第一節(jié)隨機事件的運算及關(guān)系

1、第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率 第一節(jié)第一節(jié) 隨機事件及其運算隨機事件及其運算 一、隨機事件一、隨機事件 在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的隨機現(xiàn)象為隨機事件。在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的隨機現(xiàn)象為隨機事件。 ABC用， ， ，.表示。 必然發(fā)生的現(xiàn)象稱必然事件。必然發(fā)生的現(xiàn)象稱必然事件。用表示 不可能發(fā)生的現(xiàn)象稱不可能事件。不可能發(fā)生的現(xiàn)象稱不可能事件。用表示。 定義：若實驗滿足下列三個條件，則稱為隨機實驗定義：若實驗滿足下列三個條件，則稱為隨機實驗。 1、在相同條件下，可以重復、在相同條件下，可以重復 2、實驗的所有可能結(jié)果是明確的、實驗的所有可能結(jié)果是明確的 3、每

2、次實驗的結(jié)果是不可預見的。、每次實驗的結(jié)果是不可預見的。 定義：實驗的每一個可能結(jié)果（不可分割）定義：實驗的每一個可能結(jié)果（不可分割） 稱為基本事件（樣本點）稱為基本事件（樣本點）。 實驗的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合稱樣本空間。實驗的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合稱樣本空間。 樣本空間用表示，樣本點用表示。 12 1.1 例任擲一枚均勻硬幣， 令“正面向上”“正面向下” i 1.2 i= 例一戰(zhàn)士連續(xù)向以目標射擊，直到打中為止， 令射擊次數(shù)， 12 則 =， U1 2 3 .則 ， 1.3 例測量某電子元件的壽命， 1.40 1例在，上任取一數(shù)， U = x| 0 x U1x|0 x 值得注意的是：值得注

3、意的是： 1、樣本空間的元素可以是數(shù)。也可以不是數(shù)。、樣本空間的元素可以是數(shù)。也可以不是數(shù)。 2、樣本空間中的元素至少有兩個。、樣本空間中的元素至少有兩個。 3、樣本空間的類型劃分有多種：有限和無限；離散和連續(xù)、樣本空間的類型劃分有多種：有限和無限；離散和連續(xù) 等等 0129 1.5 1 2 .9 0 U. 例在 ， ，這十個數(shù)中任取一數(shù)， =，0,1,2,.9 在此試驗中，我們可以列出很多不可預見的現(xiàn)象：如在此試驗中，我們可以列出很多不可預見的現(xiàn)象：如 AB C3D3 F8G26 令取出偶數(shù)” ，“取出奇數(shù)” “取出大于 的數(shù)”，“取出 的倍數(shù)” “取出小于 的數(shù)”“大于 小于 的數(shù)” MN

4、 “取出正數(shù)” =“取出負數(shù)” 由上面的例子可看出：由上面的例子可看出： 樣本空間的子集稱為隨機事件，用樣本空間的子集稱為隨機事件，用 A，B，C，表示表示 值得注意的是：值得注意的是： 1、任何一個事件、任何一個事件A都是相應(yīng)樣本空間的一個子集，都是相應(yīng)樣本空間的一個子集， 2、 事件事件A中的任何一個樣本點發(fā)生了，我們都說事件中的任何一個樣本點發(fā)生了，我們都說事件A發(fā)生。發(fā)生。 3、樣本空間中的單個樣本點組成的事件為基本事件，、樣本空間中的單個樣本點組成的事件為基本事件， 多個樣本點組成的事件為復合事件。多個樣本點組成的事件為復合事件。 4、稱最大的子集（樣本空間本身）為必然事件，、稱最大

5、的子集（樣本空間本身）為必然事件， 稱最小的子集（空集）為不可能事件。稱最小的子集（空集）為不可能事件。 5、 事件可以用子集表示，也可以用準確無誤的語言來表示。事件可以用子集表示，也可以用準確無誤的語言來表示。 也可以用數(shù)集來表示也可以用數(shù)集來表示 擲骰子擲骰子 1.6 X 例任投一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù) 是一個隨機變量 。 1 2 3 4 5 6 ， 定義：用來表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機變量，定義：用來表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機變量， 用大寫字母用大寫字母 X，Y，Z表示表示 1 11,213141516 212 22 32 42 52 6 313 2333 43536 U 41 )

6、4 24 34 44 54 6 515 2535 4555 6 616 26 36 46 56 6 （ ， ）（）（, ）（, ）（, ） （, ） （ ,）（ , ）（ , ）（ , ）（ , ）（ , ） （ ,）（ , ）（ , ）（ , ）（ , ）（ , ） （ ,（ , ）（ , ）（ , ）（ , ）（ , ） （ ,）（ , ）（ , ）（ , ）（ , ） （ , ） （ ,）（ , ）（ , ）（ , ）（ , ）（ , ） 1.6例任擲兩枚骰子，寫出樣本空間。 ij ij U| i, j1,2,3,4,5,6 ij. ， “第一枚出現(xiàn)數(shù)字 ，第二枚出現(xiàn)數(shù)字 更具體的描述為

