四邊形添加輔助線

1、一、三角形中常見輔助線的添加1與角平分線有關的i可向兩邊作垂線。ii可作平行線，構造等腰三角形iii在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形2與線段長度相關的i截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，經常在較長的線段上截取一段，使 得它和苴中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可ii補短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，也可以在較短的線段上延長一段， 使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條 長線段即可iii倍長中線：題目中如果出現了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點連結， 便可得到全等三角形。iv遇到中點，考慮

2、中位線或等腰等邊中的三線合一。3與等腰等邊三角形相關的i考慮三線合一ii旋轉一泄的度數，構造全都三角形，等腰一般旋轉頂角的度數，等邊旋轉60二、四邊形特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有 關的問題時往往需要添加輔助線.下而介紹一些輔助線的添加方法.1、和平行四邊形有關的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質，為了利用這些性質往 往需要添加輔助線構造平行四邊形.i .利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形ii. 利用兩組對邊平行構造平行四邊形iii. 利用對角線互相平分構造平行四邊形2、和菱形有關的輔助線的作法和菱形有關的輔助線的

3、作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判立定理或性質左 定理解決問題.i. 作菱形的髙：ii. 連結菱形的對角線.3、與矩形有輔助線作法和矩形有關的題型一般有兩種：i.計算型題，一般通過作輔助線構造直角三角形借助勾股泄理解決問題；ii .證明或探索題，一般連結矩形的對角線借助對角線相等這一性質解決問題和矩形有關 的試題的輔助線的作法較少.4、與正方形有關輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關正方形的 試題較多解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用 輔助線.5、與梯形有關的輔助線的作法和梯形有關的輔助線的作法是較多的主要涉

4、及以下幾種類型：（1）作一腰的平行線構造平行四邊形和特殊三角形：（2）作梯形的髙，構造矩形和直角三角形：（3）作一對角線的平行線，構造直角三角形和平行四邊形：（4）延長兩腰構成三角形；（5）作兩腰的平行線等.三、圓1. 遇到弦時（解決有關弦的問題時）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或宜徑）或再連結過弦的端點的半徑。作用：利用垂徑定理： 利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系； 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據勾股左理求有關量。2. 遇到有直徑時常常添加（畫）直徑所對的圓周角。作用：利用圓周角的性質得到直角或直角三角形。3遇到90度的圓周角時常常連結兩條弦沒有公共點的另

5、一端點。作用：利用圓周角的性質，可得到宜徑。4. 遇到弦時常常連結圓心和弦的兩個端點，構成等腰三角形，還可連結圓周上一點和弦的兩個端點。 作用：可得等腰三角形； 據圓周角的性質可得相等的圓周角。5. 遇到有切線時（1）常常添加過切點的半徑（連結圓心和切點）作用：利用切線的性質沱理可得0A丄AB,得到直角或直角三角形。（2）常常添加連結圓上一點和切點作用：可構成弦切角，從而利用弦切角泄理。6. 遇到證明某一直線是圓的切線時（1）若直線和圓的公共點還未確泄，則常過圓心作直線的垂線段。作用：若0A二r,則 1為切線。（2）若直線過圓上的某一點，則連結這點和圓心（即作半徑） 作用：只需證0A丄1, 則

6、1為切線。（3）有遇到圓上或圓外一點作圓的切線7. 遇到兩相交切線時（切線長）常常連結切點和圓心、連結圓心和圓外的一點、連結兩切點。作用：據切線長及其它性質，可得到： 角、線段的等量關系； 垂直關系： 全等、相似三角形。8. 遇到三角形的內切圓吋連結內心到各三角形頂點，或過內心作三角形各邊的垂線段。作用：利用內心的性質，可得： 內心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線； 內心到三角形三條邊的距離相等。9. 遇到三角形的外接圓時，連結外心和各頂點作用：外心到三角形各頂點的距離相等。10. 遇到兩圓外離時（解決有關兩圓的外、內公切線的問題）常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線

