(數(shù)學(xué)建模)第三章-簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型PPT課件

1、第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型 3.1 存貯模型存貯模型 3.2 生豬的出售時(shí)機(jī)生豬的出售時(shí)機(jī) 3.3 森林救火森林救火 3.4 最優(yōu)價(jià)格最優(yōu)價(jià)格 3.5 血管分支血管分支 3.6 消費(fèi)者均衡消費(fèi)者均衡 3.7 冰山運(yùn)輸冰山運(yùn)輸 現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問題現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問題 靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)不是函數(shù)) 建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根 據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù) 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法 靜靜 態(tài)態(tài) 優(yōu)優(yōu) 化化 模模 型型 3.1 存貯模型

2、存貯模型 問問 題題 配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè) 備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠 生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。 已知某產(chǎn)品日需求量已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)元，貯存費(fèi) 每日每件每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn) 一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最

3、小。 要要 求求 不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與 需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。 問題分析與思考問題分析與思考 每天生產(chǎn)一次每天生產(chǎn)一次，每次，每次100件，無(wú)貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)件，無(wú)貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)5000元。元。 日需求日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件元，貯存費(fèi)每日每件1元。元。 10天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次，每次，每次1000件，貯存費(fèi)件，貯存費(fèi)900+800+100 =4500 元，準(zhǔn)備費(fèi)元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)元，總計(jì)9500元。元。 50天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次，每次，每次50

4、00件，貯存費(fèi)件，貯存費(fèi)4900+4800+100 =122500元，準(zhǔn)備費(fèi)元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)元，總計(jì)127500元。元。 平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用950元元 平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用2550元元 1010天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎? ? 每天費(fèi)用每天費(fèi)用5000元元 這是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。這是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。 顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù) 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)每天總費(fèi)用的平均值每天總費(fèi)用的平均值 周期短，產(chǎn)量小周期短，產(chǎn)量小 周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大 問題分析與思考問題分析

5、與思考 貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多 準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多 存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小 模模 型型 假假 設(shè)設(shè) 1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r； 2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為 c2； 3. T天生產(chǎn)一次（周期）天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量件，當(dāng)貯存量 為零時(shí)，為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即到來(lái)（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；件產(chǎn)品立即到來(lái)（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）； 建建 模模 目目 的的 設(shè)設(shè) r, c1, c2 已知，求已知，求

6、T, Q 使每天總費(fèi)用的平均值最小。使每天總費(fèi)用的平均值最小。 4. 為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。 模模 型型 建建 立立 0t q 貯存量表示為時(shí)間的函數(shù)貯存量表示為時(shí)間的函數(shù) q(t) T Q r t=0生產(chǎn)生產(chǎn)Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以 需求速率需求速率r遞減，遞減，q(T)=0. 一周期一周期 總費(fèi)用總費(fèi)用 T Q ccC 2 21 每天總費(fèi)用平均每天總費(fèi)用平均 值（目標(biāo)函數(shù)）值（目標(biāo)函數(shù)） 2 )( 21 rTc T c T C TC 離散問題連續(xù)化離散問題連續(xù)化 Acdttqc T 2 0 2 )( 一周期貯存費(fèi)為一周

7、期貯存費(fèi)為 A=QT/2 2 2 21 rT cc rTQ 模型求解模型求解 Min 2 )( 21 rTc T c TC求求 T 使使 0 dT dC 2 1 2 c rc rTQ 2 1 2 rc c T 模型分析模型分析 QTc, 1 QTc, 2 QTr, 模型應(yīng)用模型應(yīng)用c1=5000, c2=1，r=100 T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答問題回答問題 經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式公式） 2 1 2 rc c T 2 1 2 c rc rTQ 每天需求量每天需求量 r，每次訂貨費(fèi)，每次訂貨費(fèi) c1,每天每件貯存費(fèi)每天每件貯存費(fèi)

8、c2 ， 用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形 不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型 問：為什么不考慮生產(chǎn)費(fèi)用？在什么條件下才不考慮？問：為什么不考慮生產(chǎn)費(fèi)用？在什么條件下才不考慮？ T天訂貨一次天訂貨一次(周期周期), 每次訂貨每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到件，當(dāng)貯存量降到 零時(shí)，零時(shí)，Q件立即到貨。件立即到貨。 允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型 A B 0 q Q r T1t 當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失出現(xiàn)缺貨，造成損失 原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)Q件件 立即生產(chǎn)出來(lái)立即生產(chǎn)出來(lái)(或立即到貨或立即到貨)

