變量分離方程與變量變換PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 變量分離方程與變量變換變量分離方程與變量變換 本節(jié)要求本節(jié)要求/Requirements/ 1 熟練掌握變量分離方程，齊次方程的求解方法。 2 熟練掌握運(yùn)用變量變換將方程化為熟知類型求解 的思想方法，求更廣泛類型方程的解。 變量分離方程 與變量變換 特點(diǎn) 變量分離方程解法 舉例 齊次方程 可化為變量分離的類型 可化為齊次方程的類型 內(nèi)容提要內(nèi)容提要/Main Contents/ 第1頁/共22頁 1 變量分離方程變量分離方程/Variables Separated ODE/Variables Separated ODE/ ( ) ( ) (2.1) dy f xy dx )(),(y

2、xf分別是 x 與 y 的已知連續(xù)函數(shù)。其中 特特 點(diǎn)點(diǎn) ),(yxf dx dy 中的 f ( x, y )可表示成 )()(),(yxfyxf 一般的一階方程 y x dx dy 例例 kRR 第2頁/共22頁 解法步驟解法步驟 /Solving Steps/Solving Steps/ 如果0)(y (1)(1) 分離變量 dxxf y dy )( )( (2)(2) 兩邊積分 dxxf y dy )( )( (2.2) 用G(y)，F(xiàn)(x)分別表示)( )( 1 xf y 及 的某一個原函數(shù) (3)(3) 方程（2.1）的通解為G(y)=F(x)+C 第3頁/共22頁 因?yàn)閷?y 視為

3、 x 的函數(shù)，對G(y)=F(x)+C 兩端關(guān)于x求導(dǎo)， )( )( 1 xf dx dy y )()(yxf dx dy 所以，（2.2）為方程(2.1)的通解。 如果存在 i y 直接驗(yàn)證得: ，使得kiyi, 2 , 1 , 0)( i yy 為方程(2.1)的常數(shù)解。 分離變量方程（2.1）的解為 kiyy CxFyG i , 2 , 1 , )()( 第4頁/共22頁 解解 1 分離變量 xdxydy 2 兩邊 積分 xdxydy 222 22 cxy 3 y x dx dy 例例1 1 求解方程 0 1 )( y y cyx 22 （c 為任意正常數(shù)） 或者 2 xcy 求通解 第

4、5頁/共22頁 解解0y 時 (1) 分離變量xdx y dy cos 2 通解中，因而方程還有解 y = 0 cxdx y dy cos 2 cx y sin 1 （3） 求解方程 xy dx dy cos 2 并求出滿足初始條件：當(dāng) x = 0時 y = 1的特解。 例例2 2 cx y sin 1 （c為任意常數(shù)） 為方程的通解。 注意注意 y = 0 時，也是方程的解，而其并不包含在 (2) 兩邊積分 第6頁/共22頁 求特解 將初始條件 y (0)=1代入通解中，得c = -1 則滿足所給條件的特解為: 1sin 1 x y 所以，原方程的解為 0 sin 1 y cx y 第7頁/

5、共22頁 (1) (1) 齊次方程齊次方程/Homogeneous /Homogeneous Equation/Equation/ (2) (2) 可化為齊次方程的方程類型可化為齊次方程的方程類型 /Classifications of Homogenous/Classifications of Homogenous/ 2 2 可化為變量分離方程的類型可化為變量分離方程的類型 /Classifications of Variable Separated Equation/Classifications of Variable Separated Equation/ 第8頁/共22頁 (1) (

6、1) 齊次方程齊次方程/Homogeneous Equation/Homogeneous Equation/ 形式形式： )( x y g dx dy g (u)為 u 的連續(xù)函數(shù) 一般方程的右端函數(shù) f (x,y) 是x，y 的零次齊次式。 即 )(),( x y gyxf 0 0 kyxf x y gk kx ky gkgkxf),()()(),( 或 f (x,y) 可表示成以 為整體變量的函數(shù)。 x y 特點(diǎn)特點(diǎn)： 第9頁/共22頁 解法解法 (1) 作變量變換 u x y 即 y=ux （2）對兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo) u dx du x dx dy （3）將上式代入原方程，得 )(ugu

