簡(jiǎn)化解析幾何運(yùn)算技巧專題8頁(yè)

1、專題：簡(jiǎn)化解析幾何運(yùn)算的5個(gè)技巧中學(xué)解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，用方程的觀點(diǎn)來(lái)研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題的優(yōu)越性，但有時(shí)運(yùn)算量過(guò)大，或需繁雜的討論，這些都會(huì)影響解題的速度，甚至?xí)兄菇忸}的過(guò)程，達(dá)到“望題興嘆”的地步特別是高考過(guò)程中，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，保質(zhì)保量完成解題的任務(wù)，計(jì)算能力是一個(gè)重要的方面為此，從以下幾個(gè)方面探索減輕運(yùn)算量的方法和技巧，合理簡(jiǎn)化解題過(guò)程，優(yōu)化思維過(guò)程技法一巧用定義，揭示本質(zhì)定義是導(dǎo)出其性質(zhì)的“發(fā)源地”，解題時(shí)，應(yīng)善于運(yùn)用圓錐曲線的定義，以數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo)，把定量的分析有機(jī)結(jié)合起來(lái)，則可使解題計(jì)算量大為簡(jiǎn)化，使解題構(gòu)筑在較高的水平上典例如圖，F(xiàn)1

2、，F(xiàn)2是橢圓C1：y21與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()ABC D解析由已知，得F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，設(shè)雙曲線C2的實(shí)半軸長(zhǎng)為a，由橢圓及雙曲線的定義和已知，可得解得a22，故a所以雙曲線C2的離心率e答案D方法點(diǎn)撥本題可巧妙運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義建立|AF1|，|AF2|的等量關(guān)系，從而快速求出雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)a的值，進(jìn)而求出雙曲線的離心率，大大降低了運(yùn)算量對(duì)點(diǎn)演練拋物線y24mx(m0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A(m,0)，則的最小值為_解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)，由拋物線的定義

3、，知|PF|xPm，又|PA|2(xPm)2y(xPm)24mxP，則2(當(dāng)且僅當(dāng)xPm時(shí)取等號(hào))，所以，所以的最小值為答案：技法二設(shè)而不求，整體代換對(duì)于直線與圓錐曲線相交所產(chǎn)生的中點(diǎn)弦問(wèn)題，涉及求中點(diǎn)弦所在直線的方程，或弦的中點(diǎn)的軌跡方程的問(wèn)題時(shí)，常?？梢杂么c(diǎn)法求解典例已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A1 B1C1 D1解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，y1y22，得0，所以kAB又kAB，所以又9c2a2b2，解得b29，a218，所以橢圓E的方程為1答案D方法點(diǎn)撥本題設(shè)出

4、A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，卻不需求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，巧妙地表達(dá)出直線AB的斜率，通過(guò)將直線AB的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關(guān)系，從而快速解決問(wèn)題對(duì)點(diǎn)演練過(guò)點(diǎn)M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(ab0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則0，x1x22，y1y22，a22b2又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，即橢圓C的離心率e答案：技法三巧用“根與系數(shù)的關(guān)系”，化繁為簡(jiǎn)某些涉及線段長(zhǎng)度關(guān)系的問(wèn)題可以通過(guò)解方程、求坐標(biāo)，用距離公式計(jì)算長(zhǎng)度的方法來(lái)解；但也可以利用一元二次方程，使相關(guān)的點(diǎn)的同名坐標(biāo)為方程的根，由根

5、與系數(shù)的關(guān)系求出兩根間的關(guān)系或有關(guān)線段長(zhǎng)度間的關(guān)系后者往往計(jì)算量小，解題過(guò)程簡(jiǎn)捷典例(2016全國(guó)甲卷)已知橢圓E：1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA(1)當(dāng)t4，|AM|AN|時(shí)，求AMN的面積；(2)當(dāng)2|AM|AN|時(shí)，求k的取值范圍解設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y10(1)當(dāng)t4時(shí)，E的方程為1，A(2,0)由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線AM的傾斜角為因此直線AM的方程為yx2將xy2代入1，得7y212y0解得y0或y，所以y1因此AMN的面積SAMN2(2)由題意知t3，k0，A(，0)將直線AM的方程yk(x)代入1，得

