高數(shù)課件 (50)

1、一階線性微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié) 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程 二、伯努利方程二、伯努利方程 第十二章 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程 一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:)()( d d xQyxP x y 若 Q(x) 0, 0)( d d yxP x y 若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程非齊次方程 . 1. 解齊次方程 分離變量 xxP y y d)( d 兩邊積分得CxxPylnd)(ln 故通解為 xxP eCy d)( 稱為齊次方程齊次方程 ; 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 xxP eCy d)( 齊次方程通解非齊次

2、方程特解 xxP Ce d)( 2. 解非齊次方程)()( d d xQyxP x y 用常數(shù)變易法常數(shù)變易法:,)()( d)( xxP exuxy 則 xxP eu d)( )(xP xxP eu d)( )(xQ 故原方程的通解 xexQe xxPxxP d)( d)(d)( CxexQey xxPxxP d)( d)(d)( y 即 即 作變換 xxP euxP d)( )( xxP exQ x ud)( )( d d CxexQu xxP d)( d)( 兩端積分得 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 解方程 .) 1( 1 2 d d 2 5 x x y x y 解解:

3、先解,0 1 2 d d x y x y 即 1 d2d x x y y 積分得,ln1ln2lnCxy即 2 ) 1( xCy 用常數(shù)變易法常數(shù)變易法求特解. 令 ,) 1()( 2 xxuy 則 ) 1(2) 1( 2 xuxuy 代入非齊次方程得 2 1 ) 1( xu 解得Cxu 2 3 ) 1( 3 2 故原方程通解為 Cxxy 2 3 2 ) 1( 3 2 ) 1( 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求方程的通解 . 解解: 注意 x, y 同號(hào),d2 d ,0 x x x x時(shí)當(dāng) yy x y x2 d d 2 y yP 2 1 )( y yQ 1 )( 由一階線性方

4、程通解公式通解公式 , 得 ex y y 2 d e y 1 y y 2 d Cxlnd 故方程可 變形為 0d 2d 3 y y x yyx x y y 1 y 1 lndCy 所求通解為 )0(CCey y x y C yln 這是以 x為因變量, y為 自變量的一階線性方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0 例例3. 有一電路如圖所示, ,sintEE m 電動(dòng)勢(shì)為 電阻 R 和電 . )(ti L E R K 解解: 列方程 . 已知經(jīng)過電阻 R 的電壓降為R i 經(jīng)過 L的電壓降為 t i L d d 因此有 ,0 d d iR t i L

5、E即 L tE i L R t i m sin d d 初始條件: 0 0 t i 由回路電壓定律: 其中電源 求電流感 L 都是常量, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 L E R K 解方程: L tE i L R t i m sin d d 0 0 t i CxexQey xxPxxP d)( d)(d)( 由初始條件: 0 0 t i 得 222 LR LE C m )(ti dt L R e t L Em sin t L R m eCtLtR LR E )cossin( 222 te t L R d d C 利用一階線性方程解的公式可得 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 t L

6、R m e LR LE ti 222 )( )cossin( 222 tLtR LR Em t L R m e LR LE ti 222 )( )sin( 222 t LR Em 暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流 則令,arctan R L L E R K 因此所求電流函數(shù)為 解的意義: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式: )1,0()()( d d nyxQyxP x y n n y以 )()( d d 1 xQyxP x y y nn 令, 1 n yz x y yn x z n d d )1 ( d d 則 )()1 ()

7、()1 ( d d xQnzxPn x z 求出此方程通解后, 除方程兩邊 , 得 換回原變量即得伯努利方程的通解. 解法解法: (線性方程) 伯努利 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求方程 2 )ln( d d yxa x y x y 的通解. 解解: 令, 1 yz 則方程變形為 xa x z x z ln d d 其通解為ez 將 1 yz 1)ln( 2 2 x a Cxy x x d 1 exa)ln( x x d 1 Cx d 2 )ln( 2 x a Cx 代入, 得原方程通解: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 一階線性方程)()( d d x

8、QyxP x y 方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法. 方法2 用通解公式 CxexQey xxPxxP d)( d)(d)( , 1 n yu 令 化為線性方程求解. 2. 伯努利方程 n yxQyxP x y )()( d d )1,0(n 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 判別下列方程類型: x y yxy x y x d d d d ) 1( )ln(ln d d )2(xyy x y x 0d2d)()3( 3 yxxxy 0d)(d2)4( 3 yxyxy yxxyxydd)2ln()5( 提示提示: x x y y yd d 1 可分離 變量方程 x

9、 y x y x y ln d d 齊次方程 22 1 d d 2 x y xx y 線性方程 22 1 d d 2 y x yy x 線性方程 2 sin2 d d y x x y xx y 伯努利 方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P281 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; 7 (3) , (5) 作業(yè) 第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 1. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù) )(xf使其滿足下列方程: ttxfxxf x d)(sin)( 0 提示提示: 令 txu uufxxf x d)(sin)( 0 則有 xxfxfcos)()( 0)0(f

10、 利用公式可求出 )sin(cos 2 1 )( x exxxf 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè)有微分方程 , )(xfyy其中 )(xf 10,2 x 1,0 x 試求此方程滿足初始條件0 0 x y 的連續(xù)解. 解解: 1) 先解定解問題 10, 2xyy 0 0 x y 利用通解公式, 得 x ey d 1 d d2Cxe x )2( 1 Cee xx x eC 1 2 利用0 0 x y得2 1 C 故有) 10(22 xey x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 再解定解問題 1,0 xyy 1 1 22) 1 ( eyy x 此齊次線性方程的通解為 ) 1( 2 xeCy x 利用銜接條件得) 1(2 2 eC 因此有 ) 1() 1(2 xeey x 3) 原問題的解為 y 10),1 (2 xe x 1,) 1(2 xee x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 17