9、 現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費(fèi)每天每件缺貨損失費(fèi) c3 , 缺貨需補(bǔ)足缺貨需補(bǔ)足 T 1 rTQ Acdttqc T 2 0 2 1 )( 一周期一周期 貯存費(fèi)貯存費(fèi) Bcdttqc T T 33 1 )( 一周期一周期 缺貨費(fèi)缺貨費(fèi) 周期周期T, t=T1貯存量降到零貯存量降到零 2 )( 2 2 1 3 1 21 TTr c QT ccC 一周期總費(fèi)用一周期總費(fèi)用 rT QrTc rT Qc T c T C QTC 2 )( 2 ),( 2 3 2 21 0,0 Q C T C 每天總費(fèi)用每天總費(fèi)用 平均值平均值 （目標(biāo)函數(shù)）（目標(biāo)函數(shù)） 2 13121 )( 2

10、 1 2 1 TTrcQTccC 一周期總費(fèi)用一周期總費(fèi)用 Min),(QTC求求 T ,Q 使使 3 32 2 1 2 c cc rc c T 32 3 2 1 2 cc c c rc Q 為與不允許缺貨的存貯模型為與不允許缺貨的存貯模型 相比，相比，T記作記作T , Q記作記作Q 2 1 2 rc c T 2 1 2 c rc rTQ 不允不允 許缺許缺 貨模貨模 型型 Q QTT, 3 32 c cc 記記 1QQTT, 1 3 cQQTT , 3 32 2 1 2 c cc rc c T 32 3 2 1 2 cc c c rc Q 允許允許 缺貨缺貨 模型模型 不不 允允 許許 缺缺

11、 貨貨 3 c 3 32 2 1 2 c cc rc c T 32 3 2 1 2 cc c c rc Q 允許允許 缺貨缺貨 模型模型 0 q Q r T1tT 注意：缺貨需補(bǔ)足注意：缺貨需補(bǔ)足 Q 每周期初的存貯量每周期初的存貯量 R 每周期的生產(chǎn)量每周期的生產(chǎn)量 R （或訂貨量）（或訂貨量） 3 32 2 1 2 c cc c rc TrR Q不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量(或訂貨量或訂貨量) QQR 3.2 生豬的出售時(shí)機(jī)生豬的出售時(shí)機(jī) 飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)元資金，用于飼料、人力、設(shè) 備，備，估計(jì)估計(jì)可使可使80千克重的生豬體重增加千克重的生豬

12、體重增加2公斤。公斤。 問問 題題 市場(chǎng)價(jià)格目前為每千克市場(chǎng)價(jià)格目前為每千克8元，但是元，但是預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)每天會(huì)降每天會(huì)降 低低 0.1元，問生豬應(yīng)何時(shí)出售。元，問生豬應(yīng)何時(shí)出售。 如果如果估計(jì)估計(jì)和和預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。 分分 析析 投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨 時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大 trtgttQ4)80)(8()( 求求 t 使使Q(t)最大最大 rg gr t 2404 10天后出售，可多得利潤(rùn)天后出售，可多得利潤(rùn)20元元 建模及求解建模及求解

13、 生豬體重生豬體重 w=80+rt 出售價(jià)格出售價(jià)格 p=8-gt 銷售收入銷售收入 R=pw 資金投入資金投入 C=4t 利潤(rùn)利潤(rùn) Q=R-C=pw -C 估計(jì)估計(jì)r=2， 若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為808=640（元）（元） t 天天 出售出售 =10 Q(10)=660 640 g=0.1 敏感性分析敏感性分析 研究研究 r, g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 估計(jì)估計(jì)r=2， g=0.1 rg gr t 2404 設(shè)設(shè)g=0.1不變不變 5 . 1, 6040 r r r t t 對(duì)對(duì)r 的（相對(duì)）敏感度的（相對(duì)）敏感度 rr tt rtS / / ),( t