7、。 作用：利用切線的性質：利用解直角三角形的有關知識。11. 遇到兩圓相交時常常作公共弦、兩圓連心線、連結交點和圓心等。利用連心線的性質、解直角三角形有關知識：利用圓內接四邊形的性質： 利用兩圓公共的圓周的性質； 垂徑定理。12. 遇到兩圓相切時常常作連心線、公切線。作用： 利用連心線性質：切線性質等。13. 遇到三個圓兩兩外切時常常作每兩個圓的連心線。作用：可利用連心線性質。14. 遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時常常添加輔助圓。作用：以便利用圓的性質。例1如圖1,已知點0是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，四邊形OCDE是平行四 邊形.求證:OE與AD互

8、相平分.2. 利用兩組對邊平行構造平行四邊形例2如圖2,在ZABC中，E、F為AB上兩點，AE=BF, ED/AC, FG/AC交BC分別為 D, G求證:ED+FG=AC.3利用對角線互相平分構適平行四邊形例3如圖3,已知AD是AABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EE求證BF=AC. 分析：要證明BF=AC, 一種方法是將BF和AC變換到同一個三角形中，利用等邊對等角; 另一種方法是通過等量代換，尋找和BF、AC相等的相段代換.尋找相等的線段的方法一般 是構造平行四邊形.EBFD二、和菱形有關的輔助線的作法和菱形有關的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判左定理或性

9、質定定理 解決問題.例4如圖5,在ZkABC中，ZACB=90G , ZBAC的平分線交BC于點D, E是AB上一點, 且AE=AC, EF/BC交AD于點F,求證：四邊形CDEF是菱形.例5如圖6,四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個泄點，F是AC上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長.例6 如圖7,已知矩形ABCD內一點，PA=3, PB=4, PC=5求PD的長.分析：要利用已知條件，因為矩形ABCD,可過P分別作兩組對邊的平行線，構造直角三 角形借助勾股左理解決問題.例7如圖8,過正方形ABCD的頂點B作BE/AC,且AE=AC,又CF/AE.求圧 ZBCF= 2 ZAEB.例

10、 8 已知，如圖 9.在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB=AC, ZBAC=90 , BD=BC, BD 交 AC于點0求證：CO=CD.例9如圖10,在等腰梯形ABCD中，AD/BC, AC丄BD, AD+BC=10, DE丄BC于E.求 DE的長.分析：根據本題的已知條件，可通過平移一條對角線，把梯形轉化為平行四邊形和直角三角 形，借助勾股左理解決.例10如圖11,在四邊形ABCD中，AC于BD交于點0, AC=BD, E. F分別是AB. CD 中點，EF分別交AC、BD于點H、G求證：OG=OH.分析：欲證OG=OH,而OG、OH為同一個三角形的兩邊，又E、F分別是AB、CD中點

11、， 所以可試想作輔助線，構造三角形中位線解決問題.BC=例1如圖所示，在直角梯形ABCD中，ZA=9017.求CD的長.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC的取值范圍。例 3 如圖，在梯形 A BCD 中，AD/BC, ZB + ZC=90 , AD=h BC=3, E、F 分別是 AD、 BC的中點，連接EF,求EF的長。3、平移對角線：例 4、已知：梯形 ABCD 中，AD/BC, AD=L BC=4, BD=3, AC=4,求梯形 ABCD 的而 積例5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD/BC, AD=3, BC=7, BD=5邁，求證：AC丄BD。

12、例 7 如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC. ZB=50 , ZC=80 , AD=2, BC=5,求 CD 的長。例&如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC,AC=BD,AD = BC判斷四邊形ABCD 的形狀.并證明你的結論.例9如圖6,在直角梯形ABCD中，AD/BC, AB丄AD, BC=CD, BE丄CD于點E,求證: AD=DE.例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB/DC, ZABC=90 , AB=2DC,對角線AC丄BD, 垂足為F,過點F作EF/AB,交AD于點E,求證：四邊形ABFE是等腰梯形。例 11、在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC. AB=CD, ZABC=60 , AD=3cm, BC=5cm, 求：（1）腰AB的長；（2）梯形ABCD的而積.例12如圖，在梯形ABCD中.AD為上底，ABCD,求證：BDAC。 證：作AE丄BC于E,作DF丄BC于F,則易知AE=DF。例13如圖，在梯形ABCD中，AB/DC, O是BC的中點，ZAOD=90，求證：AB+CD=AD。例14如圖，在梯形ABCD中，AD/BC, E、F分別是BD、AC的中點，求證：(1) EF/AD； EF = L(BC-AD