7、：更具體的描述為： 二、隨機事件的關(guān)系及運算二、隨機事件的關(guān)系及運算 它和集合的關(guān)系及運算是完全相互類比的，它和集合的關(guān)系及運算是完全相互類比的， 擺在我們面前的問題是如何把集合論的語擺在我們面前的問題是如何把集合論的語 言準確的換成概率論的語言。言準確的換成概率論的語言。 下面我們用集合的關(guān)系與運算類比的講述事件的下面我們用集合的關(guān)系與運算類比的講述事件的 四種關(guān)系四種關(guān)系 和和 三種運算三種運算 集合集合A A包含于集包含于集 合合B B：若對若對 A, A, 總有總有B B， 則稱則稱集合集合A A包含包含 于集合于集合B B，記成，記成 A B。 事件事件A A包含于事件包含于事件 B

8、:B:若事件若事件A A發(fā)生必發(fā)生必 有事件有事件B B發(fā)生，則發(fā)生，則 稱事件稱事件A A包含于事包含于事 件件B,B,記成記成A B。 若若A B,且且B A，則稱事件，則稱事件A與與B相等相等，記成，記成A=B。 1、事件、事件A包含于事件包含于事件B:若事件若事件A發(fā)生必有事件發(fā)生必有事件B發(fā)生，發(fā)生， 2、A與與B相等相等 集合集合A與與B的并或和：的并或和： 若若 C, 當且僅當當且僅當 A A或或B,B,則稱集合則稱集合 C C為集合為集合A A與與B B的并或和的并或和, , 記成記成AB 或或 A+B。 事件事件A與與B的并的并 或和：或和：若事件若事件 C發(fā)生，當且發(fā)生，當

9、且 僅當事件僅當事件A A或或B B 發(fā)生，則稱事發(fā)生，則稱事 件件C C為事件為事件A A與與 B的并或和，的并或和， 記成記成AB 或或 A+B。 3、事件的和、事件的和 A 和和B 至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生 AB 無窮多個事件無窮多個事件A A1 1,A,A2 2, ,的和的和 n n個事件個事件A A1 1,A,A2 2, ,A,An n的和的和 C C發(fā)生就是發(fā)生就是A A1 1,A,A2 2, ,，A An n中中 至少一個事件發(fā)生。至少一個事件發(fā)生。 C C發(fā)生就是發(fā)生就是A A1 1,A,A2 2中至中至 少一個發(fā)生。少一個發(fā)生。 n i i AC 1 1i i AC 集合

10、集合A與集合與集合B的交或的交或 積：積：若若 C，當且僅，當且僅 當當 A且且B, 則稱則稱 集合集合C為集合為集合A與與B的的 交或積交或積, 記成記成A AB B或或ABAB。 事件事件A與與B的積或交：的積或交： 若事件若事件C C發(fā)生，當且僅發(fā)生，當且僅 當事件當事件A A與與B B同時發(fā)生，同時發(fā)生， 則稱事件則稱事件C C為事件為事件A與與B 的積或交的積或交, 記成記成 A AB B或或 ABAB。 4、事件的積、事件的積 事件事件A與與B同時發(fā)生同時發(fā)生 AB 無窮多個事件無窮多個事件A A1 1,A,A2 2, ,的積的積 n n個事件個事件A A1 1,A,A2 2, ,

11、A,An n的積的積 n i i 1 CA i i 1 CA 有限個事件同時發(fā)生 無窮多個事件同時發(fā)生 集合集合A與集合與集合B的差：的差： 若若 C當且僅當當且僅當 A 且且B ，則稱集合C為 集合A與與B B的差，記成的差，記成 A A- B B。 事件事件A與與B的差：的差： 若事件若事件C C發(fā)生當且發(fā)生當且 僅當僅當事件事件A A發(fā)生發(fā)生且且 事件事件B B不發(fā)生不發(fā)生, ,則則 稱事件稱事件C C為事件為事件A A 與與B B的差的差, ,記成記成 A A-B B。 5、 事 件 的 差 AB發(fā)生 不發(fā)生 AB=A-AB 6、A與與B互斥互斥 事件事件A與與B不能同時發(fā)生。不能同時

12、發(fā)生。 (或互不相容事件或互不相容事件), AB= AA 7AB、 和 對立 AB ABAB 和 當且僅當之一發(fā)生 = = 請同學思考互斥和對立 的區(qū)別與聯(lián)系？ u交換律交換律: : A AB=BA AB=BAB=BA AB=BA u結(jié)合律結(jié)合律: A(BC)=: A(BC)=(A(AB)CB)C A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C u分配律分配律: A(BC)=: A(BC)=A ABAC BAC A(BC)= A(BC)=(A(AB)(AC)B)(AC) u對偶律對偶律: : 三、事件的運算法則三、事件的運算法則 ( (與集合運算法則相同與集合運算法則相同) ) BAABBAB

13、A AABABABAABAB 還有常用 不是A,B中至少 有一個發(fā)生 A,B都不發(fā)生 對于多個隨機事件對于多個隨機事件, ,上述運算規(guī)則也成立上述運算規(guī)則也成立 A(AA(A1 1AA2 2AAn n) ) =(AA =(AA1 1)(AA)(AA2 2)(AA)(AAn n) ) nn nn AAAAAA AAAAAA 2121 2121 為了鍛煉我們的概率語言，對對偶律（為了鍛煉我們的概率語言，對對偶律（1）作出證明）作出證明 A+BA B證明： A+BA+B發(fā)生不發(fā)生AB和 都不發(fā)生 AB和 都發(fā)生 A B 發(fā)生 A B反過來發(fā)生AB和 都發(fā)生 AB和 都不發(fā)生 A+B不發(fā)生AB 發(fā)生 A+BA B故： A+BA B A BAB 四、用事件表示事件四、用事件表示事件 1.7ABC例用 ， ， 表示下列事件 ABC發(fā)生 ，