行列式的計(jì)算技巧與方法總結(jié)

1、 存檔編號(hào) 贛 南 師 范 學(xué) 院 學(xué) 士 學(xué) 位論 文行列式的若干計(jì)算技巧與方法目錄摘要1關(guān)鍵字1abstract1key words1引言21.行列式的概念及性質(zhì)21.1 階行列式的定義21.2 行列式的性質(zhì)32.行列式計(jì)算的幾種常見技巧和方法52.1 定義法52.2 利用行列式的性質(zhì)62.3 降階法92.4 升階法（加邊法）112.5 數(shù)學(xué)歸納法122.6 遞推法143. 行列式計(jì)算的幾種特殊技巧和方法163.1 拆行（列）法163.2 構(gòu)造法173.3 特征值法194. 幾類特殊行列式的計(jì)算技巧和方法194.1 三角形行列式194.2 “爪”字型行列式204.3 “么”字型行列式214

2、.4 “兩線”型行列式234.5 “三對(duì)角”型行列式244.6 范德蒙德行列式255. 行列式的計(jì)算方法的綜合運(yùn)用275.1 降階法和遞推法285.2 逐行相加減和套用范德蒙德行列式285.3 構(gòu)造法和套用范德蒙德行列式29小結(jié)30參考文獻(xiàn)31行列式的若干計(jì)算技巧與方法摘要：行列式是高等代數(shù)的一個(gè)基本概念，求解行列式是在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中遇到的基本問題，每一種復(fù)雜的高階行列式都有其獨(dú)特的求解方法本文主要介紹了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法如：化三角形法、降階法和數(shù)學(xué)歸納法等多種計(jì)算方法以及vandermonde行列式、“兩線型”行列式和“爪”字型行列式等多種特殊行列式并對(duì)相

3、應(yīng)例題進(jìn)行了分析和歸納，總結(jié)了與每種方法相適應(yīng)的行列式的特征關(guān)鍵詞：行列式 行列式的計(jì)算方法 vandermonde行列式the calculation of determinantabstract: the determinant is a basic concept of higher mathematics. the solution of determinant is the basic question, and each kind of complex higher order determinant has its special solution method. this pa

4、per mainly introduces the methods for calculation of determinant. for example, the triangle method, order reduction method，mathematical induction method and vandermonde determinant, two linear determinant，claw type determinant and so on. the paper also analyzes the corresponding examples, and summar

5、izes the characteristic of determinants corresponding to each method.key words: determinant the calculation of determinant vandermonde determinant引言：行列式的計(jì)算是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)過程的一個(gè)難點(diǎn)對(duì)于低階行列式，我們可以利用行列式的定義和性質(zhì)計(jì)算但對(duì)于高階行列式，如果直接利用定義和性質(zhì)計(jì)算，則計(jì)算量大，很難得到結(jié)果因此，研究行列式的計(jì)算方法和技巧就顯得十分必要本文主要介紹了幾種計(jì)算方法和技巧，還有一些特殊行列式的計(jì)算方法1行列式的概念

6、及性質(zhì)1.1 n階行列式的定義我們知道，二、三階行列式的定義如下：=，從二、三階行列式的內(nèi)在規(guī)律引出n階行列式的定義設(shè)有個(gè)數(shù)，排成行列的數(shù)表，即n階行列式這個(gè)行列式等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積 的代數(shù)和，這里是的一個(gè)排列,每一項(xiàng)都按下列規(guī)則帶有符號(hào)：當(dāng)是偶排列時(shí), 帶正號(hào)；當(dāng)是奇排列時(shí), 帶負(fù)號(hào)即=，這里表示對(duì)所有級(jí)排列求和.1.2 行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列互換，行列式不變即 .性質(zhì)2 一個(gè)數(shù)乘行列式的一行（或列），等于用這個(gè)數(shù)乘此行列式即k.性質(zhì)3 如果行列式的某一行（或列）是兩組數(shù)的和，那么該行列式就等于兩個(gè)行列式的和，且這兩個(gè)行列式除去該行（或列）以外的各行（或列）全與原來行

7、列式的對(duì)應(yīng)的行（或列）一樣即性質(zhì)4 如果行列式中有兩行（或列）對(duì)應(yīng)元素相同或成比例，那么行列式為零即=0.性質(zhì)5 把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變即.性質(zhì)6 對(duì)換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào).即=-.性質(zhì)7 行列式一行（或列）元素全為零，則行列式為零即.2、行列式的幾種常見計(jì)算技巧和方法2.1 定義法適用于任何類型行列式的計(jì)算，但當(dāng)階數(shù)較多、數(shù)字較大時(shí)，計(jì)算量大，有一定的局限性例1 計(jì)算行列式.解析：這是一個(gè)四級(jí)行列式，在展開式中應(yīng)該有項(xiàng)，但由于出現(xiàn)很多的零，所以不等于零的項(xiàng)數(shù)就大大減少具體的說，展開式中的項(xiàng)的一般形式是顯然，如果，那么，從而這個(gè)項(xiàng)就等于零因此只須考慮的項(xiàng)，同理只須考慮的這

