mathematics第8講課件學習

1、軟 件 介 紹 第8講 線性代數(shù)的數(shù)值計算 12021/3/23 2/67 2 線性代數(shù)是應用數(shù)學的一個重要分支線性代數(shù)是應用數(shù)學的一個重要分支,它是科技與它是科技與 工程中線性模型問題研究與求解的最主要工具工程中線性模型問題研究與求解的最主要工具,因而有因而有 著廣泛的應用。著廣泛的應用。 線性代數(shù)研究的主要內容是矩陣和線性方程組的性線性代數(shù)研究的主要內容是矩陣和線性方程組的性 質與求解質與求解,有時也包括線性空間和二次型的討論。有時也包括線性空間和二次型的討論。 第第8講講 線性代數(shù)的數(shù)值計算線性代數(shù)的數(shù)值計算 3/67 3 第第8講講 線性代數(shù)的數(shù)值計算線性代數(shù)的數(shù)值計算 8.1 矩陣矩

2、陣 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 8.3 線性方程組求解線性方程組求解 8.4 探索實驗探索實驗 4/67 4 8.1 矩陣矩陣 在前面第在前面第1章章1.4節(jié)關于表的介紹中我們看到節(jié)關于表的介紹中我們看到,一個二一個二 維的表與一個矩陣代表著相同的內容維的表與一個矩陣代表著相同的內容,它們只是在不同它們只是在不同 領域里的不同叫法領域里的不同叫法,在數(shù)學里叫它們?yōu)榫仃囋跀?shù)學里叫它們?yōu)榫仃?而在文字而在文字 處理與數(shù)據(jù)處理中常稱之為表處理與數(shù)據(jù)處理中常稱之為表. 從從Mathematica角度看角度看,向量和矩陣只是一種特殊向量和矩陣只是一種特殊 的表的表,因此在描述和生成矩陣時因

3、此在描述和生成矩陣時,我們可以充分利用表我們可以充分利用表 這一工具。這一工具。 5/67 5 8.1 矩陣矩陣 8.1.1 矩陣的生成 p1. 當矩陣的階數(shù)比較低時當矩陣的階數(shù)比較低時,可以用直接輸入法生成矩可以用直接輸入法生成矩 陣陣 【例例8-1】矩陣的生成矩陣的生成 A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;(A的列表形式的列表形式) A/MatrixForm(將將A寫成矩陣的形式寫成矩陣的形式) 運行后得運行后得: 6/67 6 8.1 矩陣矩陣 8.1.1 矩陣的生成 p2. 當矩陣的階數(shù)比較高時當矩陣的階數(shù)比較高時,可以利用建表函數(shù)來生成可以利用建表函數(shù)來生成

4、矩陣矩陣 Arraya,m,n 生成生成m n階的矩陣階的矩陣,它的它的i行行j列元素是列元素是ai, j Tableai,j,i,m,j,n 同上同上 Tablefij,i,m,j,n 生成生成m n階的矩陣階的矩陣,它的它的i行行j列元素按通項列元素按通項fij的規(guī)律取的規(guī)律取 得得 7/67 7 8.1 矩陣矩陣 8.1.1 矩陣的生成 p2. 當矩陣的階數(shù)比較高時當矩陣的階數(shù)比較高時,可以利用建表函數(shù)來生成可以利用建表函數(shù)來生成 矩陣矩陣 【例例8-2】生成元素為生成元素為hij = 1/(i + j 1)的的m n階矩陣階矩陣, 此陣稱為此陣稱為Hilbert矩陣。矩陣。 H = T

5、able1/(i + j 1), i, 3, j, 4; MatrixFormH 8/67 8 8.1 矩陣矩陣 8.1.1 矩陣的生成 p3. 特殊矩陣的生成特殊矩陣的生成 Table0,m,n IdentityMatrixn DiagonalMatrixlist TableRandom,m,n 生成一個生成一個m n階隨機元素陣階隨機元素陣,元素的值在元素的值在0與與1之間之間 TableIfi=j,1,0,j,m,j,n 生成一個生成一個m n階的下三角矩陣階的下三角矩陣 生成一個生成一個m n階階0元素矩陣元素矩陣 生成一個生成一個n階單位矩陣階單位矩陣 用表用表list中的元素生成中