7、 dx du x 整理 )( 1 uug xdx du .(2.3) 變量可分離方程 （4）求解方程(2.3),若其解為:0),( ),(cxucxu或 (5) 原方程的通解為: 0),(),(cx x y cxxy或 第10頁/共22頁 u dx du x dx dy uuu dx du xtan x u dx dutan .(2. 4) x dx u du tan dx xu ud1 sin sin cxu lnsinln c ( 為任意常數(shù)) 例例3 3 求解方程 x y x y dx dy tan 解解 令uxy x y u或, 第11頁/共22頁 cxu lnsinln c ( 為任

8、意常數(shù)) xeu c sin xeu c sin 令 c ec 得: Sinu = cx （c 為非零任意數(shù)） 另當(dāng) tanu = 0 時，u = 0即 u = 0 也是方程(2.4)的解 故 （2.4）的通解為 sinu= cx（c 為任意常數(shù)） 代回原來的變量，原方程的通解為: cx x y sin x u dx dutan 第12頁/共22頁 (2)(2) 可化為齊次方程的類型可化為齊次方程的類型 /Classifications of Homogenous/Classifications of Homogenous/ 形式： 222 111 cybxa cybxa dx dy (2.5

9、) 2 , 1,icba iii 均為常數(shù)，且 21,c c不同時為零. 1.若 0 22 11 ba ba 即 2 1 2 1 b b a a 設(shè) k b b a a 2 1 2 1 2121 ,kbbkaa 則原方程可化為: )( )( 22 222 122 ybxaf cybxa cybxak dx dy 第13頁/共22頁 令 ybxau 22 dx dy ba dx du 22 )( 22 ufba dx du （變量分離方程，即可求解 ） 2.若0 21 21 bb aa 則 0 0 222 111 cybxa cybxa .(2.6 ) 有唯一的解:),( 令 yY xX )(

10、)( 22 222 122 ybxaf cybxa cybxak dx dy Yy Xx 或 第14頁/共22頁 則方程 (2.5) 化為： dX dY 為齊次方程, 即可求解。)( 22 11 X Y g YbXa YbXa dX dY dx dy 222 111 )()( )()( cYbXa cYbXa )( )( 22222 11111 cbaYbXa cbaYbXa 第15頁/共22頁 (1) 解代數(shù)方程組 0 0 222 111 cybxa cybxa .(2.6) 其解為:yx, (2) 作變換 YyXx, 將方程(2.5)化為齊次方程 YbXa YbXa dX dY 22 11

11、 (3) 再作變換 X Y U 將其化為變量分離方程 特別地，當(dāng) 時，方程(2.5)的求解方法 0 21 21 bb aa (4) 求解上述變量分離方程，最后代回原變量即可得原 方程的解。 第16頁/共22頁 類似的方法，可求解更廣泛的方程 P.26 )( 222 111 cybxa cybxa f dx dy 例例4 4 求解方程 3 1 yx yx dx dy .(2.17) 解解 解方程 組 03 01 yx yx 得 x = 1, y = 2 令 2 1 Yy Xx YX YX dX dY .(2.18) 第17頁/共22頁 再令 uXY X Y u即 YX YX dX dY .(2.

12、18) 即(2.18)可化為: du uu u X dX 2 21 1 兩邊積分，得:cuuX 12lnln 22 因此 c euuX 22 ) 12( u dX du X dX dY u u u dX du X 1 1 u uuu u u u dX du X 1 )1 (1 1 1 )21 ( )21 (2 1 2 2 uud uu 記 1 ce c 并代回原變量，得: 1 22 ) 12(cuuX 第18頁/共22頁 并代回原變量，得: 1 22 2cXXYY 1 22 ) 1()2)(1(2)2(cxyxy 此外，容易驗(yàn)證: 012 2 uu 即02 22 XXYY 也是方程(2.18)的解。 cxyxxyy262 22 其中 c 為任意常數(shù)。 因此原方程(2.17)的通解為: 第19頁/共22頁 變量分離方程 與變量變換 可化為齊次方程的類型 齊次方程 可化為變量分離的類型 舉例 解法 特點(diǎn) 變量分離方程 本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)/Conclusion/Conclusion/ 通解的形式及其中任意常數(shù)的意義。注意注意/Note/Note/： 第20頁/共22頁 )( 2 2 xyf dx dy x )( 4 2 x y xf dx dy 課堂練習(xí)課堂練習(xí)/Exercise/Exercise/ yxp dx dy )( 1 yx e dx dy