14、r dr dt 3 6040 60 ),( r rtS 生豬每天體重增加量生豬每天體重增加量r 增加增加1%，出售時(shí)間推遲，出售時(shí)間推遲3%。 1.522.53 0 5 10 15 20 r t 敏感性分析敏感性分析 估計(jì)估計(jì)r=2， g=0.1 rg gr t 2404 研究研究 r, g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 設(shè)設(shè)r=2不變不變 15. 00, 203 g g g t t 對(duì)對(duì)g的（相對(duì)）敏感度的（相對(duì)）敏感度 t g dg dt gg tt gtS / / ),( 3 203 3 ),( g gtS 生豬價(jià)格每天的降低量生豬價(jià)格每天的降低量g增加增加1%，出售時(shí)間提

15、前，出售時(shí)間提前3%。 0.060.080.10.120.140.16 0 10 20 30 g t 強(qiáng)健性分析強(qiáng)健性分析 保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售 由由 S(t,r)=3 建議過(guò)一周后建議過(guò)一周后(t=7)重新估計(jì)重新估計(jì) , 再作計(jì)算。再作計(jì)算。 wwpp, 研究研究 r, g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 w=80+rt w = w(t) 4)()()()(twtptwtp p=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 則則 （30%） 2 . 28 . 1 w137 t 0)( t Q 每天利潤(rùn)的增值

16、每天利潤(rùn)的增值 每天投入的資金每天投入的資金 ttwtptQ4)()()( 3.3 森林救火森林救火 森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。 隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大； 隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。 綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。 問題問題 分析分析 問題問題 記隊(duì)員人數(shù)記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻時(shí)刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費(fèi)損失費(fèi)f1(x)是是

17、x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費(fèi)救援費(fèi)f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定. 存在恰當(dāng)?shù)拇嬖谇‘?dāng)?shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小 關(guān)鍵是對(duì)關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè). 問題問題 分析分析 失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 畫出時(shí)刻畫出時(shí)刻 t 森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形 t1t20t B B(t2) 分析分析B(t)比較困難比較困難, 轉(zhuǎn)而討論森林燒毀轉(zhuǎn)而討論森林燒毀 速度速度dB/dt.

18、模型假設(shè)模型假設(shè) 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)）燒毀單位面積損失費(fèi)） 1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢(shì)蔓延速度）火勢(shì)蔓延速度） 2）t1 t t2, 降為降為 - x ( 為隊(duì)員的平均滅火為隊(duì)員的平均滅火速度）速度） 4）每個(gè)）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用一次性費(fèi)用c3 假設(shè)假設(shè)1） 的解釋的解釋 r B 火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心， 均勻向四周呈圓形蔓延，均勻向四周呈圓形蔓延， 半徑半徑 r與與 t 成正比成正比 面積面積 B與與 t2成正比，成正比，

19、dB/dt與與 t成正比成正比. x b tt 12 2 0 2 )()( t dttBtB 模型建立模型建立 dt dB b 0 t1t t2 x 假設(shè)假設(shè)1） , 1 tb xcttxcxftBcxf 31222211 )()(),()( 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用)()()( 21 xfxfxC 假設(shè)假設(shè)3）4） x t tt 1 12 假設(shè)假設(shè)2） )(222 2 1 22 12 x ttbt 0 dx dC xc x xtc x tctc xC 3 12 2 1 2 1 2 11 )(22 )( 模型建立模型建立目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用 模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最

20、小最小 2 3 12 2 11 2 2 c tctc x 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 / 是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù) dt dB b 0t1t2t x 其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù) 模型模型 應(yīng)用應(yīng)用 c1,c2,c3已知已知, t1可估計(jì)可估計(jì), c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果結(jié)果 解釋解釋 2 3 12 2 11 2 2 c tctc x c1燒毀單位面積損失費(fèi)燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個(gè)每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi), c3每個(gè)每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用隊(duì)員一次性費(fèi)用, t1開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻, 火火勢(shì)蔓延

