選擇題本題共8小題,每小題4分,滿分32分,每小題

1、、選擇題(本題共 8小題，每小題4分，滿分32分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))4321設(shè)Xo是多項(xiàng)式P(x) =x ax bx cx d的最小實(shí)根，則()(A)P(Xo)EO( B)P (xo) : 0( C)P(xo)_O( D)P(xo) 0解 選擇A.由于lim P(x)又怡是多項(xiàng)式P(x)的最小實(shí)根，故 P(x0)空0.xo2.設(shè) lim f mJ* =1 貝網(wǎng)數(shù) f (x)在點(diǎn) x = a().x)a*x _a(A )取極大值(B)取極小值(C)可導(dǎo)(D)不可導(dǎo)解 選擇D.由極限的保號(hào)性知，存在 U(a)，當(dāng)U(a)時(shí)，f(x)一 f

2、(a).0，當(dāng)x ： aJx-a時(shí)，f(x)：f(a)，當(dāng) x a 時(shí)，f(x) .f(a)，故 f (x)在點(diǎn) x = a不取極值.Hm f(x) - f=佃“夕二1，所以f(x)在點(diǎn)x = a不可導(dǎo).x iax-a xa Jx-a 3(x-a)23.設(shè) f(x, y)連續(xù)，且滿足 f (x,-y) = f (x, y)，則 i i f(x, y)dxdy 二()x4y21*1 _x2(A) 2.0dx. f(x,y)dy1M A2(C) 2.0dx._y2 f(x,y)dy解選擇B.由題設(shè)知11-y2(B) 2.0dy . _心 f(x, y)dx1 甲T(D) 2 0dy.0 f(x,

3、y)dxf(x,y)dxdy=2x2 y2 Jx2 -y2 l,y_01f(x, y)dxdy =2 0dy1_y2-1今2f (x, y)dx4.微分方程y：2y: = xe2x的特解y*形式為()(A) y* 二(ax b)e2x*2x(B) y = axe*2 2x(C) y = ax e*22x(D) y = (ax bx)e*2xy =x(ax b)e5.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是()X 2X 2(A)0f(t2)dt(B)0f2(t)dtXX(C)0tf(t) f(-t)dt( D)tf(t)- f(-t)dtX解 選擇C.由于tf(t) f(-t)為奇函數(shù)，

4、故 otf(t)f(-t)dt為偶函數(shù)6.設(shè)在全平面上有f (X, y) ：o， f (X, y) .0，則保證不等式f (x1 , y1： f (x2 , y2)成立的條件是()(A) X1 X2， y1 : y2.(B)X1：X2， % ： y2.(C) X1X2， y1y2.(D)X1 ：X2， y1 y2.解 選擇a. f (x,y) ：，0= f (x, y)關(guān)于x單調(diào)減少, .x;f(x,y)f(x,y)關(guān)于y單調(diào)增加, y當(dāng) X1 X2，y1 : y2 時(shí)，f(X1,yJ ： f (X2,yJ ：彳化小).7設(shè)A和B為實(shí)對(duì)稱矩陣，且 A與B相似，則下列結(jié)論中不正確的是().(A)

5、 A -%E與B相似 (B) A與B合同(C) A-入E|= B-kE(D) A-&E=B7E解 選擇D. A與B相似可以推出它們的多項(xiàng)式相似，它們的特征多項(xiàng)式相等，故A，C正確，又A和B為實(shí)對(duì)稱矩陣，且 A與B相似，可以推出 A與B合同，故B正確.8. A = Am n， R(A)二r, b為m維列向量，則有().(A) 當(dāng)r =m時(shí)，方程組 Ax =b有解(B) 當(dāng)r =門(mén)時(shí)，方程組 Ax =b有唯一解(C) 當(dāng)m = n時(shí)，方程組 Ax二b有唯一解(D) 當(dāng)r : n時(shí)，方程組 Ax二b有無(wú)窮多解解選擇A.當(dāng)r = m時(shí)，r A,b = r(A)，方程組Ax = b有解.二、填空題(本題

6、共6小題，每小題4分，滿分24分，把答案填在題中橫線上)1(1+x)x-e9. limx 0解答案為_(kāi)e.21(1 X) eIimlimj0x1 1 ln(1 -x)ln (1 -x)_jex -eex -1elimxx刃1 1 jln(x)-1|n( 1+x)-x1 + x 一1=elim = elim 2 elim 1_xx)0 xxx 2xe2hu10設(shè)f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，u = f (x,xy, xyz)，則czdy解 答案為 xf3 - x2 yf32- x2yzf33 .-二 xyf3:z-2:u:z y22=xf3xy(f32 X f33 xz) = xf3x yf32x yzf

7、33y xx11.設(shè)微分方程y()的通解為y，U(x) =x yln Cxx將lnCx代入微分方程，得 (ln Cx)21ln2Cx12.數(shù)列 Cnl 中最大的項(xiàng)為.解答案為爲(wèi).【將數(shù)列的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問(wèn)題，以便利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題】1 1 1x lnx ln x 1 ln x設(shè) f (x) x xx = ex , f (x) = ex 20 = x = e,xx：e時(shí)，f(x)0, f (x)單調(diào)增加，故n：e時(shí)，f(n)：n遞增，.2最大,x e時(shí)，f(x)：0, f (x)單調(diào)減少，故 n e時(shí)，f(n)= 遞減，-3最大,又?jǐn)?shù)列d的最大項(xiàng)為33.x dt13方程5x-2-8=在區(qū)間(0,

