雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程(公開(kāi)課)

1、音樂(lè)音樂(lè) 問(wèn)題問(wèn)題1 1：橢圓的定義是什么？橢圓的定義是什么？ 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、 、F2的距離的 的距離的和和等于常數(shù)（等于常數(shù)（大大 于于|F1F2| ）的點(diǎn)的軌跡叫做）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓橢圓。 問(wèn)題問(wèn)題2 2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的? ? ) 0( 1 ) 0( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ba b x a y ba b y a x ? ， ， 關(guān)系如何？關(guān)系如何？abc 222 cba 問(wèn)題問(wèn)題3 3：如果把橢圓定義中如果把橢圓定義中“距離的距離的和和”改為改為“距距 離的離的差差”那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生怎樣的變化？那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生怎

2、樣的變化？ 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1， ，F(xiàn)2的距離的 的距離的差的絕差的絕 對(duì)值對(duì)值等于常數(shù)（等于常數(shù)（大于大于0且且小于小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌）的點(diǎn)的軌 跡叫做跡叫做雙曲線(xiàn)雙曲線(xiàn)。 這兩個(gè)定點(diǎn)這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線(xiàn)的叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)焦點(diǎn)，兩，兩 焦點(diǎn)間的距離焦點(diǎn)間的距離|F1F2|叫做雙曲線(xiàn)的叫做雙曲線(xiàn)的焦距焦距。 通常情況下，我們把通常情況下，我們把|F1F2|記為記為2c2c（c0)c0)； 常數(shù)常數(shù)記為記為2a2a(a0)(a0). 問(wèn)題問(wèn)題3:3:定義中為什么強(qiáng)調(diào)定義中為什么強(qiáng)調(diào)距離差的絕對(duì)值距離差的絕對(duì)值為常數(shù)？為常數(shù)？ 一、雙曲線(xiàn)的定義 看圖分析動(dòng)點(diǎn)看圖

3、分析動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足的條件：滿(mǎn)足的條件： 若若2a=2c,則軌跡是什么？則軌跡是什么？ 若若2a2c,則軌跡是什么？則軌跡是什么？ 若若2a=0,則軌跡是什么？則軌跡是什么？ 此時(shí)軌跡為以此時(shí)軌跡為以F F1 1或或F F2 2為端點(diǎn)的為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)兩條射線(xiàn) 此時(shí)此時(shí)軌跡不存在軌跡不存在 此時(shí)軌跡為線(xiàn)段此時(shí)軌跡為線(xiàn)段F F1 1F F2 2的垂直平分線(xiàn)的垂直平分線(xiàn) F1F2 F1F2 分分3種情況來(lái)看：種情況來(lái)看： 問(wèn)題問(wèn)題4: 定義中為什么強(qiáng)調(diào)常數(shù)定義中為什么強(qiáng)調(diào)常數(shù)2a要大于要大于0且且小于小于|F1F2| （02a0)，那么，那么 焦點(diǎn)焦點(diǎn)F1( -c,0) ,F2(c,0) 又設(shè)又設(shè)|MF

4、1|與與|MF2| 的差的絕對(duì)值等于常數(shù)的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a。 列式列式 aMFMF2 21 即即 aycxycx2 2 2 2 2 aycxycx2 2 2 2 2 將上述方程化為： aycxycx2 2 2 2 2 移項(xiàng)兩邊平方后整理得： 2 2 2 ycxaacx 兩邊再平方后整理得： 22222222 acayaxac 由雙曲線(xiàn)定義知： ac22 即：ac 0 22 ac 設(shè) 0 222 bbac代入上式整理得： 1 22 2 2 2 ac y a x 兩邊同時(shí)除以 得： 222 aca )0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 這個(gè)方程叫做雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)

5、方程 ，它所表示的雙曲線(xiàn)的焦 點(diǎn)在x軸軸上，焦點(diǎn)是 F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0). 其中c2=a2+b2. MUSIC 類(lèi)比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)思考焦點(diǎn)在類(lèi)比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)思考焦點(diǎn)在y軸軸 上的上的雙曲線(xiàn)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ 1 F 2 F x y O )0,0(1 2 2 2 2 ba b x a y 其中其中c2=a2+b2. 這個(gè)方程叫做雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程這個(gè)方程叫做雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 ，它所表示的，它所表示的 雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸軸上，焦點(diǎn)是上，焦點(diǎn)是 F1(0，-c)，F(xiàn)2(0， c). )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y )0

6、, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 三三. .雙曲線(xiàn)兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的特征比較雙曲線(xiàn)兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的特征比較 方程左邊用方程左邊用“”號(hào)連接。號(hào)連接。 分母是分母是 ； 大小不定；大小不定；a在前符號(hào)為在前符號(hào)為“+”， b在后符號(hào)為在后符號(hào)為“”。(a “+” b“”) ? 22 ,ba ba, 222 bac 如果如果 的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在 軸上；如果軸上；如果 的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在 軸上。軸上。(焦點(diǎn)在系數(shù)為正的焦點(diǎn)在系數(shù)為正的 軸上軸上) 2 x x 2 y y O M F2 F1 x y F 2 2 F 1 1 M x O y

7、 判斷下列方程是否表示雙曲線(xiàn)？若是，求出判斷下列方程是否表示雙曲線(xiàn)？若是，求出 及焦點(diǎn)坐標(biāo)。及焦點(diǎn)坐標(biāo)。 cba, )0, 0( 141 24 3 1 22 21 24 1 2222 2222 nm n y m xyx yxyx 答案：答案： )0 ,6).(0 ,6(6,2, 21cba )0 , 2).(0 , 2(2,2,22cba )6, 0).(6, 0(6, 2,23cba )0 ,).(0 ,(,4nmnmnmcnbma 題后反思：題后反思： 先化成標(biāo)準(zhǔn)方先化成標(biāo)準(zhǔn)方 程，再判斷焦程，再判斷焦 點(diǎn)所在的坐標(biāo)點(diǎn)所在的坐標(biāo) 軸。軸。 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 解：因?yàn)殡p曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在因?yàn)殡p曲線(xiàn)

