空間向量及二面角的向量求法專題10頁

1、第四講 空間向量一、定義：（1）已知，則（2）已知，則；（3）數(shù)量積：注：；（4）應(yīng)用：已知=二、空間向量解決空間立體幾何問題：1、位置關(guān)系判定：（1）線線平行：線線垂直：（2）線面平行：（其中為平面的法向量）線面垂直：（3）面面平行： 面面垂直：2、求夾角：（1）線線角：，其中（2）線面角：，其中（3）二面角：，其中向量法求解二面角向量在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，在解析幾何與立體幾何里的應(yīng)用更為直接，用向量的方法特別便于研究空間里涉及直線和平面的各種問題。隨著新教材中向量工具的引入，立體幾何的解題更加靈活多樣，這為那些空間想象能力較差的同學(xué)提供了機遇。利用平面的法向量幾乎可以解決所有的立幾

2、計算和一些證明的問題，尤其在求點面距離、空間的角（斜線與平面所成的角和二面角）時，法向量有著它獨有的優(yōu)勢，以下舉例全面剖析在立幾中如何用法向量求二面角。一. 利用法向量求二面角的大小的原理:設(shè) 分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量 的夾角為，則有（圖1）或 （圖2）ll圖1 圖2 基本結(jié)論 構(gòu)成二面角的兩個平面的法向量的夾角或夾角的補角等于這個二面角的平面角二. 如何求平面的一個法向量:DABCA1B1C1D1圖3GEFxyz例題1: 如圖3，在正方體ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分別為AA1、AB、BC的中點，求平面GEF的法向量。略解：以D為原點建立右手空間直角坐標系，則E(1

3、，,0) 、F(，1,0) 、G(1,0，)由此得:設(shè)平面的法向量為由及可得令y=1取平面的一個法向量為評析 因為平面的法向量有無數(shù)個，方向可上可下，模可大可小，我們只要求出平面的某一個法向量（教簡單的）即可。三. 法向量的應(yīng)用舉例:例題4. 在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,點Q是BC的中點，求此時二面角AA1DQ的大小評析（1）用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統(tǒng)求二面角問題時的三步曲：“找證求”直接簡化成了一步曲：“計算”，這在一定程度上降低了學(xué)生的空間想象能力，達到不用作圖就可以直接計算的目的,更加注重對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神。（

4、2）此法在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若令，則，二面角AA1DQ的大小 是的補角。所以在計算之前不妨先依題意直觀判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計算取“相等角”或取“補角”。 AzyxDCBS圖5例5 如圖5，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，AD/BC，ABC=900，SA面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。 求側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的大小。評析：（1）因為所求的二面角的交線在圖中較難作出，所以用傳統(tǒng)的方法求二面角比較困難，向量法在這里就體現(xiàn)出它特有的優(yōu)勢；（2）但判斷側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的平面角是銳角還是鈍角時，圖形的直觀性

5、就不明顯了，當不能很好地判斷所求的二面角的類型時,以下給出解決方案。四. 當直觀很難判斷二面角是銳角還是鈍角時, 通過判斷法向量的方向來求解二面角.原理 首先我們再重新認識一下法向量夾角和二面角的關(guān)系：如上圖6所示，當我們把法向量控制成“一進一出”，圖6此時兩法向量在三個坐標平面的投影也可以看成是“一進一出”，這時不難得出的夾角就是二面角的大小，反之就不是。其次如何控制一個平面的法向量方向是我們想要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”呢？oABC圖7如圖7所示：平面ABC的法向量若要法向量的方向“向上”,可設(shè)或,其中0；若要法向量的方向“向前”,可設(shè)或,其中；若要法向量的方向“向右

6、”，可設(shè)或,其中所以，只要我們判斷兩個法向量的方向是“一進一出”，那么所求的二面角的平面角就等于兩法向量的夾角，如果是“同進同出”， 那么所求的二面角的平面角就等于兩法向量的夾角的補角，掌握了這點，那么用法向量求二面角就可以做到隨心所欲。AzyxDCBS1，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，AD/BC，ABC=900，SA面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。 求側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的大小。ABCD2如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點（）求證：平面；（）求二面角的大??；3.如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，分別是的中點（1）證明：；PBECDFA（2）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值4如圖，在底面是菱形的四棱錐PABC中，ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,點E在PD上，且PE:ED=2:1.（1）證明PA平面ABCD；（2）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的