九年級數(shù)學(xué)上冊 第25章解直角三角形復(fù)習(xí)教案 滬科版

1、第25章 解直角三角形復(fù)習(xí)一.教學(xué)內(nèi)容第25章 解直角三角形復(fù)習(xí)二. 重點、難點： 1. 重點： （1）探索直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關(guān)系掌握三角函數(shù)定義式：sinA，cosA，tanA，cotA （2）掌握30、45、60等特殊角的三角函數(shù)值，并會進(jìn)行有關(guān)特殊角的三角函數(shù)值的計算 （3）會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應(yīng)的銳角 2. 難點： （1）通過探索直角三角形邊與邊、角與角、邊與角之間的關(guān)系，領(lǐng)悟事物之間互相聯(lián)系的辯證關(guān)系 （2）能夠運用三角函數(shù)解決與直角形有關(guān)的簡單的實際問題 （3）能綜合運用直角三角形的勾股定理與邊角關(guān)系解決簡單的實際問題，

2、提高數(shù)學(xué)建模能力 三. 知識梳理：1. 銳角三角函數(shù) （1）銳角三角函數(shù)的定義 我們規(guī)定： sinA，cosA，tanA，cotA 銳角的正弦、余弦、正切、余切統(tǒng)稱為銳角的三角函數(shù) （2）用計算器由已知角求三角函數(shù)值或由已知三角函數(shù)值求角度 對于特殊角的三角函數(shù)值我們很容易計算，甚至可以背誦下來，但是對于一般的銳角又怎樣求它的三角函數(shù)值呢？用計算器可以幫我們解決大問題 已知角求三角函數(shù)值； 已知三角函數(shù)值求銳角2. 特殊角的三角函數(shù)值sincostancot30451160由表可知：直角三角形中，30的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半 3. 銳角三角函數(shù)的性質(zhì) （1）0sin1，0cos1（09

3、0） （2）tancot1或tan； （3）tan，cot （4）sincos（90），tancot（90） 4. 解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程叫做解直角三角形 解直角三角形的常見類型有： 我們規(guī)定：RtABC，C90，A、B、C的對邊分別為a、b、c 已知兩邊，求另一邊和兩個銳角； 已知一條邊和一個角，求另一個角和其他兩邊 5. 解直角三角形的應(yīng)用 （1）相關(guān)術(shù)語 鉛垂線：重力線方向的直線 水平線：與鉛垂線垂直的直線，一般情況下，地平面上的兩點確定的直線我們認(rèn)為是水平線 仰角：向上看時，視線與水平線的夾角俯角：向下看時，視線與水平線的夾角 坡角：坡面與水平面的夾

4、角 坡度：坡的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度（坡比） 一般情況下，我們用h表示坡的鉛直高度，用l表示水平寬度，用i表示坡度，即：itan 方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角叫做方向角如圖： （2）應(yīng)用解直角三角形來解決實際問題時，要注意： 計算結(jié)果的精確度要求，一般說來中間量要多取一位有效數(shù)字 在題目中求未知時，應(yīng)盡量選用直接由已知求未知 遇到非直角三角形時，常常要作輔助線才能應(yīng)用解直角三角形知識來解答 其方法可以歸納為：已知斜邊用正弦或余弦，已知直角邊用正切和余切，能夠使用乘法計算的要盡量選用乘法，盡量直接選用已知條件進(jìn)行計算 注：解直角三角形在現(xiàn)實生活中有廣泛的應(yīng)用

5、，它經(jīng)常涉及到測量、工程、航海、航空等，其中包括了一些術(shù)語，一定要根據(jù)題意明白其術(shù)語的含義才能正確解題【典型例題】例1. 已知tan，求的值分析：利用數(shù)形結(jié)合思想，將已知條件tan用圖形表示解：如圖所示，在RtABC中，C90，A，設(shè)BC3k，AC4k，則AB5k sin cos，原式7 例2. 計算（1）sin45cos60；（2）cos245+tan60cos30；（3）；（4） 分析：這里考查的是同學(xué)們對特殊角的三角函數(shù)值的識記情況和關(guān)于根式的計算能力處理辦法是能夠化簡的要先化簡后代入計算，不能化簡的直接代入計算 解：（1）sin45cos60； （2）cos245+tan60cos30