6、的元素生成 一個對角陣一個對角陣 9/67 9 8.1 矩陣矩陣 8.1.1 矩陣的生成 p3. 特殊矩陣的生成特殊矩陣的生成 【例例8-3】(1) 生成生成0元素陣元素陣; Table0, 2, 3; %/MatrixForm (2) 生成單位陣生成單位陣; IdentityMatrix3; %/MatrixForm (3) 生成對角陣生成對角陣; DiagonalMatrixa, b, c, d; %/MatrixForm 10/67 10 8.1 矩陣矩陣 8.1.1 矩陣的生成 p3. 特殊矩陣的生成特殊矩陣的生成 【例例8-3】(4) 生成隨機元素陣生成隨機元素陣; TableRan

7、dom, 2, 2 (5) 生成上三角陣生成上三角陣; TableIfi =j, 5, 0, i, 3, j, 4; %/MatrixForm 11/67 11 8.1 矩陣矩陣 8.1.2 矩陣的取塊 在矩陣運算中有時需要提取它的一部分元素在矩陣運算中有時需要提取它的一部分元素(塊塊)參參 與運算與運算,比如提取一個元素比如提取一個元素,一行元素一行元素,一列元素一列元素,或者一或者一 個子矩陣等個子矩陣等,方法如下方法如下: Ai,j 取出矩陣取出矩陣A的第的第i行第行第j列元素列元素 Ai取出矩陣取出矩陣A中的第中的第i行元素行元素 AAll,j取出矩陣取出矩陣A中的第中的第j列元素列元

8、素 Ai1,i2,ip,j1,j2,jq TakeA,i0,i1,j0,j1 TrA,List 取出按列表給出的矩陣取出按列表給出的矩陣A的對角線元素的對角線元素 取 出 由取 出 由 i 1 , i 2 , , i p 行行,j1,j2,jq列組成的列組成的 子陣子陣 取出由取出由A的的i0行到行到i1行行 和和j0到到j1列組成的子陣列組成的子陣 12/67 12 8.1 矩陣矩陣 8.1.2 矩陣的取塊 【例例8-4】已知矩陣已知矩陣 B = 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5

9、, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5。 MatrixFormB 則有則有 13/67 13 8.1 矩陣矩陣 8.1.2 矩陣的取塊 【例例8-4】已知矩陣已知矩陣 B2, 3 = 6.9(將將B中中2行行3列元素列元素2.3重新賦值為重新賦值為6.9) B2(取出重新賦值后的第取出重新賦值后的第2行行) BAll, 3(取出重新賦值后的第取出重新賦值后的第3列列) B1, 3, 2, 4 TakeB, 1, 2, 3, 5 TrB, List 14/67 14 8.1 矩陣矩陣 8.1.3 矩陣的運算 設設u為一個數(shù)量為一個數(shù)量

10、, A=aijm n和和B=bijr s為矩陣為矩陣, 數(shù)學中數(shù)學中: uA = uaijm nu加矩陣加矩陣A等于將等于將u加到加到A的每個元素上的每個元素上 u.A = u.aijm nu乘矩陣乘矩陣A等于將等于將u乘到乘到A的每個元素上的每個元素上 AB = aijbijm nA與與B同階同階(m=r,n=s),對應元素相加對應元素相加 A.B = C A右乘右乘B,必須是必須是A的列數(shù)的列數(shù)n與與B的行數(shù)的行數(shù) r相等才能相乘相等才能相乘,所得矩陣所得矩陣C的元素的元素 在特殊情況下在特殊情況下,當當n=1與與r=1時時,則有則有A=aijm 1與與B=bij1 s 變?yōu)樾邢蛄颗c列向量

11、變?yōu)樾邢蛄颗c列向量,因此上面的公式包含了對向量的因此上面的公式包含了對向量的 運算。運算。 n k kjikij bac 1 15/67 15 8.1 矩陣矩陣 8.1.3 矩陣的運算 要注意的是在要注意的是在Mathematica里定義了里定義了3種乘法運算種乘法運算: 點積點積“.”,叉積叉積“ ”和星號積和星號積“*” 設設a與與b為向量為向量,A與與B為矩陣為矩陣,u與與v為數(shù)量為數(shù)量,則則: a.b就是數(shù)學中兩向量的內積就是數(shù)學中兩向量的內積(數(shù)量積數(shù)量積) A.B就是數(shù)學中兩矩陣的乘積就是數(shù)學中兩矩陣的乘積 a b Crossa,b就是數(shù)學中兩向量的外積就是數(shù)學中兩向量的外積(向量

