一元函數(shù)與二元函數(shù)求極限方法異同

1、一元函數(shù)與二元函數(shù)求極限方法異同一元函數(shù)與二元函數(shù)求極限方法異同 指導(dǎo)教師：王繼紅指導(dǎo)教師：王繼紅 姓姓 名：名：玉素甫江玉素甫江吾買爾吾買爾 專專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué) 學(xué)學(xué) 號(hào)：號(hào)：20080102102008010210 一、 引言 作為研究函數(shù)最基本的方法極限思想， 早在古代就有比較清楚的描述，我國(guó)魏晉時(shí)期 杰出的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年創(chuàng)立了“割圓 術(shù)”，正是使用了極限思想。 近年來(lái)許多專家學(xué)者對(duì)函數(shù)極限的計(jì)算方法作 了研究，并取得了一定的突破。眾所周知常見 的求極限的方法包含無(wú)窮小量、重要極限公式、 洛必達(dá)法則等，但實(shí)際在求極限時(shí)并不是依靠 單一方法，而是把多種方法

2、加以綜合運(yùn)用。 本文主要討論了一元函數(shù)與二元函數(shù)求極限的 各種方法，并對(duì)二者的異同做了比較。 二、預(yù)備知識(shí) 1、一元函數(shù)極限的相關(guān)知識(shí)、一元函數(shù)極限的相關(guān)知識(shí) 1洛必達(dá)(L Hopital)法則是分子分母在一定 條件下通過分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定 式值的方法。 2Stolz定理: 數(shù)列收斂于,則其前項(xiàng)的算術(shù)平 均數(shù)收斂，并且也收斂于。若數(shù)列的每一 項(xiàng)都是正的，則還有其前項(xiàng)的幾何平均數(shù) 也也收斂于。 3積分法：積分法是通過磁異常的積分運(yùn)算 求得磁性體產(chǎn)狀的定量解釋推斷方法 2.二二元函數(shù)極限的元函數(shù)極限的相關(guān)知識(shí)相關(guān)知識(shí) 1 二元函數(shù)極限的二元函數(shù)極限的定義定義:0，0，使當(dāng) 0 0 xx時(shí)，

3、恒有 Axf)(，或 0，0，當(dāng)),( 0 0 xUx，恒有),()(AUxf 2 海涅定理：海涅(Heine-Borel)定理 （有限覆蓋定理）：設(shè) 是 中有界閉區(qū)間，則 的任何開覆蓋存在有限子覆蓋。 3 極坐標(biāo)變換極坐標(biāo)變換:對(duì)于平面內(nèi)任何一點(diǎn)M， 用 表示線段OM的長(zhǎng)度，表示從Ox到OM的角度， 叫做點(diǎn)M的極徑，叫做點(diǎn)M的極角，有序 數(shù)對(duì)),(就叫點(diǎn)M的極坐標(biāo)， 這樣建立的坐標(biāo) 系叫做極坐標(biāo)系。 三、一元與二元函數(shù)求極限方法之三、一元與二元函數(shù)求極限方法之 異同異同 1.一元函數(shù)極限的若干求法一元函數(shù)極限的若干求法 求一元函數(shù)極限的方法一般選擇洛必塔 法則，也可以選擇Stolz定理、積分

4、法或其 他方法。 洛必洛必達(dá)達(dá)法則法則 例： 求極限 2 ) 1 1 ( lim xx x x e 解：令 2 ) 2 1 1 ( xx ey ，取對(duì)數(shù)x x xy) 1 1ln(ln 2 用洛必塔法則 1 ln(1)1 1 lim lnlimln(1)1lim 1 xxx x x yx x x x 令 2 0 1 ln(1) 1ln(1)1 limlim 2 tt tt tt t t xtt 1 2 2 1 l i m(1) x x ee x 2 . 求 二 元 函 數(shù) 極 限 的 一 些 方 法求 二 元 函 數(shù) 極 限 的 一 些 方 法 求二元函數(shù)極限的方法一般選擇極坐標(biāo)變 換，也可以

5、選擇洛必達(dá)法則,二元函數(shù)極限的 定義、海因定理。 利用極坐標(biāo)變換利用極坐標(biāo)變換 例：求 yx yxyx y x 22 0 0 lim 解： 設(shè)kxy 則 yx yxyx y x 22 0 0 lim k k kxx xkxkxx x 1 1 222 0 lim ， 極限與k有關(guān)?；蛟O(shè) sin cos y x （為變量，為 參數(shù)） yx yxyx y x 22 0 0 lim )sin(cos )sin(cos 2 0 lim sincos sincos 與有關(guān) 原式不存在極限 四、總結(jié) 本文主要討論了一元函數(shù)與二元函數(shù)求 極限常用的幾種方法，發(fā)現(xiàn)在二者之間有 些方法在一定條件下，二者都適用，譬如， 洛比塔法則。洛必塔法則是求一元函數(shù)極 限的主要方法，要把該法則在多元函數(shù)中 推廣，是需要一些技巧輔助方法的； 二元函數(shù)極限的求法要比一元函數(shù)極限求 法復(fù)雜得多，極坐標(biāo)變換法是求二元函數(shù) 極限的主要方法之一，雖然利用定義法求 二重極限使計(jì)算過程較復(fù)雜化，但它也是