工程力學(xué)-第9章

1、彎曲剛度問題彎曲剛度問題 第9章 基本概念基本概念 梁的剛度設(shè)計梁的剛度設(shè)計 結(jié)論與討論結(jié)論與討論 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 返回總目錄返回總目錄 第第9章章 彎曲剛度問題彎曲剛度問題 梁在彎矩作用下發(fā)生彎曲變形。如果在彈性范圍內(nèi)加載，梁在彎矩作用下發(fā)生彎曲變形。如果在彈性范圍內(nèi)加載， 梁的軸線在梁彎曲后變成一連續(xù)光滑曲線。這一連續(xù)光滑梁的軸線在梁彎曲后變成一連續(xù)光滑曲線。這一連續(xù)光滑 曲線稱為曲線稱為彈性曲線彈性曲線（elastic curve），或），或撓度曲線撓度曲線 （deflection curve），簡稱），簡稱彈性線彈性線或或撓曲線撓曲線。 基本概念基本概念

2、根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，根據(jù)上一章所得到的結(jié)果， 彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點 的曲率與這一點處橫截面上的的曲率與這一點處橫截面上的 彎矩、彎曲剛度之間存在下列彎矩、彎曲剛度之間存在下列 關(guān)系：關(guān)系： EI M 1 基本概念基本概念 梁的撓度與轉(zhuǎn)角梁的撓度與轉(zhuǎn)角 基本概念基本概念 基本概念基本概念 基本概念基本概念 tan d d x w x w d d 基本概念基本概念 梁的位移與約束密切相關(guān)梁的位移與約束密切相關(guān) 基本概念基本概念 基本概念基本概念 小撓度微分方程及其積小撓度微分方程及其積 分分 第第9章章 彎曲剛度問題彎曲剛度問題 返回首頁返回首頁返回總目錄返回總

3、目錄 力學(xué)中的曲率公式力學(xué)中的曲率公式 數(shù)學(xué)中的曲率公式數(shù)學(xué)中的曲率公式 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負(fù)彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負(fù) 號與號與w坐標(biāo)的取向有關(guān)。坐標(biāo)的取向有關(guān)。 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 EI M x w 2 2 d d EI M x w 2 2 d d 00 d d 2 2 M x w , 00 d d 2 2 M x w , 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 采用向下的采用向下的w坐標(biāo)系，有坐標(biāo)系，有 對于等截面梁，應(yīng)用確定彎矩方程的方法，寫出彎矩方程對于等截面梁，應(yīng)用確定彎矩方程的

4、方法，寫出彎矩方程 M(x)，代入上式后，分別對，代入上式后，分別對x作不定積分作不定積分,得到包含積分常數(shù)的撓得到包含積分常數(shù)的撓 度方程與轉(zhuǎn)角方程：度方程與轉(zhuǎn)角方程： 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 積分常數(shù)的確定積分常數(shù)的確定 約束條件與連續(xù)條件約束條件與連續(xù)條件 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約 束條件是指約束對于撓度和轉(zhuǎn)角的限制：束條件是指約束對于撓度和轉(zhuǎn)角的限制： 在固定鉸支座和輥軸支座處，約束條件為撓度等在固定鉸支座和輥軸支座處，約束條件為撓度等 于零：于零：w=0

5、; 連續(xù)條件是指，梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線連續(xù)條件是指，梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線 將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中 力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角對應(yīng)相力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角對應(yīng)相 等：等：w1= w2，1 12 2等等。等等。 在固定端處，約束條件為撓度和轉(zhuǎn)角都等于零：在固定端處，約束條件為撓度和轉(zhuǎn)角都等于零： w=0，0。 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 例題例題1 1 求：加力點求：加力點B的撓度和支承的撓度和支承 A、C處的轉(zhuǎn)角。處的轉(zhuǎn)角。 已知：簡支梁受力如圖示。已知：簡支梁受力

6、如圖示。 FP、EI、l均為已知。均為已知。 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 解：解：1 確定梁約束力確定梁約束力 因為因為B處作用有集中力處作用有集中力FP，所以需要分為，所以需要分為AB和和BC兩段兩段 建立彎矩方程。建立彎矩方程。 首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得 梁在支承梁在支承A、C二處的約束力分別二處的約束力分別 如圖中所示。如圖中所示。 2 分段建立梁的彎矩方程分段建立梁的彎矩方程 在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在0l/4范圍內(nèi)各截面上的范圍內(nèi)各截面上的 彎矩，只需要考慮左端彎矩，只需要考慮左端A處的約束力處的約束力3FP/4；而

