混合中值 線性FIR濾波器

1、 XXXXX 2015.6.10 7.5 混合中值/線性 有限沖激響應(yīng)濾波 Ll 和Ljl濾波的不足 Ll 和Ljl濾波利用了數(shù)據(jù)的排序特性和時序特性，但是有以下兩點(diǎn)不足： 1、Ll 和Ljl濾波需要大量的濾波權(quán)重 2、Ll 和Ljl濾波的復(fù)雜度會隨著觀察窗尺寸N和參數(shù)j的變大而迅速 增加，這限制了實(shí)際濾波中所能實(shí)現(xiàn)的最小樣本尺寸。 在考慮數(shù)據(jù)排序特性和時序特性的前提下，我們討論其他濾波的實(shí)現(xiàn) 方法。 Median and FIR Affinity Trimming 這種方法結(jié)合了線性FIR濾波和L濾波的屬性，通過更改截尾樣本 利用了數(shù)據(jù)的排序特性和時序特性。 當(dāng)離群值不存在時，截尾均值的效率

2、會大大降低。為此，Lee 和 Kassam在1985年引入了修正截尾均值（MTM）的概念，其基本思 想是先將與樣本中值相差較大的樣本舍棄，然后再取平均。 MTM位置估計： N i i N i ii q a Xa 1 1 (7.73) 其中 其它 ）（如果 0 1 1 qXMEDIANX a N jji i 這里的q是一個決定截尾程度的自定義參數(shù)。 和截尾均值一樣，修正截尾均值是穩(wěn)定估計，其可以用作相繼平滑器。 (7.73)式有多種變形，雙窗修正截尾均值（DW MTM）是其中的一種， 其采用兩個有重疊的平滑窗。在這種情況下，最小平滑窗內(nèi)的樣本中值 被當(dāng)作參考點(diǎn)。 (7.74) 另外一類(7.73

3、)式形式的平滑器不采用樣本中值，而選用平滑窗內(nèi)的中 間樣本作為截尾參考點(diǎn)。 K最近鄰平滑和sigma平滑就采用了上述截尾結(jié)構(gòu)，它們的系數(shù)i： 其中，Xc 是觀察窗內(nèi)的中間樣本，q是一個決定截尾程度的自定義參數(shù)。 這種結(jié)構(gòu)能夠很好地保留細(xì)節(jié)信息，但是對離群值和沖擊噪聲非常脆弱。 在有了修正截尾均值和K最近鄰估計的概念之后，我們可以很自然地拓 展出這種樣本既被截尾平均又被時間加權(quán)的濾波結(jié)構(gòu)。在這種結(jié)構(gòu)中， 數(shù)據(jù)的排序特性和時序特性均得到了利用。 (7.75) 其它 如果 0 1qXX a ci i Weighted Median Affine Filters Flaig等人在1998年提出Weig

4、hted Median Affine Filters的概念， 其基本思想是將加權(quán)中值作為截尾的參考點(diǎn)，樣本依據(jù)他們的時間 順序被加權(quán)平均。 定義7.6 在一個觀測窗中給出含有N個觀測值的集合X1 , X2 ,. . ., Xn ，含有N個實(shí)值相似度權(quán)重的集合C1 , C2 , . . . , Cn，含有N個 濾波權(quán)重的集合W1 , W2 , . . . , Wn，定義截尾參考值(n)為加權(quán) 中值： nnn XCCXCCMEDIANn)sgn(,.,)sgn()( 111 (7.76) 歸一化的WM affine FIR filter被定義為： N i ii i XW nX gnKnY 1 )(

5、 )()( (7.77) 這里K(n)是歸一化常數(shù) 函數(shù)g(.)衡量了第i個觀測樣本與加權(quán)中值(n)的相似度，其分布參數(shù) 是自定義的。 在(7.77)式的濾波結(jié)構(gòu)中，每個觀測量都被雙重加權(quán)：第一，根據(jù)其可 靠性，通過g(.)加權(quán)；第二，根據(jù)其自然順序，通過Wis加權(quán)。 1 1 )( )( N i i i nX gWnK WM affine estimates是基于可靠而有效的觀測值的，考慮到它們的自然 順序，這些觀測值是可靠而有效的。那些不符合上述標(biāo)準(zhǔn)的觀測值，對 估計結(jié)果產(chǎn)生的影響很小。 圖7.7 相似度函數(shù)與樣本Xi的位置以及分布 參數(shù)(n)、(n)的關(guān)系 相似度函數(shù)可以有多種形式，其中指

