(word完整版)數(shù)列題型及解題方法歸納總結推薦文檔.doc

1、文德教育知識框架求和公式及性質(zhì)， 掌握了典型題型的解法和數(shù)學思想法的應用，就有可數(shù)列的分類能在高考中順利地解決數(shù)列問題。數(shù)列函數(shù)角度理解一、典型題的技巧解法數(shù)列的通項公式1、求通項公式的概念數(shù)列的遞推關系（ 1）觀察法。（2）由遞推公式求通項。等差數(shù)列的定義anand ( n2)1對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等等差數(shù)列的通項公式ana1 ( n1)d差數(shù)列或等比數(shù)列問題。等差數(shù)列Snn( a1an )na1n(n1)d(1) 遞推式為 an+1=an+d 及 an+1=qan（d， q 為常數(shù)）等差數(shù)列的求和公式22例 1、 已知 a 滿足 a =a +2

2、，而且 a =1。求 a 。nn+1n1n等差數(shù)列的性質(zhì)an am a p aq ( mn pq)例 1、解an+1-a n =2 為常數(shù) a n 是首項為1，公差為 2 的等差數(shù)列兩個基annnq( n2) a =1+2（ n-1 ）即 a =2n-1等比數(shù)列的定義1本數(shù)列an1例 2、已知 滿足，求 an1anan 1an，而a1 2？等比數(shù)列的通項公式ana1 qn =2等比數(shù)列a1an qa1 (1qn )1)數(shù)列Sn1q1( q等比數(shù)列的求和公式qna1 ( q1)等比數(shù)列的性質(zhì)an amap aq ( mnpq)公式法分組求和錯位相減求和數(shù)列裂項求和求和倒序相加求和累加累積歸納猜想

3、證明分期付款數(shù)列的應用其他（ 2） 遞推式為 an+1=an+f （n）例 3、已知 an 中 a1a1，求 an .， an 112n4n21解： 由已知可知 an 1an(2n11 (11)1)( 2n 1)22n1 2n1令 n=1， 2， ，（ n-1 ），代入得（ n-1 ）個等式累加，即（a2-a 1） +（ a3-a 2） +（ a -an-1）n掌握了數(shù)列的基本知識， 特別是等差、等比數(shù)列的定義、 通項公式、1文德教育anbn3( 1 ) n2( 1) nana11 (11)4n32n2322n14n2 說明只要和f （ 1） +f （ 2） + +f （ n-1 ）是可求的，

4、就可以由an+1=an+f （ n）以 n=1，2， ，（ n-1 ）代入，可得n-1 個等式累加而求an。(3) 遞推式為 an+1=pan+q（ p， q 為常數(shù)）例 4、 an 中， a11 ，對于 n 1（ n N）有 an3an 12 ，求 an .解法一： 由已知遞推式得 an+1=3an+2，an=3an-1 +2。兩式相減： an+1-a n=3（ an-a n-1 ）因此數(shù)列 an+1n3 的等比數(shù)列，其首項為21(5)遞推式為 an 2pan 1qan-a 是公比為a -a =（ 3 1+2）-1=4a-a=4 3n-1 3an-1即 an-1-1 a =3a +2n+2-

5、a =43n=23n+1nn+1nn思路：設 an 2pan 1qan , 可以變形為： an 2an 1(an 1an ) ，解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比為 3 的等比數(shù)列， 于是有： a2-a 1=4，a3-a 2=43，a4-a 3 =4 32， ， an-a n-1 =4 3n-2 ，把n-1個等式累加得： an=2 3n-1-1想于是 a n+1- an 是公比為的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。(4) 遞推式為 an+1=p a n+q n （ p， q 為常數(shù)）求an 。bn 1bn2 (bn bn 1 )由 上 題 的 解 法 ， 得 ： bn3 2( 2) n3

