遞推數(shù)列與函數(shù)、方程及不等式綜合的有關問題

1、遞推數(shù)列與函數(shù)、方程及不等式綜合的有關問題福建省永定縣第一中學 簡紹煌有關數(shù)列問題,遞推數(shù)列常常是高考命題的熱點之一.遞推數(shù)列常常與函數(shù)、方程及不等式等相結(jié)合，構(gòu)成綜合性題目，為提高分析問題、解決問題的能力，有必要對其做一番探討.1 遞推數(shù)列與方程之間的關系由方程給出的關系，求這類遞推數(shù)列的通項公式一般是用公式法,即利用等而構(gòu)造方程組解之.例1設數(shù)列滿足解析將代入題設，得（這是關于的遞推式，所以只能先求出，再求），故有， 從而，不滿足此式，故例2設是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為,并且對于所有的正整數(shù)與1的等比中項,求數(shù)列的通項公式.解析解法一.依題意,有解法二.解法三.由已知可求得，猜想再用數(shù)

2、學歸納法證明之.2 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題例已知函數(shù)（） 求函數(shù)的反函數(shù)及其定義域；（） 數(shù)列滿足：，數(shù)列的前n項和為，試比較當?shù)拇笮?，并證明您的結(jié)論解析（），即，或，故，其定義域為（），即又，故對式兩邊取對數(shù)，得，是以首項為，公比為的等比數(shù)列，于是有，故（次式不易求和）而當，（故可用放縮法證明之）故當例已知函數(shù)的最大值不大于，又當時（） 求的值；（） 設，證明解析（）由于的最大值不大于，又函數(shù)對稱軸方程為，所以又當時，所以解得由和得（）證法一（）當成立；（因函數(shù)，故此結(jié)論不能用于遞推，所以還需驗證時的情形）故當時不等式也成立（）假設時，不等式成立，知為單調(diào)遞增函數(shù)，由得于是有所以當時，

3、不等式也成立根據(jù)（）和（）可知，對任何，不等式成立證法二（）當不等式成立；（）假設時，不等式成立，即那么當時，（這里考慮應用均值不等式）于是因此當時，不等式也成立根據(jù)（）和（）可知，對任何，不等式成立證法三（）當成立；（）假設時，不等式成立，即（由于函數(shù)對稱軸方程為，所以在證明遞推式時放縮的關鍵在于以為分界）那么當時，若，則，若，則由式、知，當時，不等式也成立根據(jù)（）和（）可知，對任何，不等式成立例自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響用表示某魚群在第n年年初的總量，且x10不考慮其它因素，設在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與成

4、正比，死亡量與成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c（）求與的關系式；（）猜測：當且僅當x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）（）設a2，c1，為保證對任意x1（0，2），都有，則捕撈強度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論解析（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為，被捕撈量為，死亡量為因此即 （II）若每年年初魚群總量保持不變，則恒等于x1，nN*，從而由（）式得 因為x10，所以 猜測：當且僅當，且時，每年年初魚群的總量保持不變（）若b的值使得，由， 知特別地，有 即而，所以 由此猜測b的最大允許值是1（由特殊推廣到一般） 下證 當x1(0, 2) ，b=1時，都有 當n=1時，結(jié)論顯然成立 假設當n=k時結(jié)論成立，即則當n=k+1時，又，故當n=k+1時結(jié)論也成立由、可知，對于任意的nN*，都有綜上所述，為保證對任意，都有，則捕撈強度b的最大允許值是1以上就是遞推數(shù)列與函數(shù)、方程及不等式綜合應用