觀摩鴿巢原理教學(xué)后的思考

1、觀摩鴿巢原理教學(xué)后的思考城關(guān)一小 高紅霞“鴿巢原理”是人教版六年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容。本單元內(nèi)容通過(guò)幾個(gè)直觀的例子，借助實(shí)際操作，向?qū)W生介紹“鴿巢原理”。使學(xué)生在理解“抽屜原理”這一數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，對(duì)一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題加以“模型化”，會(huì)用抽屜原理加以解決。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有一類(lèi)與“存在性”有關(guān)的問(wèn)題，如任意367名學(xué)生中，一定存在兩名學(xué)生，他們?cè)谕惶爝^(guò)生日。在這類(lèi)問(wèn)題中，只需要確定某個(gè)物體（或某個(gè)人）的存在就可以了，并不需要指出是哪個(gè)物體（或哪個(gè)人），也不需要說(shuō)明通過(guò)什么方式把這個(gè)存在的物體（或人）找出來(lái)。這類(lèi)問(wèn)題的依據(jù)我們稱(chēng)為“鴿巢原理”?！傍澇苍怼钡睦碚摫旧聿⒉粡?fù)雜，甚至可以說(shuō)是顯而易見(jiàn)的。但“

2、鴿巢原理”的應(yīng)用卻是千變?nèi)f化的，它可以解決許多有趣的問(wèn)題，并能常常得到一些令人驚異的結(jié)果。本單元用直觀的方法，介紹了“鴿巢原理”的兩種形式，并安排了很多具體問(wèn)題和變式，幫助學(xué)生加深理解，學(xué)會(huì)利用“鴿巢問(wèn)題”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。在此過(guò)程中，讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過(guò)程。實(shí)際上，通過(guò)“說(shuō)理”的方式來(lái)理解“鴿巢原理”的過(guò)程就是一種數(shù)學(xué)證明的雛形，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力，為以后學(xué)習(xí)較嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明做準(zhǔn)備。還要注意培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想，這個(gè)過(guò)程是將具體問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，能從紛繁的現(xiàn)實(shí)素材中找出最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和能力的重要方面。鴿巢原理又稱(chēng)抽屜原理,它是組合數(shù)學(xué)的一個(gè)基

3、本原理,最先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家狹利克雷明確地提出來(lái)的,因此,也稱(chēng)為狹利克雷原理把3個(gè)蘋(píng)果。放進(jìn)2個(gè)抽屜里,一定有一個(gè)抽屜里放了2個(gè)或2個(gè)以上的蘋(píng)果。這個(gè)人所皆知的常識(shí)就是抽屜原理在日常生活中的體現(xiàn)。用它可以解決一些相當(dāng)復(fù)雜甚至無(wú)從下手的問(wèn)題.抽屜原理主要包含以下：抽屜原則一：如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：4=4+0+04=3+1+04=2+2+04=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說(shuō)必有一個(gè)抽屜中至少

4、放有2個(gè)物體。抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中nm，那么必有一個(gè)抽屜至少有：k=n/m+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。教學(xué)片斷一：創(chuàng)設(shè)探究的問(wèn)題情境，激發(fā)好奇心、求知欲猜花色游戲） 師：老師手中有一副撲克牌，去掉兩張王，請(qǐng)5位同學(xué)上來(lái)，每人任意抽出1張。老師總能猜對(duì)這5張牌的花色。第一輪游戲：老師猜：“至少有2張牌的花色是相同的”（課件出示）。生：碰巧的吧？第二輪游戲：老師猜：“至少有2張牌的花色是相同的”（課件將字變顏色）。生：驚訝、不相信。第三輪游戲：老師猜：“至少有2張牌的花色是相同的”（課件將字體放大）。生：開(kāi)始竊竊私語(yǔ)、好奇、質(zhì)疑師：