6、32文德教育數(shù)列求和的常用方法：(6) 遞推式為 Sn 與 an 的關系式關系；（ 2）試用 n 表示 an。Sn 1Sn(an an 1 ) (11)2 n 22n11 anan1an 1112 n 1an 12 an2n2n+1 得 2n+1an+1=2nan+2 則 2 nan 是公差為上式兩邊同乘以2 的等差數(shù)列。 2nan= 2+ （ n-1 ）2=2n1、拆項分組法 ：即把每一項拆成幾項，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。2、錯項相減法 ：適用于差比數(shù)列（如果an 等差， bn 等比，那么 anbn叫做差比數(shù)列）即把每一項都乘以 bn的公比 q ，向后錯一項，再對應同次項相減，

7、轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項相消法 ：即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余有限幾項，可求和。適用于數(shù)列1和1（其中an 等差）an 1ananan1可裂項為：11 ( 11 ) ，an an 1d anan 111( an 1an )anan 1d等差數(shù)列前 n 項和的最值問題 ：3文德教育1、若等差數(shù)列an的首項 a1 0 ，公差 d0，則前 n 項和 Sn 有最大值。（）若已知通項an0；an ，則 Sn 最大0an 1（）若已知Snpn2qn ，則當 n 取最靠近q的非零自然數(shù)時Sn 最2 p大；2、若等差數(shù)列an的首項 a1 0 ，公差 d0 ，則前 n 項和 Sn 有最小值（

8、）若已知通項an0；an ，則 Sn 最小0an 1（）若已知Snpn2qn ，則當 n 取最靠近q的非零自然數(shù)時Sn 最2 p?。籥n (anan 1 ) (an 1 an 2 ) L (a2 a1 )a1 (n2) 。已知 an 1f (n) 求 an ，用累乘法 ： ananan 1La2 a1 (n 2) 。anan 1an 2a1已知遞推關系求an ，用構造法 （構造等差、等比數(shù)列）。特別地 ，（1）形如 an kan 1 b 、 ankan 1 bn （ k ,b 為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k 的等比數(shù)列 后，再求 an ；形如 an kan 1 k n 的遞

9、推數(shù)列都可以除以k n 得到一個等差數(shù)列后，再求an 。（ 2）形如 anan1的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。kan 1b（ 3）形如 an1ank 的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項。數(shù)列通項的求法：公式法 ：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。 已 知Sn （ 即aaL anf (n)） 求 an，用作差法：12anS1 ,( n1)。SnSn 1,( n2)f (1),( n1)已知 12nf (n)求 an，用作商法：anf (n)。a gagL gaf (n,( n2)1)已知條件中既有Sn 還有 an ，有時先求 Sn ，再求 an ；有時也可直接求an 。若an 1anf (n)求

10、an用累加法：（ 7）（理科） 數(shù)學歸納法 。（ 8）當遇到 an 1an 1 d或 an1q 時，分奇數(shù)項偶數(shù)項討論，結果可an1能是分段形式 。數(shù)列求和的常用方法：（ 1）公式法 ：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。（ 2）分組求和法 ：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式” 中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和。（ 3）倒序相加法 ：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是4文德教育等差數(shù)列前 n 和公式的推導方法）.（ 4）錯位相減法 ：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相

11、乘構成， 那么常選用錯位相減法 （這也是等比數(shù)列前 n 和公式的推導方法） .（ 5）裂項相消法 ：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和. 常用裂項形式有：11)11 ； 11(1n1) ；n( nn n1n(nk )knk11111)，k 2k 21(k1k2111111k11 ；k k 1 ( k 1)kk2( k 1)k1 kn( n12)1 11)(n12) ；n1)!11；1)(n2n(n1)(n( nn!(n1)! 2(n1n )2122(nn1)nn1nnn1二、解題方法：求數(shù)列通項公式的常用方法：1、公式法2、 Sn ann 1