12、積向量積) A B OuterTimes,A,B 矩陣的外積矩陣的外積,在數(shù)學中沒有定義在數(shù)學中沒有定義 a*b仍為一向量仍為一向量,等于等于a與與b的對應元素相乘的對應元素相乘 A*B仍為一矩陣仍為一矩陣,等于等于A與與B的對應元素相乘的對應元素相乘 u*vu乘乘v規(guī)定用星號規(guī)定用星號u*v,u.v與與u v無意義。無意義。 16/67 16 8.1 矩陣矩陣 8.1.3 矩陣的運算 設設a與與b為向量為向量,A與與B為矩陣為矩陣,u與與v為數(shù)量為數(shù)量,則則: a.b就是數(shù)學中兩向量的內積就是數(shù)學中兩向量的內積(數(shù)量積數(shù)量積) A.B就是數(shù)學中兩矩陣的乘積就是數(shù)學中兩矩陣的乘積 a b Cr

13、ossa,b就是數(shù)學中兩向量的外積就是數(shù)學中兩向量的外積(向量積向量積) A B OuterTimes,A,B 矩陣的外積矩陣的外積,在數(shù)學中沒有定義在數(shù)學中沒有定義 a*b仍為一向量仍為一向量,等于等于a與與b的對應元素相乘的對應元素相乘 A*B仍為一矩陣仍為一矩陣,等于等于A與與B的對應元素相乘的對應元素相乘 u*vu乘乘v規(guī)定用星號規(guī)定用星號u*v,u.v與與u v無意義。無意義。 在本書中最常見的是點積在本書中最常見的是點積“.”,希望讀者注意希望讀者注意,不可與不可與 叉積叉積“ ”,星號積星號積“*”混同使用?；焱褂?。 17/67 17 8.1 矩陣矩陣 8.1.3 矩陣的運算

14、除了上述簡單的矩陣代數(shù)運算外除了上述簡單的矩陣代數(shù)運算外,還有下面一些常見還有下面一些常見 的矩陣運算。的矩陣運算。 DetA求矩陣求矩陣A的行列式的行列式|A|,A必須是方陣必須是方陣) TransposeA求求A的轉置陣的轉置陣(記為記為AT或或A ) InverseA求求A的逆矩陣的逆矩陣(記為記為A-1,A必須是方陣必須是方陣) MinorsA求求A的每個元素對應的余子式的每個元素對應的余子式 MinorsA,k求求A的所有的所有k階子式組成的表階子式組成的表 TrA求求A的跡的跡(A的主對角元相加的主對角元相加) MatrixPowerA,n求求An = AAA,A必須是方陣必須是方

15、陣) 18/67 18 8.1 矩陣矩陣 8.1.3 矩陣的運算 【例例8-5】已知三階方陣已知三階方陣A1 = 1, 2, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 2; DetA1 TransposeA1 E1 = InverseA1 MinorsA1 MinorsA1, 1 MinorsA1, 2 MinorsA1, 3 TrA1 MatrixPowerA1, 2 19/67 19 8.1 矩陣矩陣 8.1.3 矩陣的運算 【例例8-5】已知三階方陣已知三階方陣A1 = 1, 2, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 2; DetA1 TransposeA1 E1 = InverseA1 容易

16、驗證矩陣容易驗證矩陣A1同它的逆矩陣同它的逆矩陣E1之間有之間有 A1.E1 = 1,0,0,0,1,0,0,0,1 20/67 20 8.1 矩陣矩陣 8.1.3 矩陣的運算 對于符號矩陣對于符號矩陣,上述各種運算同樣可以進行。上述各種運算同樣可以進行。 【例例8-6】已知矩陣已知矩陣A2 = a, b, c, b, c, a, c, a, b, 則有則有 DetA2 如果記如果記d = a3 b3 +3abc c3,則有則有 InverseA2 21/67 21 8.1 矩陣矩陣 8.1.3 矩陣的運算 【例例8-7】已知矩陣已知矩陣A3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

17、 9; A4 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8.9999; 則有則有 DetA3 DetA4 InverseA3 InverseA4 上面上面A3中的元素全部是精確值中的元素全部是精確值,且且DetA3 = 0,因此因此A3 是一個精確的奇異陣是一個精確的奇異陣,這時這時Mathematica系統(tǒng)將會明確系統(tǒng)將會明確 的給出信息的給出信息,告訴你告訴你A3的逆陣不存在。的逆陣不存在。 22/67 22 8.1 矩陣矩陣 8.1.3 矩陣的運算 【例例8-7】已知矩陣已知矩陣A3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; A4 = 1, 2, 3, 4, 5