8、的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 )0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 因此，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為因此，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .1 916 22 yx 題后反思： 求標(biāo)準(zhǔn)方程要做到求標(biāo)準(zhǔn)方程要做到 先定型，后定量。先定型，后定量。 兩條射線(xiàn)兩條射線(xiàn) 軌跡不存在軌跡不存在 例例1、已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)、已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn) F1(-5,0), F2(5,0)，雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)P到焦到焦 點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于8，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。 1.若若|PF1|-|PF2|=8呢？呢？ 2.若若|PF1|-|PF2|=1

9、0呢？呢？ 3.若若|PF1|-|PF2|=12呢？呢？ )0.(1 916 22 x yx 所以所以2c=10，2a=8。即。即a=4，c=5 那么那么b2=c2-a2=25-16=9 根據(jù)已知條件，根據(jù)已知條件，|F1F2|=10. |PF1|-|PF2|=8， 求適合下列條件的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。求適合下列條件的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。 焦點(diǎn)在軸焦點(diǎn)在軸 上，上， ； 焦點(diǎn)在軸焦點(diǎn)在軸 上，經(jīng)過(guò)上，經(jīng)過(guò) 點(diǎn)點(diǎn) x x 3,4ba )2, 3 15 (),3,2( 答案答案: 1 916 22 yx )0, 0(1 2 2 2 2 ba b y a x 設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 代

10、入點(diǎn)代入點(diǎn) 得得)2, 3 15 (),3,2( 1 2 3 5 1 32 22 22 ba ba 令令 22 1 , 1 b n a m則則 12 3 5 132 nm nm 解得解得 3 1 1 n m 故所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為故所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .1 3 2 2 y x 使使A、B兩點(diǎn)在兩點(diǎn)在x軸上，并軸上，并 且點(diǎn)且點(diǎn)O與線(xiàn)段與線(xiàn)段AB的中點(diǎn)重合的中點(diǎn)重合 解解: : 由聲速及在由聲速及在A A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B B地晚地晚2 2s, ,可知可知A A地與爆炸點(diǎn)地與爆炸點(diǎn) 的距離比的距離比B B地與爆炸點(diǎn)的距離遠(yuǎn)地與爆炸點(diǎn)的距離遠(yuǎn)680680m. .因?yàn)橐?/p>

11、為|AB|680|AB|680m, ,所以所以爆炸點(diǎn)爆炸點(diǎn) 的軌跡是以的軌跡是以A A、B B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)在靠近為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)在靠近B B處的一支上處的一支上. . 例例2 2已知已知A,BA,B兩地相距兩地相距800800m, ,在在A A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B B地地 晚晚2 2s, ,且聲速為且聲速為340340m/ /s, ,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程. . 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xO Oy, , 設(shè)爆炸點(diǎn)設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (x, ,y) )， 則則340 2680PAPB 即即 2a=680，a=34080

12、0AB 8006800 ,0PAPBx 1(0) 11560044400 xy x 2222 2800,400,cc x y o P BA 因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為 44400bca 2 22 22 2 雙曲線(xiàn)的定義雙曲線(xiàn)的定義 雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 應(yīng)用應(yīng)用 40頁(yè)練習(xí)頁(yè)練習(xí)1、2； 43頁(yè)習(xí)題頁(yè)習(xí)題2.3 A組組1、2、3題。題。 當(dāng)當(dāng) 2a=| | MF1|MF2| |=0時(shí)，時(shí)， 軌跡是線(xiàn)段軌跡是線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)的垂直平分線(xiàn). . (1) 定義中強(qiáng)調(diào)在平面內(nèi)定義中強(qiáng)調(diào)在平面內(nèi),否則軌跡不是雙曲線(xiàn)。否則軌跡不是雙曲線(xiàn)。 幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：

13、 O F1F2 M 通常通常|F1F2|記為記為2c2c;距離的差的絕對(duì)值距離的差的絕對(duì)值記為記為2a2a. | | MF1|MF2| | =|F1F2 | 時(shí)時(shí),M點(diǎn)一定在上圖中的點(diǎn)一定在上圖中的 F2F1P Q 當(dāng)當(dāng)2a=|F|F1 1F F2 2| |時(shí)時(shí) （2）定義中為什么）定義中為什么 02a|F|F1 1F F2 2| |？ 射線(xiàn)射線(xiàn)F1P,F2Q 上上,此時(shí)點(diǎn)的軌跡為兩條射線(xiàn)此時(shí)點(diǎn)的軌跡為兩條射線(xiàn)F1P,F2Q。 （1）先把非標(biāo)準(zhǔn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸。）先把非標(biāo)準(zhǔn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸。 （2） 是否表示雙曲線(xiàn)？是否表示雙曲線(xiàn)？ )0( 1 22 mn n y m x 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線(xiàn)；軸上的雙曲線(xiàn)；x 0 0 n m 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線(xiàn)。軸上的雙曲線(xiàn)。 y 0 0 n m 表示雙曲線(xiàn)，求表示雙曲線(xiàn)，求 的范圍。的范圍。m1 12 22 m y m x 答案：答案： 。21mm或 定定 義義 方方 程程 焦焦 點(diǎn)點(diǎn) a.b.c的關(guān)的關(guān) 系系 F（c，0）F（c，0） a0