i N i iX CnY 1 0 )(lim (7.84) (7.83) 當(dāng)系數(shù)Ci 取合適的值，使得順序統(tǒng)計(jì)量和中間的觀測樣本相關(guān)時(shí)，F(xiàn)IR affine filter會(huì)出現(xiàn)一種特殊形式，我們稱之為center affine filter。 實(shí)例7.4：DWD干擾項(xiàng)的消除

12、 魏格納分布 (WD)： detxtxftDW fj x 2* 22 , 兩個(gè)信號(hào)之和的魏格納分布 ： ftDWftDWftDWftDW yyxxyx , , Re2, , , 交叉（干擾）項(xiàng)定義為 ： - 2* , 22 , detytxftDW fj yx 干擾項(xiàng)會(huì)引起高頻振蕩。用一個(gè)平滑器可以抑制這種振蕩，但通常 會(huì)產(chǎn)生下列三種效果： 1、干擾項(xiàng)被部分抑制，這是我們希望的； 2、信號(hào)發(fā)生展寬，這是我們不想要的； 3、失去WD的某些數(shù)學(xué)性質(zhì)，有些時(shí)候這是我們不希望的。 所謂DWD就是離散魏格納分布。對于DWD，我們應(yīng)該選擇一個(gè)濾波既 能實(shí)現(xiàn)效果1，又能避免效果2（有要求時(shí)還能避免效果3）的

13、濾波結(jié)構(gòu)。 考慮剛才所提到的center affine filter，具體要求就是：當(dāng)觀測窗在干擾 項(xiàng)區(qū)域時(shí)，輸出等于0；當(dāng)觀測窗在平方項(xiàng)區(qū)域時(shí)，輸出等于中間樣本。 為了達(dá)到這個(gè)要求，上述濾波結(jié)構(gòu)應(yīng)該做到： 1、利用高斯相似度函數(shù)計(jì)算樣本的相似度； 2、用樣本的實(shí)際值代替絕對值，參考值選作中間樣本的絕對值。 3、參數(shù)與局部方差成比例。 由于干擾項(xiàng)區(qū)域內(nèi)樣本可正可負(fù)，平方項(xiàng)區(qū)域內(nèi)樣本恒為正值，所以在 干擾項(xiàng)區(qū)域內(nèi)的值較大，在平方項(xiàng)區(qū)域內(nèi)的值較小。 2100 )27( 40,15 )0048. 0154. 0(2 1281 2 2 )()( njn nnj n eenrenrX ， 考慮一個(gè)長度為

14、128，由高斯脈沖和拋物線型調(diào)制 信號(hào)組合而成的試驗(yàn)信號(hào)Xn： 其中，ra,b是一個(gè)門函數(shù)： 其他 ， , 0 1 , bna r ba 左圖中，(a)是這個(gè)DWD信號(hào)的原型；(b)是經(jīng)過 13點(diǎn)高斯時(shí)域平滑和31點(diǎn)高斯頻域平滑后的DWD 信號(hào)，信號(hào)在時(shí)域和頻域上得到了平滑，但是信 號(hào)定位上變得模糊；(c)是Choi-Williams在1989年 提出的分布，他給定信號(hào)的核寬度=1，這種方法 在去除了干擾項(xiàng)的同時(shí)還減小了信號(hào)定位的誤差。 我們還有一個(gè)目標(biāo)就是如何使信號(hào)在時(shí)域和頻域 中變得更突出。 左圖中，(a)是 Baraniuk和Jones在1993年給出的 利用徑向高斯核設(shè)計(jì)的分布，這種方

15、法不能平滑 拋物線型信號(hào)；(b)是Baraniuk和Jones在1995年 給出的利用自適應(yīng)徑向高斯核設(shè)計(jì)的分布，這種 方法能夠平滑拋物線型信號(hào)，但是損失了一些位 置信息；(c)是center affine filter給出的結(jié)果，可 以看出center affine filter既消除了干擾項(xiàng)又沒有 損失位置信息。 實(shí)例7.5：ISAR圖像的去噪 為了加深對center affine filter的理解，我們考慮ISAR的圖像。 ISAR圖像是目標(biāo)的反射率函數(shù)在距離多普勒平面上的映射，由 于雜波噪聲很強(qiáng)，從雷達(dá)回波中識(shí)別出目標(biāo)一般來說很困難。因此， 我們希望從雷達(dá)回波中去除那些非高斯的沖擊噪聲。 下面用一幅雷達(dá)圖像，比較了center