5、為什么我總能猜對(duì)?其中的奧秘是什么?你想知道嗎？讓我們開(kāi)始今天的探究之旅。反思蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“在人的心靈深處，總有一種把自己看作發(fā)現(xiàn)者、研究者和探索者的固有需要，這種需要在兒童的精神世界中尤其強(qiáng)烈?！痹谡n的開(kāi)始營(yíng)造一個(gè)探究的問(wèn)題情境：“猜花色”，游戲進(jìn)行三遍，老師總用同一句話(huà)猜中。這讓學(xué)生在思想上產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的愿望，充分激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，給學(xué)生造成了“疑而不解又欲解之”的強(qiáng)烈欲望，較之以前的“搶凳子游戲”（學(xué)生往往更多關(guān)注誰(shuí)贏了，較少關(guān)注輸贏背后的數(shù)學(xué)問(wèn)題）少了些熱鬧，多了分理性的思考，能使學(xué)生快速進(jìn)入學(xué)習(xí)情境。教學(xué)片斷二：讓操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在“經(jīng)歷”中形成出示例題:把4枝筆,放進(jìn)3

6、個(gè)筆盒里可以怎么放?（1）、小組合作：你有幾種不同的放法？試擺一擺并簡(jiǎn)要記錄擺放情況。展示學(xué)生不同方法，并請(qǐng)學(xué)生說(shuō)說(shuō)思路。（學(xué)生運(yùn)用了畫(huà)圖法、數(shù)的分解法、文字?jǐn)⑹龅确椒ǎ├蠋煱鍟?shū)如下： (4,0,0)(3,1,0)(2,2,0)(2,1,1),（2） 、引導(dǎo)觀察:你能發(fā)現(xiàn)什么?生1：最多的一個(gè)裝了4枝，最少的0枝。 生2：每個(gè)筆盒都要裝的話(huà)，有一個(gè)筆盒會(huì)多裝一枝。老師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：不管怎么放,總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。師：你怎樣理解“總有”、“至少”的意思? 引導(dǎo)：能不能找到一種更為直接的方法,證明這個(gè)結(jié)論呢? 學(xué)生思考組內(nèi)交流匯報(bào) 結(jié)合課件理解：假設(shè)每個(gè)盒子里先放1枝鉛筆,最多放3枝,剩

7、下的1枝不管放進(jìn)哪一個(gè)盒子里,總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：這種分法,實(shí)際就是盡量先把筆平均分。反思數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具有明顯的實(shí)踐性特征，只有親身經(jīng)歷了、體驗(yàn)了、實(shí)踐了才能形成數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在本節(jié)課中，教師安排兩個(gè)操作環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)一是讓學(xué)生把4枝筆放入3個(gè)筆盒中，環(huán)節(jié)二是把5本書(shū)放進(jìn)2個(gè)抽屜里。學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[放并簡(jiǎn)要記錄各種擺放情況。學(xué)生在操作合作中選用了畫(huà)圖、列表、數(shù)的組成等多種方式記錄，發(fā)現(xiàn)并描述、理解最簡(jiǎn)單的“抽屜原理”現(xiàn)象：把4枝筆放入3個(gè)筆盒中，總有一個(gè)筆盒里至少有2枝鉛筆；把5本書(shū)放進(jìn)2個(gè)抽屜里總有一個(gè)抽屜里的至少會(huì)放進(jìn)3本書(shū)。學(xué)生在擺放、記錄的過(guò)程中較直觀的理解了什么是“抽屜

8、”，什么是“待分的物體”，為尋找“抽屜原理”的一般模型奠定基礎(chǔ)。教學(xué)片斷三：讓思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在探究中提升師：剛才我們發(fā)現(xiàn)，把4枝筆放進(jìn)3個(gè)筆盒中，不管怎么放,總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆，那：把6枝鉛筆放在5個(gè)盒子里呢？把7枝筆放進(jìn)6個(gè)盒子里呢? 把8枝筆放進(jìn)7個(gè)盒子里呢?把9枝筆放進(jìn)8個(gè)盒子里呢?你發(fā)現(xiàn)什么?（筆的枝數(shù)比盒子數(shù)多1,不管怎么放,總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。）追問(wèn)：如果筆比筆盒多2、多3、或多4呢？生1：有一個(gè)會(huì)放進(jìn)更多生2：不會(huì)學(xué)生討論發(fā)現(xiàn)：只要筆的數(shù)量不超過(guò)2倍，結(jié)果都一樣。師：（追問(wèn)）如果超過(guò)2倍呢？出示例2：把5本書(shū)放進(jìn)2個(gè)抽屜里。同桌操作，得出結(jié)論。思考：把7本書(shū)放進(jìn)