18、, 6, 7, 8, 8.9999; 則有則有 DetA3 DetA4 InverseA3 InverseA4 A4的元素中出現(xiàn)有近似數(shù)的元素中出現(xiàn)有近似數(shù)(最末一個元素最末一個元素),且且DetA4 0,故故A4是一個近似的奇異陣是一個近似的奇異陣 23/67 23 8.1 矩陣矩陣 8.1.3 矩陣的運算 【例例8-7】已知矩陣已知矩陣A3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; A4 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8.9999; 這時這時Mathematica系統(tǒng)不能識別奇異與非奇異的界限系統(tǒng)不能識別奇異與非奇異的界限, 但系統(tǒng)總是以盡可能高的精度

19、給出求逆的結果但系統(tǒng)總是以盡可能高的精度給出求逆的結果,并給出并給出 相應的信息。相應的信息。 不妨將不妨將A4中的最末一個元素中的最末一個元素8.9999逐漸增大逐漸增大,讓它趨近讓它趨近 于于9,觀察系統(tǒng)給出的各種信息。觀察系統(tǒng)給出的各種信息。 24/67 24 8.1 矩陣矩陣 8.1.3 矩陣的運算 在在Mathematica系統(tǒng)中系統(tǒng)中, 符號矩陣的求逆可計算到符號矩陣的求逆可計算到8 階階,而數(shù)值矩陣的求逆則可計算到而數(shù)值矩陣的求逆則可計算到200階。階。 25/67 25 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 特征值和特征向量是矩陣問題中最重要的內容之一特征值和特征向量是矩陣

20、問題中最重要的內容之一, 它們在線性代數(shù)里的定義是它們在線性代數(shù)里的定義是: 設設A是一個是一個n n階矩陣階矩陣,I是一個是一個n n階單位陣階單位陣,如果存如果存 在非零向量在非零向量x與數(shù)量與數(shù)量 滿足線性方程組滿足線性方程組(A I)x = 0,則則 稱稱 是矩陣是矩陣A的特征值的特征值,x是是A的對應于特征值的對應于特征值 的特征向的特征向 量。量。 26/67 26 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 在低維歐氏空間里在低維歐氏空間里,可以對可以對 和和x給出幾何解釋如下給出幾何解釋如下: 如果如果A是一個是一個3 3階實對稱矩陣階實對稱矩陣,則則A代表著一個實代表著一個實

21、的二次型或二次曲面的二次型或二次曲面,那么特征值那么特征值 的絕對值的絕對值| |的大小的大小 對應于這個二次曲面對應于這個二次曲面3個主半軸的長度個主半軸的長度,x對應于這個對應于這個 二次曲面的二次曲面的3個主軸方向。個主軸方向。 27/67 27 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 通常遇到的特征值問題通常遇到的特征值問題,矩陣大多數(shù)是實對稱矩陣大多數(shù)是實對稱(或或 Hermite型型)的的,實對稱矩陣的特征值與特征向量有著比實對稱矩陣的特征值與特征向量有著比 較簡單的結構較簡單的結構,例如例如: (1) 若若A是是n n階實對稱矩陣階實對稱矩陣,則則A必有必有n個實的特征個實的特

22、征 值與值與n個實的線性無關的特征向量個實的線性無關的特征向量(不論特征值中是否不論特征值中是否 有重根有重根)。 (2) 若若A是實對稱矩陣是實對稱矩陣,而而A的某兩個特征值的某兩個特征值 i與與 j相相 異異,則則 i與與 j所對應的特征向量所對應的特征向量pi與與pj必正交必正交,若若A的的n個個 特征值全是單根特征值全是單根,則則A的的n個特征向量兩兩正交。個特征向量兩兩正交。 28/67 28 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 通常遇到的特征值問題通常遇到的特征值問題,矩陣大多數(shù)是實對稱矩陣大多數(shù)是實對稱(或或 Hermite型型)的的,實對稱矩陣的特征值與特征向量有著比實對

23、稱矩陣的特征值與特征向量有著比 較簡單的結構較簡單的結構,例如例如: (3) 對于每一個實對稱矩陣對于每一個實對稱矩陣A,利用正交變換總可將利用正交變換總可將A 轉化為對角矩陣轉化為對角矩陣,其主對角線上的元素就是其主對角線上的元素就是A的的n個特個特 征值。征值。 如果如果A是一個實的非對稱矩陣是一個實的非對稱矩陣,那么那么A的特征值與特的特征值與特 征向量的結構將會比較復雜征向量的結構將會比較復雜,上述關于實對稱矩陣的結上述關于實對稱矩陣的結 論論(1),(2),(3)往往不能保證成立。往往不能保證成立。 29/67 29 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 在線性代數(shù)里在線性代數(shù)里

