正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)匯編

1、 函數(shù)函數(shù)y=sinxy=cosx 圖形圖形 定義域定義域 值域值域 最值最值 周期周期 奇偶性奇偶性 單調(diào)性單調(diào)性 對(duì)稱性對(duì)稱性 2 5 2 2 3 2 0 x y 2 1 - -1 xRxR 1,1y 1,1y 2 2 xk 時(shí)，時(shí)，1 max y 2 2 xk 時(shí)，時(shí)，1 min y 2xk時(shí)，時(shí)，1 max y 2xk時(shí)，時(shí)，1 min y 2 5 2 2 3 2 0 x y 1 - -1 2 2 奇函數(shù)奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù) 1、_，則，則f（x）在這個(gè)區(qū)間上是）在這個(gè)區(qū)間上是增增函數(shù)函數(shù). )()( 21 xfxf 復(fù)習(xí)回顧：復(fù)習(xí)回顧： 函數(shù)函數(shù)( ),yf x若在指定區(qū)間任取若在指

2、定區(qū)間任取 ， 12 x x、且且 ，都有：，都有： 21 xx 函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的走向。函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的走向。 觀察正余弦函數(shù)的圖象，探究其單調(diào)性觀察正余弦函數(shù)的圖象，探究其單調(diào)性 2、_，則，則f（x）在這個(gè)區(qū)間上是）在這個(gè)區(qū)間上是減減函數(shù)函數(shù). )()( 21 xfxf 增函數(shù)：上升增函數(shù)：上升減函數(shù)：下降減函數(shù)：下降 一、探究：正弦函數(shù)的單調(diào)性一、探究：正弦函數(shù)的單調(diào)性 2 5 2 3 22 2 3 , 2 5 ，、，、 當(dāng)當(dāng) 在區(qū)間在區(qū)間 上時(shí)， 上時(shí)，x 曲線逐漸上升，曲線逐漸上升，sin的值由的值由 增大到增大到 。11 753357 , ,

3、 22222222 、，、 ，、當(dāng)當(dāng) 在區(qū)間在區(qū)間x 上時(shí)，曲線逐漸下降，上時(shí)，曲線逐漸下降， sin的值由的值由 減小到減小到 。11 x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 一、探究：正弦函數(shù)的單調(diào)性一、探究：正弦函數(shù)的單調(diào)性 x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 正弦函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間正弦函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間)(2 2 ,2 2 Zkkk 都是增函數(shù)，其值從都是增函數(shù)，其值從1增大到增大到1； 而在每個(gè)閉區(qū)間而在每個(gè)閉區(qū)間 3 2,2() 22 kkkZ 上都是上都是 減函數(shù)，其值從減函數(shù)，其值從1減小到減小到1。 3 , 2

4、0 2 3 ,4 、 ，、 ， 當(dāng)當(dāng) 在區(qū)間在區(qū)間x上時(shí)，上時(shí)， 曲線逐漸上升，曲線逐漸上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。11 曲線逐漸下降，曲線逐漸下降， sin的值由的值由 減小到減小到 。11 2 , 0 23 、，、 ， 當(dāng)當(dāng) 在區(qū)間在區(qū)間x 上時(shí)，上時(shí)， x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 一、探究：余弦函數(shù)的單調(diào)性一、探究：余弦函數(shù)的單調(diào)性 x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 由余弦函數(shù)的周期性知：由余弦函數(shù)的周期性知： 其值從其值從1減小到減小到1。 而在每個(gè)閉區(qū)間而在每個(gè)閉區(qū)間 上都是減函數(shù)，上都是

5、減函數(shù)，2,2kk 其值從其值從1增大到增大到1 ； 在每個(gè)閉區(qū)間在每個(gè)閉區(qū)間2,2kk都是都是增函數(shù)增函數(shù)， 一、探究：余弦函數(shù)的單調(diào)性一、探究：余弦函數(shù)的單調(diào)性 例例3 3 比較下列各組數(shù)的大小比較下列各組數(shù)的大小: : (1)sin()sin(); 1810 與 2317 (2)cos()cos(). 5 與 學(xué)以致用學(xué)以致用 例例4.求函數(shù)的單調(diào)求函數(shù)的單調(diào)增增區(qū)間區(qū)間 解： 1 23 sinyx sinyz 22 22 zkk 1 22 2223 xkk 5 44 33 kxk 4,4 33 , 5 kkkZ 求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間 5 33 4,4kk 1 2 sin

6、, 2 ,2 3 xyx 1,k 2 2 1711 , 33 0,k 5 , 33 1,k 711 , 33 1 4sin() 2 ,2 23 yxx 例 ：求函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間。 1 :,sin 23 xyz 解令z=函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是2,2. 22 kk 1 2x2, 2232 kk 由 5 4x4,k. 33 kkZ 得 A 2 ,2 , 設(shè) 5 A,. 33 B 易知 15 sin() 2 ,2 2333 yxx 則函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間是-, 。 5 |4x4,k. 33 BxkkZ 求函數(shù)的單調(diào)求函數(shù)的單調(diào)增增區(qū)間區(qū)間 1 sin 23 yx 求函數(shù)的單調(diào)求函數(shù)的單調(diào)增增區(qū)間區(qū)間