12、a1S1 n2anSnSn 13、求差（商）法a n1 a11a21an 2n 5122 22n解： n 11 a121a11425n 21a11a21an 12n 1 522n 122121n an22an2 n 1an14( n1)2n 1( n2)練習anSnSn 15 an 1 a14an3a n1 Sn 1 SnSn 14SnS1 4SnSn4nn 2a nSnSn 13 4 n 14 、疊乘法anaan 1nan13n 1an解： a2 a3an1 2n 1ana1a2an 12 3na13a13ann5 、等差型遞推公式21n5由 anan1f (n) ， a1a0 ，求 an

13、，用迭加法n2時， a2a1f (2)a3a2f (3)兩邊相加，得：anan 1f (n)ana1f (2)f (3)f (n) ana0f ( 2)f (3)f ( n)練習數(shù)列 an， a1， ann 1an1n2，求 an13（ an13n1 ）26、等比型遞推公式ancan 1dc、 d為常數(shù)， c0， c1， d0可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設anxc an 1xa nca n1c1 x令 (c 1) xd， xdc1 and是首項為 a1d， c為公比的等比數(shù)列c1c1文德教育 ancda1d c n 11c1 ana1cdc n 1cd11練習數(shù)列 an滿足 a19， 3an 1 an4

14、，求 an4n 1（an1）837 、倒數(shù)法例如： a， an12an，求an11a n2由已知得：1an211an 12an2an 111an1an21為等差數(shù)列， 1，公差為 1ana11211 n 1 11n 1an226文德教育2 a nn12數(shù)列求和問題的方法（ 1）、應用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n 項和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。（ 2）、分解轉(zhuǎn)化法對通項進行分解、組合, 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和?！纠?9】求和 S=1（n2-1 ） + 2 （ n2-2 2） +3（ n2-3 2） +n（ n2-n 2）解 S=n 2（ 1+2+3

15、+ +n） - （ 13+23+33+ +n3 ）1 35 (2n-1)=n2（ 3）、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，然后求和。【例 8】 求數(shù)列 1，（ 3+5），（ 7+9+10），（ 13+15+17+19）， 前 n 項的和。解本題實際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n 項中，共有 1+2+n= 1 n(n1)2個奇數(shù)，最后一個奇數(shù)為：1+ 1 n(n+1)-12=n2+n-12因此所求數(shù)列的前n 項的和為例 10、求和： Sn3Cn16Cn2L3nCnn例 10、解 Sn0 ? Cn03Cn16Cn2L 3nCnn S n

16、=3n 2n-1（ 4）、錯位相減法如果一個數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘構成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯位相減求和例 11、 求數(shù)列 1，3x， 5x2, ,(2n-1)xn-1 前 n 項的和解n2+ +(2n-1)xn-1設 S =1+3+5x7文德教育(2)x=0時， Sn=1(3) 當 x0 且 x 1 時，在式兩邊同乘以n23nx 得 xS =x+3x+5x + +(2n-1)x， - ，得 (1-x)S n=1+2x+2x2 +2x3+ +2xn-1 -(2n-1)xn注：在消項時一定注意消去了哪些項，還剩下哪些項，一般地剩下的正項與負項一樣

17、多。在掌握常見題型的解法的同時， 也要注重數(shù)學思想在解決數(shù)列問題時的應用。(5) 裂項法：二、常用數(shù)學思想方法把通項公式整理成兩項( 式多項 ) 差的形式，然后前后相消。1函數(shù)思想常見裂項方法：運用數(shù)列中的通項公式的特點把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決?！纠?13】等差數(shù)列 a 的首項 a 0，前 n 項的和為 S ，若 S =S（ l k）問 nn1nlk為何值時Sn 最大？1111例 12、求和3 ?75?9L1?5(2 n 1)(2n 3)此函數(shù)以 n 為自變量的二次函數(shù)。a1 0S l =Sk（ l k）， d 0 故此二次函數(shù)的圖像開口向下 f （l ） =f （k）8文德教育x=1og ak， y=log bk， z=log ck2方程思想【例 14】設等比數(shù)列a n 前 n 項和為 Sn，若 S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q。分析本題考查等比數(shù)列的基礎知識及推理能力。解依題意可知q 1。如果 q=1，則 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。