6、（）2+2 （3）32； （4）1sin301 點撥：像上面第3題分子分母要分別處理，第4題要特別注意先化簡再代入計算例3. 已知tan，求的值 分析：可將所求式子的分子、分母都除以cos，轉(zhuǎn)化為含有的式子，再利用tan進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解 解：將式子的分子、分母都除以cos，得 原式7規(guī)律總結(jié)：因為tan所以不等于90，所以cos0，因此分子分母可以同時除以cos實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的目的例4. 等腰三角形的底邊長為6cm，周長為14cm，試求底角的余切值 分析：這是一個在非直角三角形中求銳角的三角函數(shù)值的題目，根據(jù)三角函數(shù)的定義，要先恰當(dāng)?shù)淖鬏o助線（垂線）構(gòu)成直角來解決這個題涉及到等腰三角形，作底邊上的高是解

7、決問題常見辦法解：如圖所示，作等腰三角形ABC，BC為底邊，ADBC于D ABC的周長為14，底邊BC6，腰長ABAC4 又ADBC，BDCD3 在直角三角形ABD中，ADB90， AD cotB 答：等腰三角形底角的余切值是 點撥：計算一個銳角的三角函數(shù)值，應(yīng)在直角三角形中來考慮，如果題中沒有直角三角形，那么就要通過作輔助線來構(gòu)造直角三角形 例5. RtABC，C90，A、B、C的對邊分別為a、b、c，根據(jù)下列條件解直角三角形 （1）a4，c10； （2）b2，A40； （3）c3，B58 分析：（1）題是已知兩邊解直角三角形；（2）、（3）是已知一邊和一角解直角三角形解：（1）b2，由si

8、nA0.4，A23.6，B90A9023.666.4（2）B90A904050，由tanA，得abtanA2tan4020.83911.678， 由cosA，得c2.611（3）A90B905832， 由sinB，得bcsinB3sin5830.8482.544，由cosB，得accosB3cos5830.52991.590點撥：在選擇三角函數(shù)時，一般使用乘法進(jìn)行計算，能夠用三角函數(shù)求其中的未知邊的問題，一般不使用勾股定理求邊例6. 如圖，一艘輪船從離A觀察站的正北20海里處的B港處向正西航行，觀察站第一次測得該船在A地北偏西30的C處，一個半小時后，又測得該船在A地的北偏西的D處，求此船的速

9、度 分析：根據(jù)速度等于路程除以時間，必須求到DC的長，觀察圖形，DCDBCB，而BD在RtABD中可求，BC在RtABC中可求 解：在RtABC中，BCABtan302020（海里） 在RtABD中，BDABtan602060（海里） 所以DCDBCB602040（海里） 船的速度是：401.526（海里） 答：船的速度是26海里 點撥：凡涉及方向角的問題，一定要確定中心，如上題中的方向角就是以A為中心的 例7. 如圖所示，河對岸有一座鐵塔AB，若在河這邊C、D處分別用測角儀器測得塔頂A的仰角為30，45，已知CD30米，求鐵塔的高（結(jié)果保留根號）分析：設(shè)塔高為x米，根據(jù)條件ADB45，可得B

10、DABx米，在直角三角形ABC中，根據(jù)C30，即tanC可求 解：設(shè)ABx，在RtABD中，ADB45，ABBDx 在RtABC中，C30，且BCCD+BD30+x，tanC 所以tan30，即，x（15+15）（米）答：塔高AB為15+15米 例8. 去年某省將地處A、B兩地的兩所大學(xué)合并成了一所綜合性大學(xué)，為了方便A、B兩地師生的交往，學(xué)校準(zhǔn)備在相距2千米的A、B兩地之間修筑一條筆直的公路（即圖中的線段AB），經(jīng)測量，在A地的北偏東60方向，B地的西偏北45的C處有一個半徑為0.7千米的公園，問計劃修筑的這條公路會不會穿過公園？為什么？ 分析：過C作AB的垂線段CM，把AM、BM用含x的代

11、數(shù)式x，x表示，利用AM+MB2列方程得，x+x2，解出CM的長與0.7千米進(jìn)行比較，本題要體會設(shè)出CM的長，列方程解題的思想方法 解：作CMAB，垂足為M，設(shè)CM為x千米，在RtMCB中， MCBMBC45，則MBCMx千米 在RtAMC中，CAM30，ACM60 tanACM AMCMtan60x千米 AM+BM2千米 x+x2 x1 1.73210.732 CM長約為0.732千米，大于0.7千米這條公路不會穿過公園 例9. 如圖是一個大壩的橫斷面，它是一個梯形ABCD，其中壩頂AB3米，經(jīng)測量背水坡AD20米，壩高10米，迎水坡BC的坡度i1：0.6，求迎水坡BC的坡角C和壩底寬CD