6、數(shù)距離是常用的一種： 2 2 )( exp )( nXnX g ii (7.78) 相似度函數(shù)衡量了樣本偏離參考值(n)的程度。在不引起歧義的情況下， WM affine FIR filters簡稱為WM affine filters。 注意，總權(quán)重會隨著觀測值的變化而變化。因此，需要?dú)w一化常數(shù)K(n) 保證位置估計或低通濾波的無偏性。 相似度函數(shù)為濾波提供了靈活性。大的值強(qiáng)調(diào)了濾波的線性性質(zhì)，而 小的值強(qiáng)調(diào)其順序統(tǒng)計特性。 值得注意的是兩種極限情況： 1、當(dāng)趨于無窮時，相似度函數(shù)在整個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)，所有觀測值僅 依據(jù)其自然順序加權(quán)，WM affine estimate退化為歸一化的線性FIR

7、 濾波。 2、當(dāng)趨于0時，相似度函數(shù)是(n)處的脈沖，因此，權(quán)重Wi被舍棄 并且估計值等于加權(quán)中值(n)，這樣： N i i N i ii W XW nY 1 1 )(lim (7.79) )()(lim 0 nnY (7.80) 若假設(shè)參考值等于樣本中值，WM affine filter具有一個特別簡單的形式， 其有效性已經(jīng)在MTM濾波得到了證明。此時，這個估計被稱為median affine filter。 圖7.8 median affine filter的結(jié)構(gòu) 中值化的線性FIR濾波 為了應(yīng)用median affine filter，我們需要設(shè)計程序確定分布參數(shù) 和權(quán)重值Ci 、Wi。

8、 文獻(xiàn)73中提出了一種梯度優(yōu)化算法，這種自適應(yīng)算法需要一個 理想的訓(xùn)練信號，在結(jié)構(gòu)和復(fù)雜度上同最小均方算法類似。這種 算法在假定觀測值固定的前提下，根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)測設(shè)計濾 波權(quán)重。 表7.3 Median Affine的自適應(yīng)優(yōu)化算法總結(jié) 由于時，median affine filter的性質(zhì)類似于線性FIR濾波，因 此我們可以將的初始值設(shè)置得很大，以便利用線性濾波器設(shè)計方法 尋找median affine filter的系數(shù)Wis。 如果保持Wis恒定，一般情況下可以通過逐漸減小值提高濾波的穩(wěn) 定性。 實(shí)際濾波過程中一般為固定值，由于這一過程強(qiáng)調(diào)了濾波的中值性 質(zhì)而弱化了FIR濾波權(quán)重的

9、影響，這種設(shè)計方法稱為線性FIR濾波的 中值化。 FIR affine L filter (7.74)式中的截尾相似度函數(shù)可以被用于L濾波框架。在這種情況 下，相似度函數(shù)可以衡量順序統(tǒng)計量到那個被定義為FIR估計參考 點(diǎn)的距離。 定義7.7 考慮觀測值X1, X2, . . . , XN和其相應(yīng)的順序統(tǒng)計量X(1), X(2) , . . . , X(N)。給定一個含有N個契合度權(quán)重C1 , C2, . . . , CN的 集合，含有N個濾波權(quán)重W1 , W2 , . . . , WN的集合，截尾參考值 (n)是FIR濾波器的輸出(n)= 。歸一化的FIR affine L filter 定義

10、為： N i ii i XW nX gnKnY 1 )( )( )( )()( (7.81) N i 1 iiX C 這里K(n)是歸一化常數(shù) 函數(shù)g(.)衡量了第i個順序統(tǒng)計量X(i)與FIR的輸出參考值(n)的相似度， 其分布參數(shù)是自定義的。 在不引起歧義的情況下，F(xiàn)IR affine L filter簡稱為FIR affine filter。 FIR affine filter給順序統(tǒng)計量加權(quán)時首先考慮它們與(n)的相似度，其 次考慮它們的排序特性。這種估計主要基于那些既和(n)相近又由于 排序特性而有效的順序統(tǒng)計量。 1 1 )( )( )( N i i i nX gWnK 和WM a