6、(3tk2)x22tk2xt2k23t0由x1()，得x1，故|AM|x1|由題設(shè)，直線AN的方程為y(x)，故同理可得|AN|由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)當(dāng)k時(shí)上式不成立，因此tt3等價(jià)于0，即0因此得或解得k2故k的取值范圍是(，2)方法點(diǎn)撥本例在第(2)問(wèn)中可應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1，這體現(xiàn)了整體思路這是解決解析幾何問(wèn)題時(shí)常用的方法，簡(jiǎn)單易懂，通過(guò)設(shè)而不求，大大降低了運(yùn)算量對(duì)點(diǎn)演練(2016蘭州實(shí)戰(zhàn)考試)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若AF2B的內(nèi)切圓

7、半徑為，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程解：(1)由，得a2c，所以a24c2，b23c2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程得c21，故所求橢圓方程為1(2)由(1)可知F1(1,0)，設(shè)直線l的方程為xty1，代入橢圓方程，整理得(43t2)y26ty90，顯然判別式大于0恒成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AF2B的內(nèi)切圓半徑為r0，則有y1y2，y1y2，r0，所以SAF2BSAF1F2SBF1F2|F1F2|y1y2|F1F2|而SAF2B|AB|r0|BF2|r0|AF2|r0r0(|AB|BF2|AF2|)r0(|AF1|BF1|BF2|AF2|)r04a8，所以，解得t2

8、1，因?yàn)樗髨A與直線l相切，所以半徑r，所以所求圓的方程為(x1)2y22技法四借“曲線系”，理清規(guī)律利用曲線系解題，往往簡(jiǎn)捷明快，事半功倍，所以靈活運(yùn)用曲線是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一典例已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程是yx，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y224x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A1 B1C1 D1解析由雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程是yx，可設(shè)雙曲線的方程為x2(0)因?yàn)殡p曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y224x的準(zhǔn)線上，所以F(6,0)是雙曲線的左焦點(diǎn)，即336，9，所以雙曲線的方程為1答案B方法點(diǎn)撥本題利用共漸近線系雙曲線方程，可使問(wèn)題馬上得到

9、解決避免了復(fù)雜的判斷、可能的分類討論、繁雜的解方程組，事半功倍對(duì)點(diǎn)演練圓心在直線xy40上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2y26x40和x2y26y280的交點(diǎn)的圓的方程為()Ax2y2x7y320Bx2y2x7y160Cx2y24x4y90 Dx2y24x4y80解析：選A設(shè)經(jīng)過(guò)兩圓的交點(diǎn)的圓的方程為x2y26x4(x2y26y28)0，即x2y2xy0，其圓心坐標(biāo)為，又圓心在直線xy40上，所以40，解得7，故所求圓的方程為x2y2x7y320技法五巧引參數(shù)，方便運(yùn)算換元引參是一種重要的數(shù)學(xué)方法，特別是解析幾何中的最值問(wèn)題、不等式問(wèn)題等，利用換元引參使一些關(guān)系能夠相互聯(lián)系起來(lái)，激活了解題的方法，往往能化難

10、為易，達(dá)到事半功倍常見的參數(shù)可以選擇點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、直線的傾斜角等在換元過(guò)程中，還要注意代換的等價(jià)性，防止擴(kuò)大或縮小原來(lái)變量的取值范圍或改變?cè)}條件典例設(shè)橢圓1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|AP|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|解法一：依題意，直線OP的方程為ykx，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)由條件，得消去y0并整理，得x由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k224又ab0，故(1k2)24k24，即k214，因此k23，

11、所以|k|法二：依題意，直線OP的方程為ykx，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，kx0)由點(diǎn)P在橢圓上，得1因?yàn)閍b0，kx00，所以1，即(1k2)xa2由|AP|OA|及A(a,0)，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00，于是x0，代入，得(1k2)a2，解得k23，所以|k|法三：設(shè)P(acos ，bsin )(02)，則線段OP的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為|AP|OA|AQOPkAQk1又A(a,0)，所以kAQ，即bsin akAQcos 2akAQ從而可得|2akAQ|a，解得|kAQ|故|k|方法點(diǎn)撥求解本題利用橢圓的參數(shù)方程，可快速建立各點(diǎn)之間的聯(lián)系，降低運(yùn)算量對(duì)點(diǎn)演練(2016長(zhǎng)春市質(zhì)量檢測(cè))橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1PF2面積的最大值為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A1，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，連接A1A，A1B并延長(zhǎng)分別交直線x4于R，Q兩點(diǎn)，問(wèn)是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)已知橢圓的離心率為，不妨設(shè)ct，a2t，則bt，其中t0，