7、 1 sin 23 yx sin()sin 1 sin 23 yx sinyz sinyz cos()cos 1 sin() 2 ,2 32 yxx 你能求函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間嗎？ 1 ,sin 23 xyz 令z=函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 3 2,2. 22 kk 13 2x2, 2232 kk 由 511 4x4,k. 33 kkZ 得 A 2 ,2 , 設(shè) 5 A 2 ,2 33 B 易知 1 sin() 2 ,2 332 5 3 yxx 則函數(shù)，的增-2 ,- ,單調(diào)遞區(qū)間2是。 511 |4x4,k. 33 BxkkZ 11 : y=sin()sin(), 3223 xx 另解 ;)2

8、6 sin()1 (的單調(diào)遞增區(qū)間求函數(shù)xy 的單調(diào)遞減區(qū)間。求函數(shù))2 3 cos()2(xy 練習(xí)練習(xí) 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1P P 正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)的圖象 53113 , 22222 x 對(duì)稱軸：對(duì)稱軸： , 2 xkkZ (,0),(0,0),( ,0),(2 ,0) 對(duì)稱中心：對(duì)稱中心： (,0)kkZ 二、探究正弦、余弦函數(shù)的對(duì)稱性二、探究正弦、余弦函數(shù)的對(duì)稱性 余弦函數(shù)的圖象余弦函數(shù)的圖象 , 0, 2x 對(duì)稱軸：對(duì)稱軸： ,xkkZ 35 (,0),(,0),(,0),(,0)

9、2222 對(duì)稱中心：對(duì)稱中心： (,0) 2 kkZ P P x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 二、探究正弦、余弦函數(shù)的對(duì)稱性二、探究正弦、余弦函數(shù)的對(duì)稱性 x 6 y o- -1 2345-2-3-4 1 x 6 o- -1 2345-2-3-4 1 y )(sinRxxy )(cosRxxy y=sinx的圖象對(duì)稱軸為：的圖象對(duì)稱軸為： y=sinx的圖象對(duì)稱中心為：的圖象對(duì)稱中心為： y=cosx的圖象對(duì)稱軸為：的圖象對(duì)稱軸為： y=cosx的圖象對(duì)稱中心為：的圖象對(duì)稱中心為： ；，Zkkx 2 .)0 (Zkk， ；，Zkkx .)0 2 (Zkk

10、， 任意兩相鄰對(duì)稱軸任意兩相鄰對(duì)稱軸( (或?qū)ΨQ中心或?qū)ΨQ中心) )的間距為半個(gè)周期；的間距為半個(gè)周期； 二、探究正弦、余弦函數(shù)的對(duì)稱性二、探究正弦、余弦函數(shù)的對(duì)稱性 例題例題 求求 函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心 sin(2) 3 yx 2 3 zx 解解（1）令）令 則則 sin(2)sin 3 yxz sinyz 的對(duì)稱軸為的對(duì)稱軸為, 2 zkkZ 2 32 xk 解得：解得：對(duì)稱軸為對(duì)稱軸為, 122 xkkZ (2)sinyz 的對(duì)稱中心為的對(duì)稱中心為(,0) ,kkZ 2 3 xk 對(duì)稱中心為對(duì)稱中心為 62 xk zk (,0) ,Z 62 kk 練習(xí)練習(xí) 求求

11、函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心 1 cos() 24 yx C 4 5 842 ) 4 5 2sin(1 xDxCxBxA xy 、 的一條對(duì)稱軸是、 （ ） 3 想一想：想一想： 的一個(gè)對(duì)稱中心是函數(shù)) 2 5 2(siny. 2 x ），（0 8 .A ），（0 4 .B ），（0 8 3 .D ），（0 3 -.C （ ） B 0, 6 思考：思考： ）寫出其單調(diào)區(qū)間。（ ）求其周期；（ 判斷其奇偶性； ）求其值域；（ ）求其定義域；（ 已知函數(shù) 5 4 ) 3( 2 1 .sinlog)( 2 1 xxf 函數(shù)函數(shù)y=sinxy=cosx 圖形圖形 定義域定義域 值域值域 最值最值 單調(diào)性單調(diào)性 奇偶性奇偶性 周期周期 對(duì)稱性對(duì)稱性 2 5 2 2 3 2 0 x y 2 1 - -1 xRxR 1,1y 1,1y 2 2 xk 時(shí)，時(shí)，1 max y 2 2 xk 時(shí)，時(shí)，1 min y 2xk時(shí)，時(shí)，1 max y 2xk時(shí)，時(shí)，1 min y -2,2