21、速度勢(shì)蔓延速度, 每個(gè)每個(gè)隊(duì)員平均滅火隊(duì)員平均滅火速度速度. 為什么為什么? ? , 可可設(shè)置一系列數(shù)值設(shè)置一系列數(shù)值 由模型決定隊(duì)員數(shù)量由模型決定隊(duì)員數(shù)量x 3.4 最優(yōu)價(jià)格最優(yōu)價(jià)格 問題問題 根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷平根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷平 衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大 假設(shè)假設(shè) 1）產(chǎn)量等于銷量，記作）產(chǎn)量等于銷量，記作 x 2）收入與銷量）收入與銷量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) p 即價(jià)格即價(jià)格 3）支出與產(chǎn)量）支出與產(chǎn)量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) q 即成本即成本 4）銷量）銷量 x 依賴于價(jià)格依賴于價(jià)格 p, x(p)是減函

22、數(shù)是減函數(shù) 建模建模 與求解與求解 pxpI)(收入收入 qxpC)(支出支出 )()()(pCpIpU 利潤(rùn)利潤(rùn) 進(jìn)一步設(shè)進(jìn)一步設(shè)0,)(babpapx 求求p使使U(p)最大最大 0 * pp dp dU 使利潤(rùn)使利潤(rùn) U(p)最大的最優(yōu)價(jià)格最大的最優(yōu)價(jià)格 p*滿足滿足 * pppp dp dC dp dI 最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到 pxpI)( qxpC)( bpapx)( )(bpaqp )()()(pCpIpU b aq p 22 * 建模建模 與求解與求解 邊際收入邊際收入邊際支出邊際支出 結(jié)果結(jié)果 解釋解釋 b aq p 22 *

23、0,)(babpapx q / 2 成本的一半成本的一半 b 價(jià)格上升價(jià)格上升1單位時(shí)銷量的下降單位時(shí)銷量的下降 幅度（需求對(duì)價(jià)格的敏感度）幅度（需求對(duì)價(jià)格的敏感度） a 絕對(duì)需求絕對(duì)需求( p很小時(shí)的需求很小時(shí)的需求) b p* a p* 思考：如何得到參數(shù)思考：如何得到參數(shù)a, b? 3.5 血血 管管 分分 支支 背背 景景 機(jī)體提供能量維持血液在血管中的流動(dòng)機(jī)體提供能量維持血液在血管中的流動(dòng) 給血管壁以營(yíng)養(yǎng)給血管壁以營(yíng)養(yǎng)克服血液流動(dòng)的阻力克服血液流動(dòng)的阻力 消耗能量取決于血管的幾何形狀消耗能量取決于血管的幾何形狀 在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何形狀在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何形狀 已經(jīng)達(dá)到能

24、量最小原則已經(jīng)達(dá)到能量最小原則 研究在能量最小原則下，血管分支處研究在能量最小原則下，血管分支處 粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度 問問 題題 模型假設(shè)模型假設(shè) 一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對(duì)稱地處于同一平面一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對(duì)稱地處于同一平面 血液流動(dòng)近似于粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)血液流動(dòng)近似于粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng) 血液給血管壁的能量隨管血液給血管壁的能量隨管 壁的內(nèi)表面積和體積的增壁的內(nèi)表面積和體積的增 加而增加，管壁厚度近似加而增加，管壁厚度近似 與血管半徑成正比與血管半徑成正比 qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 q=2q

25、1r/r1, ? 考察血管考察血管AC與與CB, CB 粘性流體在剛粘性流體在剛 性管道中運(yùn)動(dòng)性管道中運(yùn)動(dòng) l pr q 8 4 pA,C壓力差，壓力差， 粘性系數(shù)粘性系數(shù) 克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量 4 2 1 8 d lq pqE 提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量 21, 2 lbrE 管壁內(nèi)表面積管壁內(nèi)表面積 2 rl 管壁體積管壁體積 (d2+2rd)l, 管壁厚度管壁厚度d與與r成正比成正比 模型假設(shè)模型假設(shè) qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 模型建立模型建立 qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 4 2 1 8 d lq pqE 克

26、服阻力消耗能量克服阻力消耗能量 21, 2 lbrE 提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量 11 4 1 2 1 42 21 2)/()/(lbrrkqlbrrkqEEE sin/,/ 1 HLltgHLl sin/2)/( )tan/)(/(),( 1 4 1 2 1 42 1 Hbrrkq HLbrrkqrrE 機(jī)體為血流提供能量機(jī)體為血流提供能量 模型求解模型求解 qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 0,0 1 r E r E 0/4 0/4 5 1 2 1 1 521 rkqrb rkqrb 4 1 1 4 r r 0 E 4 1 2cos r r 4 4 2cos