24、,計算特征值與特征向量是一個比較計算特征值與特征向量是一個比較 復雜復雜,繁瑣的過程繁瑣的過程,在在Mathematica系統(tǒng)里都將它們設系統(tǒng)里都將它們設 計為簡便的調用函數(shù)計為簡便的調用函數(shù),它們的使用格式如下它們的使用格式如下: EigenvaluesA計算矩陣計算矩陣A的的(精確形式的精確形式的)特征特征 值表值表 EigenvectorsA計算矩陣計算矩陣A的的(精確形式的精確形式的)特征向量表特征向量表 EigensystemA計算所有的計算所有的特征值特征值,特征向量特征向量 EigenvaluesNA計算矩陣計算矩陣A的特征值表的數(shù)值解的特征值表的數(shù)值解 Eigenvectors

25、NA 計算矩陣計算矩陣A的特征向量表的數(shù)值解的特征向量表的數(shù)值解 30/67 30 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 【例例8-8】求實對稱矩陣的全部特征值與特征向量求實對稱矩陣的全部特征值與特征向量 (1) A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0, 2, 7 (2) A2 = l, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1 (3) A3 = -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1 A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0, 2, 7; EigensystemA1 求得特征值求得特征值 1 = 3, 2 = 6, 3 =

26、9 特征向量特征向量p1=-2,-2,1, p2=2,-1,2, p3=-1, 2, 2 由于由于 1, 2, 3均是相異實根均是相異實根(單根單根),故可肯定特征向量故可肯定特征向量 兩兩正交兩兩正交, 即有即有p1p2= 0,p2p3= 0,p3p1= 0 31/67 31 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 【例例8-8】求實對稱矩陣的全部特征值與特征向量。求實對稱矩陣的全部特征值與特征向量。 (1) A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0, 2, 7 (2) A2 = l, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1 (3) A3 = -1, 1, -

27、1, 1, 1, -1, -1, -1, 1 A2 = 1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1; EigensystemA2 1 = -1, 2 = 3 = 2, 1與與 2互異互異, 1與與 3互異互異, 故有故有p1p2 = 0,p1p3 = 0。 32/67 32 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 【例例8-8】求實對稱矩陣的全部特征值與特征向量。求實對稱矩陣的全部特征值與特征向量。 (1) A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0, 2, 7 (2) A2 = l, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1 (3) A3 =

28、-1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1 A3 = -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1; EigensystemA3 N% 33/67 33 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 【例例8-8】求實對稱矩陣的全部特征值與特征向量。求實對稱矩陣的全部特征值與特征向量。 (1) A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0, 2, 7 (2) A2 = l, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1 (3) A3 = -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1 如果改用最后兩個計算函數(shù)如果改用最后兩個計算函

29、數(shù),也可得到相同的結果。也可得到相同的結果。 EigenvaluesNA3 EigenvectorsNA3 由由3個特征值互異知個特征值互異知,3個特征向量兩兩正交。個特征向量兩兩正交。 34/67 34 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 【例例8-9】求下列實非對稱矩陣的全部特征值與特征求下列實非對稱矩陣的全部特征值與特征 向量。向量。 (1) B1 = l,4,2,0,1,-1,0,2,4 (2) B2 = 1,2,2,1,-1,1,4,-12,1 (3) B3 = 2,1,1,0,2,1,0,0,2 B1 = 1, 4, 2, 0, 1, -1, 0, 2, 4 Eigensys

30、temB1 B1的的3個特征值個特征值1,2,3雖均互異雖均互異,但特征向量但特征向量p1,p2,p3 之間不能保證正交。之間不能保證正交。 35/67 35 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 【例例8-9】求下列實非對稱矩陣的全部特征值與特征求下列實非對稱矩陣的全部特征值與特征 向量。向量。 (1) B1 = l,4,2,0,1,-1,0,2,4 (2) B2 = 1,2,2,1,-1,1,4,-12,1 (3) B3 = 2,1,1,0,2,1,0,0,2 B2 = 1, 2, 2, 1, -1, 1, 4, -12, 1 EigensystemB2 B2中的元素雖然全部為實數(shù)中的

31、元素雖然全部為實數(shù),但但B2的特征值與特征的特征值與特征 向量卻可能是復數(shù)。向量卻可能是復數(shù)。 36/67 36 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 【例例8-9】求下列實非對稱矩陣的全部特征值與特征求下列實非對稱矩陣的全部特征值與特征 向量。向量。 (1) B1 = l,4,2,0,1,-1,0,2,4 (2) B2 = 1,2,2,1,-1,1,4,-12,1 (3) B3 = 2,1,1,0,2,1,0,0,2 B3 = 2, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 2 EigensystemB3 B3有一個有一個3重特征值重特征值 1 = 2 = 3 = 2,只有一個線性只有一