8、些項(xiàng)，這就是說，行列式中不為零的項(xiàng)只有，而，所以此項(xiàng)取正號(hào)故=.2.2 利用行列式的性質(zhì)即把已知行列式通過行列式的性質(zhì)化為上三角形或下三角形.該方法適用于低階行列式2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分別如下：，.例2 計(jì)算行列式.解析：觀察行列式的特點(diǎn)，主對(duì)角線下方的元素與第一行元素對(duì)應(yīng)相同，故用第一行的倍加到下面各行便可使主對(duì)角線下方的元素全部變?yōu)榱慵矗夯癁樯先切谓猓簩⒃撔辛惺降谝恍械谋斗謩e加到第2,3（）行上去，可得.2.2.2 連加法這類行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使該行（或列）元素均相等或出現(xiàn)較多零，從而簡化行列式的計(jì)算這類計(jì)算行列式的方

9、法稱為連加法例3 計(jì)算行列式.解： .2.2.3 滾動(dòng)消去法當(dāng)行列式每兩行的值比較接近時(shí)，可采用讓鄰行中的某一行減或者加上另一行的若干倍，這種方法叫滾動(dòng)消去法例4 計(jì)算行列式.解：從最后一行開始每行減去上一行，有 .2.2.4 逐行相加減對(duì)于有些行列式，雖然前行的和全相同，但卻為零用連加法明顯不行，這是我們可以嘗試用逐行相加減的方法例5 計(jì)算行列式.解：將第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此類推，得： .2.3 降階法將高階行列式化為低階行列式再求解2.3.1 按某一行（或列）展開例6 解行列式.解：按最后一行展開，得.2.3.2 按拉普拉斯公式展開拉普拉斯定理如下：設(shè)在行列式d中任意

10、選定了個(gè)行.由這k行元素所組成的一切k級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式d.即，其中是子式對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式即，.例7 解行列式.解：從第三行開始，每行都減去上一行；再從第三列開始，每列都加到第二列，得 .2.4 升階法就是把n階行列式增加一行一列變成n+1階行列式，再通過性質(zhì)化簡算出結(jié)果，這種計(jì)算行列式的方法叫做升階法或加邊法升階法的最大特點(diǎn)就是要找每行或每列相同的因子,那么升階之后，就可以利用行列式的性質(zhì)把絕大多數(shù)元素化為0，這樣就達(dá)到簡化計(jì)算的效果其中，添加行與列的方式一般有五種：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置例8 解行列式d=.解：使行列式d變成階行列

11、式，即.再將第一行的倍加到其他各行，得：d=.從第二列開始，每列乘以加到第一列，得：.2.5數(shù)學(xué)歸納法有些行列式，可通過計(jì)算低階行列式的值發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后提出假設(shè)，再利用數(shù)學(xué)歸納法去證明對(duì)于高階行列式的證明問題，數(shù)學(xué)歸納法是常用的方法例9 計(jì)算行列式.解:用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，.當(dāng) 時(shí)，.猜想，.由上可知，當(dāng)，時(shí)，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立即：.現(xiàn)證當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立當(dāng)時(shí)，.將按最后一行展開，得 .因?yàn)椋?這就證明了當(dāng)時(shí)也成立，從而由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)一切的自然數(shù)，結(jié)論都成立即：.2.6 遞推法技巧分析：若階行列式滿足關(guān)系式.則作特征方程. 若，則特征方程有兩個(gè)不等根，則 若，則特征方程有

12、重根，則在中， a，b均為待定系數(shù)，可令求出例10 計(jì)算行列式.解：按第一列展開，得.即作特征方程.解得.則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.解得，所以.3、行列式的幾種特殊計(jì)算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及計(jì)算方法拆行（列）法（或稱分裂行列式法），就是將所給的行列式拆成兩個(gè)或若干個(gè)行列式之和，然后再求行列式的值拆行（列）法有兩種情況，一是行列式中有某行（列）是兩項(xiàng)之和，可直接利用性質(zhì)拆項(xiàng)；二是所給行列式中行（列）沒有兩項(xiàng)之和，這時(shí)需保持行列式之值不變，使其化為兩項(xiàng)和3.1.2 例題解析例11 計(jì)算行列式.解：把第一列的元素看成兩項(xiàng)的和進(jìn)行拆列，得 上面第一個(gè)行列式的值為1，所以.這個(gè)式子在

13、對(duì)于任何都成立，因此有.3.2 構(gòu)造法3.2.1 概念及計(jì)算方法有些行列式通過直接求解比較麻煩，這時(shí)可同時(shí)構(gòu)造一個(gè)容易求解的行列式，從而求出原行列式的值3.2.2 例題解析例12 求行列式.解：雖然不是范德蒙德行列式，但可以考慮構(gòu)造階的范德蒙德行列式來間接求出的值構(gòu)造階的范德蒙德行列式，得.將按第列展開，得，其中，的系數(shù)為.又根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果知.由上式可求得的系數(shù)為.故有.3.3 特征值法3.3.1 概念及計(jì)算方法設(shè)是級(jí)矩陣的全部特征值，則有公式.故只要能求出矩陣的全部特征值，那么就可以計(jì)算出的行列式3.3.2 例題解析例13 若是級(jí)矩陣的全部特征值，證明：可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為