9、2個(gè)抽屜里,不管怎么放,總有一個(gè)抽屜里至少有幾本書(shū)?把11本書(shū)放進(jìn)3個(gè)抽屜里,不管怎么放,總有一個(gè)抽屜里至少有幾本書(shū)? (留給學(xué)生思考的空間,師巡視了解各種情況) 追問(wèn)：不用操作，你能用數(shù)學(xué)的方法，比較簡(jiǎn)單的形式證明這個(gè)結(jié)論嗎？引導(dǎo)學(xué)生列式： 52=2本1本2+1=3本72=3本1本3+1=4本113=3本2本3+1=4本觀察以上列式你能發(fā)現(xiàn)什么?生1：用商+余數(shù)生2：不對(duì)，應(yīng)該是商+1學(xué)生討論：“商+余數(shù)”還是“商+1”？引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：“總有一個(gè)抽屜里的至少有本”只要用“商+ 1”就可以得到。練習(xí)：（略）現(xiàn)在你知道剛才猜花色游戲中的奧秘嗎？生：5張牌相當(dāng)于5個(gè)物體，4中花色相當(dāng)于4個(gè)抽屜反思

10、思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是所有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中最為上層的。在教學(xué)中有意識(shí)地關(guān)注知識(shí)形成過(guò)程以及數(shù)學(xué)思想方法的滲透，讓學(xué)生經(jīng)歷思考的過(guò)程，積累相應(yīng)的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能大大的提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在學(xué)生經(jīng)過(guò)操作得出結(jié)論“把4枝筆放入3個(gè)筆盒中，總有一個(gè)筆盒里至少有2枝鉛筆”后，追問(wèn)：把5枝筆放入4個(gè)筆盒中、6枝筆放入5個(gè)筆盒中100枝筆放入99個(gè)筆盒中個(gè)筆盒中，會(huì)怎樣？讓學(xué)生的思維產(chǎn)生碰撞，理解：只要筆的數(shù)量比筆盒多1，這個(gè)結(jié)論都成立；隨之引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題：若是多2、多3或多4呢；在例2的操作完成之后，繼續(xù)追問(wèn)：不用操作，你能用數(shù)學(xué)的方式來(lái)解釋類(lèi)似的問(wèn)題嗎？讓學(xué)生在合作探究之后得出：可以用有余數(shù)的除法表示這一數(shù)學(xué)規(guī)律；

11、在練習(xí)環(huán)節(jié)之后，讓學(xué)生思考猜花色游戲中的奧秘，在“解惑”的同時(shí)使學(xué)生初步建立“抽屜原理”問(wèn)題的一般模型。一系列的追問(wèn)引發(fā)學(xué)生的思維步步深入，并通過(guò)討論和說(shuō)理活動(dòng)，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和初步的邏輯能力，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。不同的學(xué)生有不同的思維方式和發(fā)展?jié)撃?。教學(xué)中關(guān)注學(xué)生的這些個(gè)性差異，應(yīng)該允許學(xué)生存在思維方式的多樣化和思維水平的不同層次。課堂上我也給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)表自己的觀點(diǎn)和想法，進(jìn)而拓寬學(xué)生的思維。由易到難進(jìn)行設(shè)計(jì)形式多樣化的練習(xí)。學(xué)生的智力活動(dòng)與他對(duì)周?chē)挛锏淖饔镁o密聯(lián)系，即學(xué)生的理解來(lái)自他們作用于物體的活動(dòng)?！俺閷蠁?wèn)題”具有一定的思維性和抽象性，學(xué)生往往缺乏感性經(jīng)驗(yàn)，只有通過(guò)實(shí)際操作獲得直接經(jīng)驗(yàn)，才便于理解其方法，從而發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。教師不是學(xué)生學(xué)習(xí)的指揮者，而是學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的伙伴。教學(xué)中學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師只是與學(xué)生共同探索、共同研究，與學(xué)生一起解決問(wèn)題、構(gòu)建模型，讓學(xué)生在問(wèn)題中“學(xué)”和“悟”。本節(jié)內(nèi)容“抽屜原理”是在觀察、操作、思考與推理的基礎(chǔ)上理解和發(fā)現(xiàn)的，但當(dāng)學(xué)生面對(duì)生活中的具體問(wèn)題時(shí)，能否將這個(gè)具體問(wèn)題和“抽