數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 一、一、 1 . 解解 2463)( 2 xxxf ，令令0)( x f )2)(4(3 xx 32 ( )32420f xxxx求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 12 4,2xx得臨界點 區(qū)間區(qū)間(-，-4)-4(-4，2)2(2，+) f (x)00 f(x) f(x)在在(-，-4)、 (2，)內(nèi)單調(diào)遞增，內(nèi)單調(diào)遞增， 你記住 了嗎？ 有沒搞錯，有沒搞錯， 怎么這里沒有填上？怎么這里沒有填上？ 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)求臨界點求臨界點列表列表寫出單調(diào)寫出單調(diào) 性性 + + - f (x)0 (x+4)(x-2)0 x2 f(x)在在(-4，2)內(nèi)單調(diào)

2、遞減。內(nèi)單調(diào)遞減。 f (x)0 (x+4)(x-2)0 -4x0 得得f(x)的單調(diào)的單調(diào) 遞增遞增區(qū)間區(qū)間; 解不等式解不等式 f/（x）0 右側(cè)右側(cè) f/(x)0 , 那么那么f(x0)是極大值是極大值; (2):如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) f(x)0 , 那么那么f(x0)是極小值是極小值. 2、求方程、求方程f/(x)=0的所有實數(shù)根的所有實數(shù)根 1、求導(dǎo)數(shù)、求導(dǎo)數(shù)f(x) 第9頁/共22頁 四、例題選講四、例題選講 : : 例例1:求求y=x3/3-4x+4的極值的極值. 解解: ).2)(2(4 2 xxxy 令令 ,解得解得x1=-2,x2=2. 0 y 當(dāng)當(dāng)x變化時

3、變化時, ,y的變化情況如下表的變化情況如下表: y x(-,-2) -2(-2,2) 2 (2,+) y + 0 - 0 + y 極大值極大值28/3 極小值極小值-4/3 因此因此,當(dāng)當(dāng)x=-2時有極大值時有極大值,并且并且,y極大值 極大值=28/3; 而而,當(dāng)當(dāng)x=2時有極小值時有極小值,并且并且,y極小值 極小值=- 4/3. 第10頁/共22頁 總結(jié)：總結(jié)： 1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在x0及其附近有定義及其附近有定義,如果如果f(x0)的值比的值比x0 附近所有各點的函數(shù)值都大 附近所有各點的函數(shù)值都大,我們說我們說f(x0)是函數(shù)是函數(shù) y=f(x) 的一個極大值的一個極大

4、值;如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各點的函附近所有各點的函 數(shù)值都小數(shù)值都小,我們說我們說f(x0)是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的一個極小值的一個極小值.極極 大值與極小值統(tǒng)稱極值大值與極小值統(tǒng)稱極值.2.當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在在x0處連續(xù)時處連續(xù)時,判別判別f(x0)是極大是極大(小小)值的方值的方 法是法是: (1):如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) 那么那么, f(x0)是極大值是極大值; , 0)(, 0)( xfxf (2):如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) 那么那么, f(x0)是極小值是極小值. , 0)(, 0)( xfxf 3.理解函數(shù)極值

5、的定義時應(yīng)注意以下幾點理解函數(shù)極值的定義時應(yīng)注意以下幾點: 第11頁/共22頁 (1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念函數(shù)的極值是一個局部性的概念,極值點是區(qū)間內(nèi)極值點是區(qū)間內(nèi) 部的點而不會是端點部的點而不會是端點. (2)若若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值在某區(qū)間內(nèi)有極值,那么那么f(x)在某區(qū)間內(nèi)一在某區(qū)間內(nèi)一 定定 不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.(3)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系,即極大值不即極大值不 一定比極小值大一定比極小值大,極小值不一定比極大值小極小值不一定比極大值小. (4)函數(shù)函數(shù)f(x)在某區(qū)間

6、內(nèi)有極值在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點的分布是它的極值點的分布是 有規(guī)律的有規(guī)律的,相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值 點點,同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點 . 一般地一般地,當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值 點時點時,函數(shù)函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點與極小值點在該區(qū)間內(nèi)的極大值點與極小值點 是交替出現(xiàn)的是交替出現(xiàn)的. (5)導(dǎo)數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件導(dǎo)數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件,而不而不 是是 充分條件充分條件. 第12頁/共22頁 (6)極值只能在