32、個線性 獨立的特征向量獨立的特征向量p = 1,0,0。 37/67 37 8.3 線性方程組求解線性方程組求解 有了上面的基本工具有了上面的基本工具,下面就可以來討論線性方程下面就可以來討論線性方程 組組Ax=b的求解問題的求解問題,式中式中A為為m n階系數(shù)矩陣階系數(shù)矩陣,b為為m 1 階右端列向量階右端列向量,x為待求的為待求的n 1階列向量。階列向量。 當當m = n且行列式且行列式,|A| 0時時,稱稱Ax = b為恰定方程組為恰定方程組; 當當m n時時,稱稱AX = b為超定方程組為超定方程組; 這里總假定這里總假定mn。 38/67 38 8.3 線性方程組求解線性方程組求解

33、在上述方程組求解的討論中在上述方程組求解的討論中,常常要用到系數(shù)矩陣常常要用到系數(shù)矩陣A 的秩的秩r(A),與增廣矩陣與增廣矩陣 的秩的秩r( ),有時還要有時還要 計算對應齊次方程組計算對應齊次方程組AX = 0的基礎解系。的基礎解系。 Mathematica系統(tǒng)為我們提供了相應的求解函數(shù)系統(tǒng)為我們提供了相應的求解函數(shù), 它們的調用格式如下它們的調用格式如下: RowReduceA利用矩陣的初等行變換將矩陣利用矩陣的初等行變換將矩陣 A化簡化簡 LinearSolveA,b求線性方程組求線性方程組Ax = b的一個特解的一個特解 NullSpaceA求齊次方程組求齊次方程組Ax = 0的基礎

34、解系的基礎解系 ),(bAA A 39/67 39 8.3 線性方程組求解線性方程組求解 【例例8-10】求解線性方程組求解線性方程組 A1 = 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 7; b1 = 6, 9, 14; DetA1 = -2 0,故知方程組有惟一解故知方程組有惟一解, 利用利用Solve函函 數(shù)求解數(shù)求解A1x = b1 X = LinearSolveA1, b1 40/67 40 8.3 線性方程組求解線性方程組求解 【例例8-10】求解線性方程組求解線性方程組 A1 = 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 7; b1 = 6, 9, 14; 也可利用也

35、可利用LU分解求解此方程組。將系數(shù)陣分解求解此方程組。將系數(shù)陣A1進行進行 LU分解分解: LUDecompositionA1 利用利用LU分解求解分解求解A1X = b1 LUBackSubstitution%, b1 41/67 41 8.3 線性方程組求解線性方程組求解 【例例8-11】求解線性方程組求解線性方程組 A2 = 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 5, 7; b1 = 6, 9, 15; DetA2=0,轉而考慮系數(shù)陣轉而考慮系數(shù)陣A2與增廣矩陣與增廣矩陣A21的秩的秩 A21 = 1, 2, 3, 6, 2, 3, 4, 9, 3, 5, 7, 15; 利用初等行變

36、換化簡利用初等行變換化簡A2和和A21: RowReduceA2 RowReduceA21 由此結果可知由此結果可知A21的秩的秩r21 = 2,同時可知原方程組同時可知原方程組(1) 中只有兩個線性獨立方程中只有兩個線性獨立方程,并且可取并且可取1,2兩個方程兩個方程 15753 9432 632 321 321 321 xxx xxx xxx 42/67 42 8.3 線性方程組求解線性方程組求解 【例例8-11】求解線性方程組求解線性方程組 即原方程組的解等價于下列方程組的解。即原方程組的解等價于下列方程組的解。 A2 = 1, 2, 3, 2, 3, 4; b2 = 6, 9; 求出方

37、程組求出方程組(2)的一個特解的一個特解: X0 = LinearSolveA2, b2 15753 9432 632 321 321 321 xxx xxx xxx 43/67 43 8.3 線性方程組求解線性方程組求解 【例例8-11】求解線性方程組求解線性方程組 求出方程組的一個特解求出方程組的一個特解: 求出求出A2X = 0的基礎解系的基礎解系: Y = NullSpaceA2 方程組方程組(2)的解的解X = cY + X0 15753 9432 632 321 321 321 xxx xxx xxx 44/67 44 8.3 線性方程組求解線性方程組求解 【例例8-11】求解線性