12、分析：分析這一個關(guān)于梯形的計算題，要用解直角三角形的知識來解決，一般過上底頂點作下底的垂線就能夠利用直角三角形知識來解決 解：過A、B作AECD、BFCD，垂足是E、F， 根據(jù)題意有AEBF10，四邊形ABFE是矩形，EFAB3 在RtADE中，DE10（米）， 在RtBCF中，CF0.6BF0.6106（米） 所以CDCF+EF+DE10+3+6（9+10）（米）又在RtBCF中，cotC0.6，所以C59例10. 如圖，如果ABC中C是銳角，BC，AC證明：證明：過A作ADBC于D，則ADC是直角三角形，又，評注：本題的結(jié)論反映出三角形的兩邊及其夾角與這個三角形的面積之間的關(guān)系同理還可推出

13、：（三角形面積公式）【模擬試題】（答題時間：40分鐘）1. 在ABC中，C90，B50，AB10，則BC的長為（ ） A. 10tan50 B. 10cos50 C. 10sin50 D. 2. AE，CF是銳角三角形ABC的兩條高，如果AE：CF3：2，則sinA：sinC等于（ ）A. 3：2 B. 2：3 C. 9：4 D. 4：93. 如圖，為了確定一條小河的寬度BC，可在點C左側(cè)的岸邊選擇一點A，使得ACBC，若測得ACa，CAB，則BC的值為（ ） A. asin B. acos C. atan D. acot4. 在RtABC中，C90，下列各式中正確的是（ ） A. sinAs

14、inB B. tanAtanB C. sinAcosB D. cosAcosB5. 已知等腰梯形ABCD中，ADBC，B60，AD2，BC8，則此等腰梯形的周長為（ ）A. 19 B. 20 C. 21 D. 226. 如圖，秋千拉繩OB的長為3m，靜止時踏板到地面的距離BE長為0.6m（踏板的厚度忽略不計）小亮蕩秋千時，當(dāng)秋千拉繩從OB運動到OA時，拉繩OA與鉛垂線OE的夾角為55，請你計算此時秋千踏板離地面的高度AD是多少米（精確到0.1m）7. 如圖，武當(dāng)山風(fēng)景管理區(qū)為提高游客到景點的安全性，決定將到達(dá)該景點的步行臺階進(jìn)行改善，把傾角由44減至32，已知原臺階AB的長為5m（BC所在地面

15、為水平面） （1）改善后的臺階會加長多少？（精確到0.01m）（2）改善后的臺階多占多長一段地面？（精確到0.01m）8. 如圖，沿AC方向開山修渠，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時施工，從AC上一點B取ABD135，BD520m，D45如果要使A，C，E成一條直線，那么開挖點E離D的距離約為多少米?（精確到1m）9. 如圖，某校九年級（3）班的一個學(xué)習(xí)小組進(jìn)行測量小山高度的實踐活動，部分同學(xué)在山腳的點A處測處山腰上一點D的仰角為30，并測得AD的長度為180m，另一部分同學(xué)在小山頂點B處測得山腳A的俯角為45，山腰點D處的俯角為60，請你幫助他們計算小山的高度BC（計算過程和結(jié)果都不取

16、近似值）10. 如圖，汪老師要裝修自己帶閣樓的新居，在搭建客廳到閣樓的樓梯AC時，為避免上升時墻角F碰頭，設(shè)計墻角F到樓梯的豎直距離FG為1.75m，他量得客廳高AB2.8m，樓梯洞口寬AF2m，閣樓陽臺寬EF3m，請你幫助汪老師解決下列問題，要使墻角F到樓梯的豎直距離FG為1.75m，樓梯底端C到墻角D的距離CD是多少米？【試題答案】1. B 點撥：直接利用三角函數(shù)關(guān)系求解2. B3. C 點撥：根據(jù)圖形找出對角關(guān)系4. C 點撥：在銳角三角函數(shù)中，對于任意銳角的正弦值都等于它余角的余弦值5. D6. 在RtAFO中，AFO90， cosAOF ， OFOAcosAOF 又OAOB3m，AO

17、F55， OF3cos551.72m， EF3+0.61.721.9m ADEF1.9m7. 如圖 （1）在RtABC中， ACABsin445sin443.473m 在RtACD中， AD 6.554m， ADAB6.55451.55m 即改善后的臺階會加長1.55m （2）在RtABC中， BCABcos445cos443.597m 在RtACD中， CD 5.558m， BDCDBC5.5583.5971.96m 即改善后的臺階多占1.96m長的一段地面8. 368m9. 過D作DEAC于點E， 作DFBC于點F， 則有DEFC，DFEC DEC90， 四邊形DECF是矩形，DEFC HBABAC45