7、確定梁在；而確定梁在l/4 l范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處的約束力處的約束力 3FP/4和荷載和荷載FP。 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 AB段段 解：解： 2 分段建立梁的彎矩方程分段建立梁的彎矩方程 BC段段 于是，于是，AB和和BC兩段的彎矩方程分別為兩段的彎矩方程分別為 1P 3 0 44 l MxF xx 2PP 3 444 ll MxF xFxxl 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 解：解： 3 將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分 2 1 1P 2 d3 0 d

8、44 wl EIMxF xx x 1P 3 0 44 l MxF xx 2PP 3 444 ll MxF xFxxl 2 2 2PP 2 d3 d444 wll EIMxF xFxxl x 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 解：解： 3 將彎矩表達(dá)式代入小將彎矩表達(dá)式代入小 撓度微分方程并分別積分撓度微分方程并分別積分 積分后，得積分后，得 2 1 1P 2 d3 0 d44 wl EIMxF xx x 2 2 2PP 2 d3 d444 wll EIMxF xFxxl x 1 2 P1 8 3 CxFEI 2 2 P 2 P2 42 1 8 3 C l xFxFEI 11 3 P

9、1 8 1 DxCxFEIw 22 3 P 3 P2 46 1 8 1 DxC l xFxFEIw 其中，其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和 AB段與段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定確定。段梁交界處的連續(xù)條件確定確定。 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 解：解： 4 利用約束條件和連續(xù)利用約束條件和連續(xù) 條件確定積分常數(shù)條件確定積分常數(shù) 1 2 P1 8 3 CxFEI 2 2 P 2 P2 42 1 8 3 C l xFxFEI 11 3 P1 8 1 DxCxFEIw 22 3 P 3 P2 46 1 8 1 DxC l

10、 xFxFEIw 在支座在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即兩處撓度應(yīng)為零，即 x0， w10; xl， w20 因為，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以因為，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與段與BC 段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等: : xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 解：解： 4 利用約束條件和連續(xù)利用約束條件和連續(xù) 條件確定積分常數(shù)條件確定積分常數(shù) 1 2 P1 8 3 CxFEI 2 2 P 2 P2 42 1 8 3 C l xFxFEI 11 3 P1 8 1 DxC

11、xFEIw 22 3 P 3 P2 46 1 8 1 DxC l xFxFEIw x0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2 D1D2 =0 2 P21 128 7 lFCC 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 解：解： 5 確定轉(zhuǎn)角方程和撓度確定轉(zhuǎn)角方程和撓度 方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn) 角角 將所得的積分常數(shù)代入后將所得的積分常數(shù)代入后, 得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為： 22 P 37 8128 F xxl EI xlx EI F xw 23P 128 7 8 1 2 22 P 31

12、7 824128 Fl xxxl EI xl l xx EI F xw 2 3 3P 128 7 46 1 8 1 據(jù)此，可以算得加力點據(jù)此，可以算得加力點B處的撓度和支承處處的撓度和支承處A和和C的轉(zhuǎn)角分的轉(zhuǎn)角分 別為別為 EI lF wB 3 P 256 3 2 P 7 128 A F l EI 2 P 5 128 B F l EI 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 確定約束力確定約束力, ,判斷是否需要分段以及分幾段判斷是否需要分段以及分幾段 分段建立撓度微分方程分段建立撓度微分方程 微分方程的積分微分方程的積分 利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)利用約束條件和連續(xù)條件確定積

13、分常數(shù) 確定確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度 與轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)角 積分法小結(jié)積分法小結(jié) 分段寫出彎矩方程分段寫出彎矩方程 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 梁的剛度設(shè)梁的剛度設(shè) 計計 第第9章章 彎曲剛度問題彎曲剛度問題 返回首頁返回首頁返回總目錄返回總目錄 剛度設(shè)計準(zhǔn)則剛度設(shè)計準(zhǔn)則 剛度設(shè)計舉例剛度設(shè)計舉例 梁的剛度設(shè)計梁的剛度設(shè)計 剛度設(shè)計準(zhǔn)則剛度設(shè)計準(zhǔn)則 梁的剛度設(shè)計梁的剛度設(shè)計 對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會影響對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會影響 構(gòu)件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會影響齒輪構(gòu)件或零件的正常工作。