38、方程組求解線性方程組 求出方程組的一個特解求出方程組的一個特解:0, 3, 0 和和A2X = 0的基礎解系的基礎解系: 方程組方程組(2)的解的解X = cY + X0, 原方程組有無窮多組解原方程組有無窮多組解: X = c*Y1 + X0 由此求得原方程組由此求得原方程組(1)的解的解:x1= c,x2= 3 2c,x3= c. 15753 9432 632 321 321 321 xxx xxx xxx 45/67 45 8.3 線性方程組求解線性方程組求解 【例例8-12】求解線性方程組求解線性方程組 A3 = 1, 2, 3, 2, 4, 6, 3, 6, 9; b1 = 6, 1

39、2, 18; DetA3 = 0 A31 = 1, 2, 3, 6, 2, 4, 6, 12, 3, 6, 9, 18; RowReduceA3 RowReduceA31 A3與與A31的秩相同都是的秩相同都是1,原方程組只有一個獨立方原方程組只有一個獨立方 程程,可取第一個方程可取第一個方程 18963 12642 632 321 321 321 xxx xxx xxx 46/67 46 8.3 線性方程組求解線性方程組求解 【例例8-12】求解線性方程組求解線性方程組 A3與與A31的秩相同都是的秩相同都是1,原方程組只有一個獨立方程原方程組只有一個獨立方程, 可取第一個方程可取第一個方程

40、 原方程組的解等價于下列方程的解原方程組的解等價于下列方程的解: x1 + 2x2 + 3x3 = 6, 解出解出 由此求得原方程組的解由此求得原方程組的解: x1 = c1,x2 = c2,x3 = 2 c1/3 2*c2/3。 原方程組有無窮多組解。原方程組有無窮多組解。 18963 12642 632 321 321 321 xxx xxx xxx )26( 3 1 213 xxx 47/67 47 8.3 線性方程組求解線性方程組求解 【例例8-13】求解線性方程組求解線性方程組 A4 = 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 5, 7; A41 = 1, 2, 3, 6, 2,

41、3, 4, 9, 3, 5, 7, 14; RowReduceA4 RowReduceA41 可知可知A41的秩大于的秩大于A4的秩的秩,方程組矛盾方程組矛盾,沒有通常意義沒有通常意義 下的解。下的解。 14753 9432 632 321 321 321 xxx xxx xxx 48/67 48 8.4 探索實驗探索實驗 【實驗實驗8-1】檢驗檢驗|AB|=|A|B|,這里這里A和和B都是方陣。都是方陣。 解解: A = TableRandomInteger, 0, 10, 4, 4 MatrixFormA B = TableRandomInteger, 0, 10, 4, 4 Matrix

42、FormB 49/67 49 8.4 探索實驗探索實驗 【實驗實驗8-1】檢驗檢驗|AB|=|A|B|,這里這里A和和B都是方陣。都是方陣。 解解: DetA.B DetA * DetB 50/67 50 8.4 探索實驗探索實驗 【實驗實驗8-2】設設 通過計算通過計算A的的k階子式求矩陣階子式求矩陣A的秩。的秩。 解解: A = 3, -1, -3, -2, 2, 3, 1, -3, 7, 5, -1, -8 MinorsA, 2 MinorsA, 3 可見矩陣可見矩陣A有不為有不為0的二階子式的二階子式,矩陣矩陣A的三階子式的三階子式 都為都為0,所以矩陣的秩為所以矩陣的秩為2。 815

43、7 3132 2313 A 51/67 51 8.4 探索實驗探索實驗 【實驗實驗8-3】設設 通過初等行變換求矩陣通過初等行變換求矩陣A的逆。的逆。 解解: A = 1, 2, 3, 2, 2, 1, 3, 4, 3 D3 = IdentityMatrix3 343 122 321 A 52/67 52 8.4 探索實驗探索實驗 【實驗實驗8-3】設設 通過初等行變換求矩陣通過初等行變換求矩陣A的逆。的逆。 解解: AE = TransposeJoinTransposeA, D3 EANi = RowReduceAE MatrixForm% 343 122 321 A 53/67 53 8.

44、4 探索實驗探索實驗 【實驗實驗8-3】設設 通過初等行變換求矩陣通過初等行變換求矩陣A的逆。的逆。 解解: 可以看到矩陣可以看到矩陣A的逆已求出。為了取出的逆已求出。為了取出A的逆的逆,輸入輸入: EANi1, 2, 3, 4, 5, 6 MatrixForm% 343 122 321 A 54/67 54 8.4 探索實驗探索實驗 【實驗實驗8-4】設向量組設向量組 1= (1, 2, -1, 1), 2= (0, -4, 5, -2), 3= (2, 0, 3, 0) 通過求該向量組的秩判斷其是否線性相關。通過求該向量組的秩判斷其是否線性相關。 解解: A = 1, 2, -1, 1,