11、ffine filter類似，F(xiàn)IR affine filter在取極限的情況下也有簡化 形式，即 和 因此，在0時，F(xiàn)IR affine filter退化為系數(shù)為Ci的FIR濾波；在 時，F(xiàn)IR affine filter退化為系數(shù)為Wi的歸一化L濾波。 N i i N i ii W XW nY 1 1 )( )(lim i N i iX CnY 1 0 )(lim (7.84) (7.83) 當(dāng)系數(shù)Ci 取合適的值，使得順序統(tǒng)計量和中間的觀測樣本相關(guān)時，F(xiàn)IR affine filter會出現(xiàn)一種特殊形式，我們稱之為center affine filter。 實(shí)例7.4：DWD干擾項(xiàng)的消除

12、 魏格納分布 (WD)： detxtxftDW fj x 2* 22 , 兩個信號之和的魏格納分布 ： ftDWftDWftDWftDW yyxxyx , , Re2, , , 交叉（干擾）項(xiàng)定義為 ： - 2* , 22 , detytxftDW fj yx 干擾項(xiàng)會引起高頻振蕩。用一個平滑器可以抑制這種振蕩，但通常 會產(chǎn)生下列三種效果： 1、干擾項(xiàng)被部分抑制，這是我們希望的； 2、信號發(fā)生展寬，這是我們不想要的； 3、失去WD的某些數(shù)學(xué)性質(zhì)，有些時候這是我們不希望的。 所謂DWD就是離散魏格納分布。對于DWD，我們應(yīng)該選擇一個濾波既 能實(shí)現(xiàn)效果1，又能避免效果2（有要求時還能避免效果3）的

13、濾波結(jié)構(gòu)。 考慮剛才所提到的center affine filter，具體要求就是：當(dāng)觀測窗在干擾 項(xiàng)區(qū)域時，輸出等于0；當(dāng)觀測窗在平方項(xiàng)區(qū)域時，輸出等于中間樣本。 為了達(dá)到這個要求，上述濾波結(jié)構(gòu)應(yīng)該做到： 1、利用高斯相似度函數(shù)計算樣本的相似度； 2、用樣本的實(shí)際值代替絕對值，參考值選作中間樣本的絕對值。 3、參數(shù)與局部方差成比例。 由于干擾項(xiàng)區(qū)域內(nèi)樣本可正可負(fù)，平方項(xiàng)區(qū)域內(nèi)樣本恒為正值，所以在 干擾項(xiàng)區(qū)域內(nèi)的值較大，在平方項(xiàng)區(qū)域內(nèi)的值較小。 2100 )27( 40,15 )0048. 0154. 0(2 1281 2 2 )()( njn nnj n eenrenrX ， 考慮一個長度為

14、128，由高斯脈沖和拋物線型調(diào)制 信號組合而成的試驗(yàn)信號Xn： 其中，ra,b是一個門函數(shù)： 其他 ， , 0 1 , bna r ba 左圖中，(a)是這個DWD信號的原型；(b)是經(jīng)過 13點(diǎn)高斯時域平滑和31點(diǎn)高斯頻域平滑后的DWD 信號，信號在時域和頻域上得到了平滑，但是信 號定位上變得模糊；(c)是Choi-Williams在1989年 提出的分布，他給定信號的核寬度=1，這種方法 在去除了干擾項(xiàng)的同時還減小了信號定位的誤差。 我們還有一個目標(biāo)就是如何使信號在時域和頻域 中變得更突出。 左圖中，(a)是 Baraniuk和Jones在1993年給出的 利用徑向高斯核設(shè)計的分布，這種方

15、法不能平滑 拋物線型信號；(b)是Baraniuk和Jones在1995年 給出的利用自適應(yīng)徑向高斯核設(shè)計的分布，這種 方法能夠平滑拋物線型信號，但是損失了一些位 置信息；(c)是center affine filter給出的結(jié)果，可 以看出center affine filter既消除了干擾項(xiàng)又沒有 損失位置信息。 實(shí)例7.5：ISAR圖像的去噪 為了加深對center affine filter的理解，我們考慮ISAR的圖像。 ISAR圖像是目標(biāo)的反射率函數(shù)在距離多普勒平面上的映射，由 于雜波噪聲很強(qiáng)，從雷達(dá)回波中識別出目標(biāo)一般來說很困難。因此， 我們希望從雷達(dá)回波中去除那些非高斯的沖擊噪聲。 下面用一幅雷達(dá)圖像，比較了center