數(shù)學(xué)八年級下《一元二次方程》復(fù)習(xí)教學(xué)案

1、一元二次方程 復(fù)習(xí)課【復(fù)習(xí)導(dǎo)航】 1、一元二次方程有三個特點(diǎn)：（1）只含有一個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2； （3）是整式方程。 2、要判斷一個方程是否為一元二次方程，應(yīng)以上面這三個特點(diǎn)來橫量。 3、一元二次方程的一般形式 4、解應(yīng)用題的一般思路審（審題）；找（找出題中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本數(shù)量關(guān)系、相等關(guān)系）；設(shè)（設(shè)元，包括設(shè)直接未知數(shù)或間接未知數(shù)）；表（用所設(shè)的未知數(shù)字母的代數(shù)式表示其他的相關(guān)量）；列（列方程）； 解（解方程）；檢驗(yàn)（注意根的準(zhǔn)確性及是否符合實(shí)際意義）?！局R點(diǎn)匯總】知識點(diǎn)一：直接開平方法 利用平方根的定義直接開平方求一元二次

2、方程的解的方法叫做直接開平方法。一般地，對于形如x=a（a0）的方程，根據(jù)平平方根的定義，可解的x=，x=-。知識點(diǎn)二：用因式分解法解一元二次方程1.因式分解法的意義：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，如對于方程x-4=0，左邊分解因式可得（x+2）（x-2）=0，則必有x+2=0或x-2=0，所以x=-2，x=2，這種解法叫做因式分解法，即利用因式分解法的方法解方程稱為因式分解法。2.因式分解法一元二次方程的一般步驟：將方程的右邊化為0將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積令每一個因式分別為零，就得到兩個一元一次方程 解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解知識點(diǎn)三：配方法把一

3、個一元二次方程的左邊配成一個完全平方式，右邊為一個非負(fù)常數(shù)，然后利用開平方數(shù)求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法。知識點(diǎn)四：公式法1.一般地，對于一元二次方程ax+bx+c=0（a0），如果b-4ab0，那么方程的兩個根為x=-b/2a。這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二次方程的系數(shù)a、b、c的值，直接求得方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做求根公式法。2.一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)過程一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0（a0）的過程。解：a0，方程兩邊都除以a，得x+bx/a+c/a=0移項(xiàng)，得x+

4、bx/a=- c/a，配方，得x+2*x*b/2a+（b/2a）=（b/2a）- c/a即（x+ b/2a）=b-4ac/4aa0，4a0，當(dāng)b-4ac0時，直接開平方，得x+ b/2a=/2a x=- b/2a/2a， 即x=-b/2a友情提醒：一元二次方程ax+bx+c=0（a0）的根是由一元二次方程的系數(shù)a、b、c確定的。由配方法推導(dǎo)出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大簡化了書寫步驟，減小了計(jì)算量，使我們能快速、準(zhǔn)確地求出方程的解。公式法是解一元二次方程的通用法，盡管配方法和公式法是解一元二次方程兩個截然不同的方法，但是這兩種方法有密切的聯(lián)系，可以說沒

5、有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的產(chǎn)生，配方法是公式法的基礎(chǔ)，而公式法又是配方法的簡化。知識點(diǎn)五：靈活運(yùn)用一元二次方程的四種基本解法解一元二次方程解一元二次方程，常用的方法有四種：直接開平方法，因式分解法，配方法，求根公式法。這四種方法各有長處，直接開平方法和因式分解法雖然簡單易行，但是并非所有的一元二次方程都能用這兩種方法來解決；配方法適用于任何一個一元二次方程，但配方法比較麻煩；公式法也適用于任何一個一元二次方程，是解一元二次方程的主要方法，且公式法比配方法簡單的多，它直接是用配方法導(dǎo)出的公式。但公式法不如直接開平方法和因式分解法快捷。因此，在解具體方程要根據(jù)方程的特征，

6、因題而異，靈活運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕夥?。知識點(diǎn)六：一元二次方程根的判別式 我們知道，一元二次方程ax+bx+c=0（a0）用配方法可將其變形為（x+ b/2a）=b-4ac/4a，因?yàn)閍0，所以4a0，我們可以看出：b-4ac0時，方程右邊是一個正數(shù)，因此有x=-b+/2a，x=-b-/2a，這樣兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b-4ac=0時，方程右邊是0，因此方程有x= x=-這樣兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b-4ac0時，方程右邊是一個負(fù)數(shù)，而方程的左邊（x+）不可能是一個負(fù)數(shù)，因此方程沒有實(shí)數(shù)根。由此可知，一元二次方程ax+bx+c=0的根的情況可由b-4ac來判定，這樣我們不解方程就可以判斷方程根的情況。知識點(diǎn)

7、七：列一元二次方程解決實(shí)際問題一元二次方程在生活和生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用。在應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問題時，關(guān)鍵是注意數(shù)量關(guān)系的分析后找出相等關(guān)系。再設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)列出方程。得到方程的解后，還必須檢驗(yàn)是否符合題意?！局R延伸】 例1 把3x2-7xy-6y2-10x+8y+8分解因式. 解析 原式=3x2-(7y+10)x-(6y2-8y2-8), 令 3x2-(7y+10)x-(6y2-8y-8)=0, 則=-(7y+10)2-43-(6y2-8y-8) =121y2+44y+4 =(11y+2)20. 于是方程兩根x1,2= 即x1=3y+2,x2=- 原式=3(x-3y-2)(x+) =(

8、x-3y-2)(3x+2y-4).點(diǎn)評 二元二次多項(xiàng)式可整理成關(guān)于x(或y)的二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解,二次三項(xiàng)式又可以通過求關(guān)于x(或y)的一元二次方程的根來分解. 例2 已知凸4n+2邊形A1A2A4n+2(n N)各內(nèi)角都是30的整數(shù)倍,已知關(guān)于x的方程 均有實(shí)根,求這凸4n+2邊形各內(nèi)角的度數(shù). 解析 各內(nèi)角只能是30,60,90,120,150, 正弦值只能取,1. 若sinA1=,sinA2,sinA3, 方程的判別式1=4(sin2A1-sinA2)4(-)0.方程無實(shí)根,與已知矛盾,故sinA1. 同理sinA2,sinA3; 若sinA1=,則sinA2,sinA3, 方程的判

9、別式1=4(sin2A1-sinA2)=4(-)0,y4, 即ABSPAB4,其最小值為4.點(diǎn)評 本題是利用判別式解幾何題,關(guān)鍵是據(jù)已知條件和圖形的數(shù)量特征,建立一個一元二次方程,然后,由實(shí)根存在的條件,使問題得到解決.【復(fù)習(xí)小結(jié)】 一般地，當(dāng)一元二次方程一次項(xiàng)系數(shù)為0時（+c=0），應(yīng)選用直接開平方法；若常數(shù)項(xiàng)為0（ +bx=0），應(yīng)選用因式分解法；若一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都不為0 (+bx+c=0），先化為一般式，看一邊的整式是否容易因式分解，若容易，宜選用因式分解法，不然選用公式法；不過當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)是1，且一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)時，用配方法也較簡單。 公式法雖然是萬能的，對任何一元二次方程都適用，但不一定是最簡單的，因此在解方程時我們首先考慮能否應(yīng)用“直接開平方