14、零證明：因?yàn)?，則可逆.即可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為零4、幾類特殊的行列式的巧妙計(jì)算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如，這樣的行列式，形狀像個(gè)三角形，故稱為“三角形”行列式4.1.2 計(jì)算方法由行列式的定義可知，,.4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念 形如，這樣的行列式，形狀像個(gè)“爪”字，故稱它們?yōu)椤白Α弊中托辛惺?.2.2 計(jì)算方法利用對(duì)角線消去行列式中的“橫線”或“豎線”，均可把行列式化成“三角形”行列式此方法可歸納為：“爪”字對(duì)角消豎橫4.2.3 例題解析例14 計(jì)算行列式，其中分析：這是一個(gè)典型的“爪”字型行列式，計(jì)算時(shí)可將行列式的第列元素乘以后都加到第一列上，原

15、行列式可化為三角形行列式解: .4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如，這樣的行列式，形狀像個(gè)“么”字，因此常稱它們?yōu)椤懊础弊中托辛惺?.3.2 計(jì)算方法利用“么”字的一個(gè)撇消去另一個(gè)撇，就可以把行列式化為三角形行列式此方法可以歸納為：“么”字兩撇相互消注意：消第一撇的方向是沿著“么”的方向，從后向前，利用消去，然后再用消去，依次類推4.3.3 例題解析例15 計(jì)算階行列式.解：從最后一行開始后一行加到前一行（即消去第一撇），得 .4.4 “兩線”型行列式4.4.1 概念形如這樣的行列式叫做“兩線型”行列式4.4.2 計(jì)算方法對(duì)于這樣的行列式，可通過直接展開法求解4.4.3 例題解析例1

16、6 求行列式.解：按第一列展開，得 .4.5 “三對(duì)角”型行列式4.5.1 概念形如 這樣的行列式，叫做“三對(duì)角型”行列式4.5.2 計(jì)算方法對(duì)于這樣的行列式，可直接展開得到兩項(xiàng)遞推關(guān)系式，然后變形進(jìn)行兩次遞推或利用數(shù)學(xué)歸納法證明4.5.3 例題解析例17 求行列式.解：按第一列展開，得 .變形，得.由于，從而利用上述遞推公式得.故.4.6 vandermonde行列式4.6.1 概念形如這樣的行列式，成為級(jí)的范德蒙德行列式4.6.2 計(jì)算方法通過數(shù)學(xué)歸納法證明，可得.4.6.3 例題解析例18 求行列式.解：雖然不是范德蒙德行列式，但可以考慮構(gòu)造階的范德蒙德行列式來間接求出的值構(gòu)造階的范德蒙

17、德行列式，得.將按第列展開，得，其中，的系數(shù)為.又根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果知.由上式可求得的系數(shù)為,故有.5、行列式的計(jì)算方法的綜合運(yùn)用有些行列式如果只使用一種計(jì)算方法不易計(jì)算，這時(shí)就需要結(jié)合多種計(jì)算方法，使計(jì)算簡便易行下面就列舉幾種行列式計(jì)算方法的綜合應(yīng)用5.1 降階法和遞推法例19 計(jì)算行列式.分析：乍一看該行列式，并沒有什么規(guī)律但仔細(xì)觀察便會(huì)發(fā)現(xiàn)，按第一行展開便可得到階的形式解：將行列式按第一行展開，得.即.5.2 逐行相加減和套用范德蒙德行列式例20 計(jì)算行列式解：從第一行開始，依次用上一行的倍加到下一行，進(jìn)行逐行相加，得.再由范德蒙德行列式，得.5.3 構(gòu)造法和套用范德蒙德行列式例2

18、1 求行列式.解：雖然不是范德蒙德行列式，但可以考慮構(gòu)造階的范德蒙德行列式來間接求出的值構(gòu)造階的范德蒙德行列式，得.將按第列展開，得，其中，的系數(shù)為.又根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果知.由上式可求得的系數(shù)為.故有.小結(jié)本文主要介紹了行列式計(jì)算的一些技巧和方法，還有一些特殊行列式的計(jì)算技巧，通過歸納和總結(jié)這些技巧和方法，讓讀者在計(jì)算行列式時(shí)游刃有余然而在這么多方法面前，我們需要多觀察、多思考，這樣便于我們更加輕松地解決有關(guān)行列式的問題，也讓我們更加靈活的運(yùn)用這些方法和技巧來解決實(shí)際問題參考文獻(xiàn):1北大數(shù)學(xué)系代數(shù)小組. 高等代數(shù)（第三版）m.北京：高等教育出版社，2003：50104.2錢吉林. 高等代數(shù)題解精粹m.北京：中央民族大學(xué)出版社，2002：24583劉家保，陳中華，陸一南.若干類型行列式計(jì)算方法.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012年3月，30(2).4楊鵬輝.行列式的計(jì)算技巧.宜春學(xué)院報(bào)，2011年4月，33（4）.5丁冰.三線型行列式的計(jì)算.科技通報(bào),2012年2月,28(2).6龔德仁.高階