7、函數(shù)不可導(dǎo)的點或?qū)?shù)為零的點取到極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點或?qū)?shù)為零的點取到. 4.確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手,理解可導(dǎo)函數(shù)理解可導(dǎo)函數(shù) 在在 其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系,掌握掌握 利利 用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的基本方法用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的基本方法. 第13頁/共22頁 x(-,-a) -a(-a,0) (0,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(x) 極大值極大值-2a 極小值極小值2a 故當(dāng)故當(dāng)x=-a時時,f(x)有極大值有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)當(dāng)x=a時時,f(x)有極有極 小值小值

8、f(a)=2a. 例例2:求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值. )0()( 2 a x a xxf 解解:函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為),0()0 ,( . )( 1)( 22 2 x axax x a xf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)( x f 當(dāng)當(dāng)x變化時變化時, ,f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表:)(x f 第14頁/共22頁 練習(xí)練習(xí)1:求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值. 2 1 6 x x y 解解: . )1 ( )1 ( 6 22 2 x x y 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1. y 當(dāng)當(dāng)x變化時變化時, ,y的變化情況如下表的變化情況如下表 : y

9、 x(-,-1) -1(-1,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 極大值極大值-3 極小值極小值3 因此因此,當(dāng)當(dāng)x=-1時有極大值時有極大值,并且并且,y極大值 極大值=3; 而而,當(dāng)當(dāng)x=1時有極小值時有極小值,并且并且,y極小值 極小值=- 3. 第15頁/共22頁 例例3:已知已知f(x)=ax5-bx3+c在在x= 1處有極值處有極值,且極大值為且極大值為 4,極小值為極小值為0.試確定試確定a,b,c的值的值. 解解 : ).35(35)( 2224 baxxbxaxxf 由題意由題意, 應(yīng)有根應(yīng)有根 ,故故5a=3b,于是于是:10)( xxf ).1(5)( 22

10、 xaxxf (1)設(shè)設(shè)a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 + f(x) 極小值極小值 極大極大 值值 )(x f )1,( ), 1( 由表可得由表可得 ,即即 . 0 4 ) 1 (0 ) 1(4 cba cba f f 第16頁/共22頁 又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2. (2)設(shè)設(shè)a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 極小值極小值 極大值極大值 )1,( ), 1( )(x f 由表可得由表可得 ,即即 . 0 4 ) 1(0 ) 1 (4 cba cba f f 又又5a=3b,解得解得a=-

11、3,b=- 5,c=2. 第17頁/共22頁 練習(xí)練習(xí)1:已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1處有極值為處有極值為 10,求求a、b的值的值. 解解: =3x2+2ax+b=0有一個根有一個根x=1,故故3+2a+b=0. )(x f 又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10. 由由、解得、解得 或或. 3 3 11 4 b a b a 當(dāng)當(dāng)a=-3,b=3時時, ,此時此時f(x)在在x=1處處 無無 極值極值,不合題意不合題意. 0) 1( 3)( 2 xxf 當(dāng)當(dāng)a=4,b=-11時時, ).1)(113 (1183)( 2 xxxxxf -3/11x1時時

12、, ,此時此時x=1是極是極 值點值點. 0)(0)( xfxf 從而所求的解為從而所求的解為a=4,b=-11. 第18頁/共22頁 例例1:已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)滿足條件滿足條件:當(dāng)當(dāng)x2時時, ;當(dāng)當(dāng) x2,由條件由條件可知可知 ,即即:2 x 0)( 2 x f ; 02)()( 2 xxfxg 當(dāng)當(dāng) 時時,x20, 0)( x f 故故 有不相等的兩實根有不相等的兩實根、, ,設(shè)設(shè).0)( x f 又設(shè)又設(shè)g(x)=-ax2-2bx+a, 由于由于-a0,g(x)的圖象開口的圖象開口 向下向下,g(x)的值在的值在的右正左負的右正左負,在在的左正右負的左正右負. 注意到注意到 與與g(x)的符號相同的符號相同,可知可知為極小值點為極小值點, 為極大值點為極大值點. )(x f 第20頁/共22頁 (2)由由f()=-1和和f()=1可得可得:. 1 1