8、1)內(nèi)的實(shí)根個(gè)數(shù)為1 +t8x dt1 dt解 答案為 1.令 f(x) =5x-28 , f (0) = -2 ： 0, f(1) = 38 0 ,0 1 t80 1 t81由零點(diǎn)定理知，此方程在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，又f(X)= 58 . 0 , f (x)單1 +x調(diào)增加，故此方程在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.14設(shè)n階矩陣A的秩為n - 2，:1-2-3是非齊次線性方程組 Ax二b的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則Ax = b的通解為.解 答案為飛(2 -k2(3-)，k1,k2為任意常數(shù)，:匕，是非齊次線性方程組 Ax二b的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則2-1,3-l1-1 D22Xy2:

9、L2cos日 2)dxdy =2 04d 2 r2dr=-即)(f ( )-f( )g( ) =0,于是有 f ( )-f( )g( )=0,與題設(shè)矛盾,(8cos3 v-2、2)d)-込！ 一!_3 09318. (本題滿分11分)求微分方程y_a(y )2 =0 (a 0)滿足初始條件yx=e=0, 丫乂 = 一1的特解 解 令y丄p,廠=些，代入原方程，得dx-apO，生 二adx， 卑=adx， - = ax C1，dxppp由 = 0, y = 0, y = p - -1，得 G = 1，1ax 1，即 y 二ax 11ax 1故在 （a,b） 內(nèi)至多存在一點(diǎn)，使得f代）=0.20.

10、 （本題滿分11分）設(shè)有拋物線丨：y二a-bx2，試確定常數(shù)a,b的值，使得 與直線x 1相切；與x軸所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大 解設(shè)切點(diǎn)為（X）, y0），討=-2bx，11切線斜率 k = -2bxo = 1 = Xo, yo = a - 2b4b1 11代入切線方程，得a-丄 -1 =丄=4(1-a).4b2bb又旋轉(zhuǎn)體體積V二 a*dy= a ydy= Sidy 仔(a2-a3)，b0 bV =2二(2a _3aj =0，解得2a 0或者a 3V，2二（2_6a），V (0)二 4- 0,V (?) = -4- ：0，故 a=-時(shí)，體積 V 最大,33將a二2代入得b =

11、，所以a=，b =-.343421. （本題滿分11分）一質(zhì)量為m的物體以速度V。從原點(diǎn)沿y軸正方向上升，假設(shè)空氣阻力與物體的運(yùn)動(dòng)速度平 方成正比（比例系數(shù) k:0 ），試求物體上升的高度所滿足的微分方程及初始條件，并求物 體上升的最大高度.解 根據(jù)牛頓第二定律，物體上升的高度y = y（t）所滿足的微分方程為d2ydt2初始條件為y(0) =0,y(0) =v0.七代入方程，得dv2m mg -kv，dtdvkv2記 a2 =g,b2dV 2.22a - b v ， dtdva2 b2v丄 arctan 也， aba積分得 丄arctan匹=說(shuō) C， t = 0時(shí)，v=v0，故C aba丄

12、arctanSt 丄 arctan 如， abaaba令v = 0 ,得上升到最高點(diǎn)的時(shí)間為1 = 1 arctan bvabaarctan bva=ab(ti -1),avtan ab(h t)上升的最大高度為atan0 btlab(t -t)dt = j ln cosab(ti -1) 0 2b1訓(xùn)(1.2 2.學(xué)).ab22. (本題滿分11分)5TTTT cT當(dāng)a, b滿足什么條件時(shí),設(shè)：i 二 1,2,3,1 , _：遼二 1,1,2,-1 3 二 1,3, a,3 ，二4 二 3,5,7, -1 ，:二 0,1,1,b .:可由1,2, 3, 4線性表示，且表示式唯一?當(dāng)a,b滿足

13、什么條件時(shí)，一：可由1,2,3,為線性表示，且表示式不唯一？并求出 一：的表示式.解 設(shè) 一可 *2一，2 X3-：i3 * X4J4 -，其增廣矩陣11130111130、2135101-11-132a7100a -4-10-13-1b100-2b 2當(dāng)a = 4時(shí)，r1/ 2/ 3/ 4, : rG 1/ 2/ 3 4 4,方程組有唯一解，即 ：可由/-2/-3, ：-4線性表示，且表示式唯一n1130、當(dāng) a=4時(shí)，（口1,223,口4, B）01-11-1000-100000b_2j故當(dāng)a =4,b =2時(shí)，rG+L, J，方程組有無(wú)窮多解，即可由12,34線性表示，且表示式不唯一,（：1,：2,：3,：4, ：）2 0 1為=1 2x3-1 0 -1X2 = T + X3，同解方程組為0 1 0區(qū)=X30 0 0k =0Z1 010通解為(1, -1,0,0) Tk(-2,1,1,0)T ， 故的表示式為1 =（1-2k）：（k-1）2 * k3，其中k為任意常數(shù)23. （本題滿分11分）設(shè)A,P為n階矩