27、21 00 1 4937,32. 1/26. 1rr sin/2)/( )tan/)(/(),( 1 4 1 2 1 42 1 Hbrrkq HLbrrkqrrE 模型模型 解釋解釋 生物學(xué)家：結(jié)果與觀察大致吻合生物學(xué)家：結(jié)果與觀察大致吻合 大動(dòng)脈半徑大動(dòng)脈半徑rmax, 毛細(xì)血管半徑毛細(xì)血管半徑rmin 大動(dòng)脈到毛細(xì)血管有大動(dòng)脈到毛細(xì)血管有n次分岔次分岔 4 1 1 4 r r 4 min max 4 n r r 5 minmax 41000/rr 21 00 1 4937 32. 1/26. 1 rr 觀察：狗的血管觀察：狗的血管 )4(5n 3025n 血管總條數(shù)血管總條數(shù) 973025

28、 10103222 n 推論推論n=？ q2 U(q1,q2) = c q1 0 1 l 2 l 3 l 3.6 消費(fèi)者均衡消費(fèi)者均衡 問題問題 消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛程度用無(wú)差別消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛程度用無(wú)差別 曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢，曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢， 購(gòu)買這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。購(gòu)買這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。 設(shè)甲乙數(shù)量為設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2, 消消 費(fèi)者的無(wú)差別曲線族費(fèi)者的無(wú)差別曲線族 (單調(diào)減、下凸、不相單調(diào)減、下凸、不相 交），記作交），記作 U(q1,q2)=c U(q1,q2) 效用函數(shù)效用函數(shù) 已知甲乙價(jià)格已知甲乙價(jià)

29、格 p1,p2, 有錢有錢s，試分配，試分配s, 購(gòu)買甲乙數(shù)量購(gòu)買甲乙數(shù)量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大. s/p2 s/p1 q2 U(q1,q2) = c q1 0 1 l 2 l 3 l 模型模型 及及 求解求解 已知價(jià)格已知價(jià)格 p1,p2,錢錢 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大 sqpqpts qqUZ 2211 21 . . ),(max ),( 2211 qpqpUL) 2 , 1(0 i q L i 2 1 2 1 p p q U q U 1 2 2 dq dq Kl 幾幾 何何 解解 釋釋 sqpqp 2211

30、 直線直線MN: 最優(yōu)解最優(yōu)解Q: MN與與 l2切點(diǎn)切點(diǎn) 21 / ppK MN 斜率斜率 M Q N 21 / q U q U 0, 0, 0, 0, 0.B 21 2 2 2 2 2 1 2 21 qq U q U q U q U q U 2 1 2 1 p p q U q U 結(jié)果結(jié)果 解釋解釋21 , q U q U 邊際效用邊際效用 消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品 的邊際效用之比恰等于它們的邊際效用之比恰等于它們 價(jià)格之比時(shí)達(dá)到。價(jià)格之比時(shí)達(dá)到。 效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 應(yīng)滿足的條件應(yīng)滿足的條件 A. U(q1,q2) =c 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) q

31、2=q2(q1)單調(diào)減、下凸單調(diào)減、下凸 解釋解釋 B的實(shí)際意義的實(shí)際意義AB 0,)(. 1 1 21 qq U 效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用幾種常用的形式的形式 2 1 2 1 p p q U q U 2 1 22 11 p p qp qp 消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比 與二者價(jià)格之比的平方根成正比。與二者價(jià)格之比的平方根成正比。 U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別表示消費(fèi)者對(duì)甲乙分別表示消費(fèi)者對(duì)甲乙 兩種商品的偏愛程度。兩種商品的偏愛程度。 1,0,. 2 21 qqU 0,)(. 3 2 21 baqbqaU 2 1 2 1

32、 p p q U q U 22 11 qp qp 購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格無(wú)關(guān)。購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格無(wú)關(guān)。 U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別表示對(duì)甲乙分別表示對(duì)甲乙的偏愛程度。的偏愛程度。 思考：如何推廣到思考：如何推廣到 m ( 2) 種商品的情況種商品的情況 效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用幾種常用的形式的形式 3.7 冰山運(yùn)輸冰山運(yùn)輸 背景背景 波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的 成本為每立方米成本為每立方米0.1英鎊。英鎊。 專家建議從專家建議從9600千米遠(yuǎn)的南極用拖船千米遠(yuǎn)的南極用拖船 運(yùn)送冰山，取代淡化海水運(yùn)送冰山，取

