法向量“法力無邊”

1、法向量“法力無邊”平行、垂直的證明，空間角和距離的計(jì)算是立體幾何中“青春永葆”的話題，也是“亙古不變”的難題。難點(diǎn)在于解決這些問題時(shí)，需要作圖。特別是角和距離的計(jì)算需要作出垂線段和角，令其“有形”，方可操作。應(yīng)用法向量可以突破這一難點(diǎn)。如果一個(gè)非零向量與平面垂直，則稱向量為平面的法向量。求法向量的步驟：（1） 設(shè)此面的法向量為（x，y，z）（2） 因?yàn)榉ㄏ蛄看怪庇诿鎯?nèi)的任意一條直線，所以在此面內(nèi)任意找到兩條相交直線（如：（x1，y1，z1）, （x2，y2，z2）則有：（3） 因?yàn)樯厦媸墙⒘藘蓚€(gè)方程，但是有三個(gè)未知量，所以必須設(shè)一個(gè)量，在設(shè)的時(shí)候除了求二面角時(shí)（下面有介紹）需要來考慮方向，別

2、的情況都可以隨便設(shè)，通過上面解出的相對(duì)關(guān)系，確定那兩個(gè)量，這樣，法向量便解出來了。一、線面角A.法向量向上時(shí)(所求的角)+=90圖1sin=cosB.法向量向下時(shí)=(所求的角)+ 90圖2sin=sin（-90）=-cos0綜上有：sin=例1 如圖3，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側(cè)棱，D，E分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是的重心G。求與平面ABD所成角的正弦?！痉治黾敖狻勘绢}按傳統(tǒng)方法，需要作 在平面ABD上的射影，比較復(fù)雜，若用法向量來解，則可簡化問題：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為軸，CB所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則， 點(diǎn)E在平面ABD上的射影

3、是的重心G， 平面ABD，解得 ，圖3 平面ABD，為平面ABD的一個(gè)法向量；由二、二面角設(shè) 分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量 的夾角為，則有（圖4）或 （圖5）圖4 圖5 例2.如圖6，正三棱柱的底面邊長為3，側(cè)棱，D是CB延長線上一點(diǎn)，且。求二面角的大小。解 取BC的中點(diǎn)O，連AO。 圖6由題意 平面平面，平面，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖6所示空間直角坐標(biāo)系， 則 ， ， ， ，由題意 平面ABD， 為平面ABD的法向量。設(shè) 平面的法向量為 ，則 ， ， ，即 。 不妨設(shè) ，由 ， 得。 故所求二面角的大小為。三、點(diǎn)面距離 設(shè) 為平面的法向量，A，B分別為平面內(nèi)，外的點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面的距

4、離 。 略證： 圖7 例3 如圖8，已知正四棱柱，點(diǎn)E為中點(diǎn)，點(diǎn)F為中點(diǎn)。求點(diǎn)到平面BDE的距離。解 以D為原點(diǎn)，建立如圖8所示的直角坐標(biāo)系，則 ， ，設(shè) 平面BDE的法向量為 ，則， 圖8 ， ， 即 ， 不妨設(shè) ，則點(diǎn)到平面BDE的距離為 ， 即為所求。四、異面直線間距離是兩條異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離，則。例4已知M，N分別是棱長為1的正方體的棱和的中點(diǎn)，求：異面直線MN與間的距離?！痉治黾敖狻勘绢}需要找出異面直線與的公垂線段,比較麻煩,可以考慮用法向量來解答：以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為X、Y、Z軸建立如圖1的空間直角坐標(biāo)系，則，由于M、N是的中點(diǎn)，則，

5、從而，設(shè)與都垂直的方向向量為，則即即，不妨設(shè)，所以異面直線MN與間的距離為。 圖91.（本小題滿分12分）如圖所示，在長方體中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點(diǎn)（）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；（）證明：平面ABM平面A1B1M12.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點(diǎn).()證明：EF平面PAD；()求三棱錐EABC的體積V.解()在PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.()連接A

6、E,AC,EC,過E作EGPA交AB于點(diǎn)G,則BG平面ABCD,且EG=PA.在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.3. 已知三棱錐PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).（）證明：CMSN；（）求SN與平面CMN所成角的大小.證明：設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）.4分（）,因?yàn)椋?/p>

7、CMSN 6分（）,設(shè)a=（x，y，z）為平面CMN的一個(gè)法向量，則 9分因?yàn)樗許N與片面CMN所成角為45。 12分4.如圖，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D為BB的中點(diǎn)，E為AB上的一點(diǎn)，AE=3 EB （）證明：DE為異面直線AB與CD的公垂線； （）設(shè)異面直線AB與CD的夾角為45,求二面角A-AC-B的大小5.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H為BC的中點(diǎn)，()求證：FH平面EDB;（）求證：AC平面EDB; （）求四面體BDEF的體積；【命題意圖】本題考查空間線面平行、線面垂直、面面垂直的判斷與證明，考查體積的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力.【解題指導(dǎo)】（1）設(shè)底面對(duì)角線交點(diǎn)為G，則可以通過證明EGFH，得平面；（2）利用線線、線面的平行與垂直關(guān)系，證明FH平面ABCD，得FHBC，F(xiàn)HAC，進(jìn)而得EGAC，平面；（3）證明BF平面CDEF，得BF為四面體B-DEF的高，進(jìn)而求體積.6.在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方