45、0, -4, 5, -2, 2, 0, 3, 0 RowReduceA MatrixForm% 這里有兩個非零行這里有兩個非零行,向量組的秩等于向量組的秩等于2,因此該向量組因此該向量組 線性相關。線性相關。 55/67 55 8.4 探索實驗探索實驗 【實驗實驗8-5】設計一組設計一組Mathematica命令命令,檢驗檢驗“初等初等 變換矩陣與矩陣變換矩陣與矩陣A左乘產(chǎn)生矩陣左乘產(chǎn)生矩陣A的行初等變換的行初等變換,初等初等 變換矩陣與矩陣變換矩陣與矩陣A右乘產(chǎn)生矩陣右乘產(chǎn)生矩陣A的列初等變換的列初等變換” 解解: d = Tableci, j, i, 3, j, 3(設置一個一般的設置一個

46、一般的3階矩階矩 陣陣) MatrixFormd 56/67 56 8.4 探索實驗探索實驗 【實驗實驗8-5】設計一組設計一組Mathematica命令命令,檢驗檢驗“初等初等 變換矩陣與矩陣變換矩陣與矩陣A左乘產(chǎn)生矩陣左乘產(chǎn)生矩陣A的行初等變換的行初等變換,初等初等 變換矩陣與矩陣變換矩陣與矩陣A右乘產(chǎn)生矩陣右乘產(chǎn)生矩陣A的列初等變換的列初等變換” 解解: e = IdentityMatrix3; e2, 2 = 8; e MatrixForme 57/67 57 8.4 探索實驗探索實驗 【實驗實驗8-5】設計一組設計一組Mathematica命令命令,檢驗檢驗“初等初等 變換矩陣與矩陣

47、變換矩陣與矩陣A左乘產(chǎn)生矩陣左乘產(chǎn)生矩陣A的行初等變換的行初等變換,初等初等 變換矩陣與矩陣變換矩陣與矩陣A右乘產(chǎn)生矩陣右乘產(chǎn)生矩陣A的列初等變換的列初等變換” 解解: e.d MatrixForm% 58/67 58 8.4 探索實驗探索實驗 【實驗實驗8-5】設計一組設計一組Mathematica命令命令,檢驗檢驗“初等初等 變換矩陣與矩陣變換矩陣與矩陣A左乘產(chǎn)生矩陣左乘產(chǎn)生矩陣A的行初等變換的行初等變換,初等初等 變換矩陣與矩陣變換矩陣與矩陣A右乘產(chǎn)生矩陣右乘產(chǎn)生矩陣A的列初等變換的列初等變換” 解解: d.e MatrixForm% 59/67 59 8.4 探索實驗探索實驗 【實驗實

48、驗8-5】設計一組設計一組Mathematica命令命令,檢驗檢驗“初等初等 變換矩陣與矩陣變換矩陣與矩陣A左乘產(chǎn)生矩陣左乘產(chǎn)生矩陣A的行初等變換的行初等變換,初等初等 變換矩陣與矩陣變換矩陣與矩陣A右乘產(chǎn)生矩陣右乘產(chǎn)生矩陣A的列初等變換的列初等變換” 解解: e = IdentityMatrix3; e1, e2 = e2, e1; e第一行與第二行對換第一行與第二行對換 MatrixForme 60/67 60 8.4 探索實驗探索實驗 【實驗實驗8-5】設計一組設計一組Mathematica命令命令,檢驗檢驗“初等初等 變換矩陣與矩陣變換矩陣與矩陣A左乘產(chǎn)生矩陣左乘產(chǎn)生矩陣A的行初等變換

49、的行初等變換,初等初等 變換矩陣與矩陣變換矩陣與矩陣A右乘產(chǎn)生矩陣右乘產(chǎn)生矩陣A的列初等變換的列初等變換” 解解: e.d MatrixForm% d.e MatrixForm% 61/67 61 8.4 探索實驗探索實驗 【實驗實驗8-5】設計一組設計一組Mathematica命令命令,檢驗檢驗“初等初等 變換矩陣與矩陣變換矩陣與矩陣A左乘產(chǎn)生矩陣左乘產(chǎn)生矩陣A的行初等變換的行初等變換,初等初等 變換矩陣與矩陣變換矩陣與矩陣A右乘產(chǎn)生矩陣右乘產(chǎn)生矩陣A的列初等變換的列初等變換” 解解: e = IdentityMatrix3; e3, 1 = 2; e MatrixForme 62/67 62 8.4 探索實驗探索實驗 【實驗實驗8-5】