33、代淡化海水 從經(jīng)濟(jì)角度研究冰山運(yùn)輸?shù)目尚行?。從?jīng)濟(jì)角度研究冰山運(yùn)輸?shù)目尚行浴?建模準(zhǔn)備建模準(zhǔn)備1. 日租金和最大運(yùn)量日租金和最大運(yùn)量 船船 型型 小小 中中 大大 日租金（英鎊）日租金（英鎊） 最大運(yùn)量（米最大運(yùn)量（米3） 4.06.28.0 5 105106107 2. 燃料消耗（英鎊燃料消耗（英鎊/千米）千米） 3. 融化速率（米融化速率（米/天）天） 與南極距離與南極距離 (千米千米) 船速船速(千米千米/小時(shí)小時(shí)) 0 1000 4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 冰山體積冰山體積(米米3) 船速船速(千米千米/小時(shí)小時(shí)) 105 10

34、6 107 1 3 5 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8 建模準(zhǔn)備建模準(zhǔn)備 建模建模 目的目的 選擇船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后每立選擇船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后每立 米水的費(fèi)用最低，并與淡化海水的費(fèi)用比較米水的費(fèi)用最低，并與淡化海水的費(fèi)用比較 模型模型 假設(shè)假設(shè) 航行過(guò)程中船速不變，總距離航行過(guò)程中船速不變，總距離9600千米千米 冰山呈球形，球面各點(diǎn)融化速率相同冰山呈球形，球面各點(diǎn)融化速率相同 到達(dá)目的地后，每立方米冰可融化到達(dá)目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水立方米水 建模建模 分析分析 目的地目的地 水體積水體積 運(yùn)輸

35、過(guò)程運(yùn)輸過(guò)程 融化規(guī)律融化規(guī)律 總費(fèi)用總費(fèi)用 目的地目的地 冰體積冰體積 初始冰初始冰 山體積山體積 燃料消耗燃料消耗 租金租金 船型船型, 船速船速 船型船型 船型船型, 船速船速 船型船型 4000),1 ( 40000),1 ( 2 1 dbua dbuda r 4 . 0, 2 . 0,105 . 6 2 5 1 baa 模模 型型 建建 立立 1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 船速船速u (千米千米/小時(shí)小時(shí)) 與南極距離與南極距離d(千米千米) 融化速率融化速率r(米米/天）天） r是是 u 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)； d4000時(shí)時(shí)u與與d無(wú)關(guān)無(wú)關(guān). utd24 航行航行 t 天天

36、u tu u ttuu r t 6 1000 ),4 . 01 (2 . 0 6 1000 0,)4 . 01 (1056. 1 3 第第t天融天融 化速率化速率 0 1000 4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 u r d 1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 t k kt rRR 1 0冰山初始半徑冰山初始半徑R0，航行，航行t天時(shí)半徑天時(shí)半徑 冰山初始體積冰山初始體積 3 00 3 4 RV 3 3 4 tt RV t天時(shí)體積天時(shí)體積 總航行天數(shù)總航行天數(shù) 3 1 3 0 0 4 3 3 4 ),( t k k r V tVuV 選定選定u,V

37、0, 航行航行t 天時(shí)冰山體積天時(shí)冰山體積 3 1 3 0 0 4 3 3 4 ),( T t t r V VuV 到達(dá)目的地到達(dá)目的地 時(shí)冰山體積時(shí)冰山體積 uu T 400 24 9600 1, 6, 3 . 0 321 ccc 1 4 3 3 4 log)6(2 . 7 ),()log(24),( 3 1 3 0 10 3010210 t k k r V uu ctVuVcucutVuq ),)(log( 310211 cVcucq 2. 燃料消耗燃料消耗 105 106 107 1 3 5 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8 V u q1 燃料消耗燃料消耗 q1(英鎊英鎊/千米千米) q1對(duì)對(duì)u線性線性, 對(duì)對(duì)log10V線性線性 選定