14、例如齒輪軸的撓度過大會影響齒輪 的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過 大會影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過大會影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過 大會增加軸承的磨損等等。大會增加軸承的磨損等等。 梁的剛度設(shè)計梁的剛度設(shè)計 對于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，對于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計就是剛度設(shè)計就是 根據(jù)對零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)根據(jù)對零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn) 角角(或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角)限制在一定范圍內(nèi)，限制在一定范圍內(nèi)， 即

15、滿足彎曲即滿足彎曲剛度設(shè)計準(zhǔn)則剛度設(shè)計準(zhǔn)則(criterion for stiffness design)： 上述二式中上述二式中 w 和和 分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角， 均根據(jù)對于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。均根據(jù)對于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。 max 梁的剛度設(shè)計梁的剛度設(shè)計 剛度設(shè)計舉例剛度設(shè)計舉例 梁的剛度設(shè)計梁的剛度設(shè)計 B 梁的剛度設(shè)計梁的剛度設(shè)計 B EI laF B 3 P B EI laF B 3 P B B B 111mmm10111m 100.52063 10180212064 3- 4 9 3 d 結(jié)論與討論結(jié)論與討論 第第9章章

16、彎曲剛度問題彎曲剛度問題 返回首頁返回首頁返回總目錄返回總目錄 結(jié)論與討論結(jié)論與討論 關(guān)于變形和位移的相依關(guān)系關(guān)于變形和位移的相依關(guān)系 二梁的受力二梁的受力( (包括載荷與約束力包括載荷與約束力) )是否相同？是否相同？ 二梁的彎矩是否相同？二梁的彎矩是否相同？ 二梁的變形是否相同？二梁的變形是否相同？ 二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？ 正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的 相依關(guān)系。相依關(guān)系。 結(jié)論與討論結(jié)論與討論 BC段有沒有變形？有沒有位移？段有沒有變形？有沒有位移？沒有變形沒有變形 為什么會有位移？為什么會有位移？ FP AB

17、C 總體變形是微段變形累加的結(jié)果總體變形是微段變形累加的結(jié)果; ; 有位移不一定有變形。有位移不一定有變形。 結(jié)論與討論結(jié)論與討論 提高剛度的途徑提高剛度的途徑 結(jié)論與討論結(jié)論與討論 提高梁的剛度主要是指減小梁的彈性位移。而彈性位移不僅與載荷提高梁的剛度主要是指減小梁的彈性位移。而彈性位移不僅與載荷 有關(guān)，而且與桿長和梁的彎曲剛度（有關(guān)，而且與桿長和梁的彎曲剛度（EI）有關(guān)。對于梁，其長度對彈）有關(guān)。對于梁，其長度對彈 性位移影響較大，例如對于集中力作用的情形，撓度與梁長的三次方性位移影響較大，例如對于集中力作用的情形，撓度與梁長的三次方 量級成比例；轉(zhuǎn)角則與梁長的二次方量級成比例。因此減小彈

18、性位移量級成比例；轉(zhuǎn)角則與梁長的二次方量級成比例。因此減小彈性位移 除了采用合理的截面形狀以增加慣性矩除了采用合理的截面形狀以增加慣性矩I外，主要是減小梁的長度外，主要是減小梁的長度l， 當(dāng)梁的長度無法減小時，則可增加中間支座。例如在車床上加工較長當(dāng)梁的長度無法減小時，則可增加中間支座。例如在車床上加工較長 的工件時，為了減小切削力引起的撓度，以提高加工精度，可在卡盤的工件時，為了減小切削力引起的撓度，以提高加工精度，可在卡盤 與尾架之間再增加一個中間支架與尾架之間再增加一個中間支架 結(jié)論與討論結(jié)論與討論 此外，選用彈性模量此外，選用彈性模量E較高的材料也能提高梁的剛度。但是，較高的材料也能提高梁的剛度。但是， 對于各種鋼材，彈性模量的數(shù)值相差甚微，因而與一般鋼材相對