第18講 等腰三角形 課件中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

第四章三角形第18講等腰三角形2大考點(diǎn)精講+專(zhuān)訓(xùn)3大中考命題點(diǎn)+18大題型探究01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求等腰三角形等邊三角形★★理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理.探索等邊三角形的性質(zhì)定理及其判定定理.【考情分析】該板塊內(nèi)容重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結(jié)的.而數(shù)學(xué)中考中，等腰三角形單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，多以選擇填空題型出現(xiàn)，但是因?yàn)榈妊切慰梢苑旁诤芏嗄Ｐ椭校缘妊切谓Y(jié)合其他考點(diǎn)出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn).★★02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究等邊三角形考點(diǎn)二

等腰三角形考點(diǎn)一等腰三角形1.等腰三角形定義等腰三角形考點(diǎn)一定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.【特殊】【注意】頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個(gè)底角都為45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．2.等腰三角形性質(zhì)“三線(xiàn)合一”的前提是等腰三角形，且必須是頂角的角平分線(xiàn)，底邊上的高和底邊上的中線(xiàn).1）等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有1條或3條對(duì)稱(chēng)軸，①當(dāng)腰和底邊不相等的等腰三角形只有1條對(duì)稱(chēng)軸，②當(dāng)腰和底邊不相等的等腰三角形只有3條對(duì)稱(chēng)軸.2）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）.3）等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合.（簡(jiǎn)稱(chēng)“三線(xiàn)合一”）.【注意】2.等腰三角形的判定：等腰三角形考點(diǎn)一判定方法1）定義法：兩邊相等的三角形是等腰三角形；2）定理法：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，即這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”）.【總結(jié)】證明兩個(gè)角相等的方法：1）如果角在同一個(gè)三角形中，先考慮“等邊對(duì)等角”來(lái)證明.2）如果角不在同一個(gè)三角形中，可證明兩個(gè)三角形全等來(lái)解決.1）底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線(xiàn)將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形．（即頂角36°，底角72°）.2）等腰三角形的判定定理是證明兩條線(xiàn)段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．3）等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒(méi)有明確是底還是腰,角沒(méi)有明是頂角還是底角，需要分類(lèi)討論易錯(cuò)易混等腰三角形考點(diǎn)一針對(duì)練習(xí)

4．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和2，則第三邊長(zhǎng)為

．

C635403考點(diǎn)突破·考法探究等邊三角形考點(diǎn)二等腰三角形考點(diǎn)一等邊三角形1.等邊三角形的定義等邊三角形考點(diǎn)二定義三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形2.等邊三角形的性質(zhì)性質(zhì)1）等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，并且有3條對(duì)稱(chēng)軸；2）等邊三角形的三條邊相等；3）三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都是60°.3.等邊三角形的判定判定方法1）定義法：三邊相等的三角形是等邊三角形；2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

【補(bǔ)充】等邊三角形考點(diǎn)二針對(duì)練習(xí)

CBA

04題型精研·考向洞悉分類(lèi)討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用題型01等腰三角形的性質(zhì)與判定命題點(diǎn)一根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明題型02根據(jù)三線(xiàn)合一求解或證明題型03在格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形題型04根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)題型05根據(jù)等角對(duì)等邊證明題型06確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)題型07等腰三角形性質(zhì)與判定綜合題型08命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定題型01分類(lèi)討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒(méi)有明確是底還是腰,角沒(méi)有明是頂角還是底角，需要分類(lèi)討論.方法技巧注意所求結(jié)果需滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系.【易錯(cuò)點(diǎn)】

C

命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定題型01分類(lèi)討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?掌握等腰三角形性質(zhì)?解決等腰三角形的問(wèn)題時(shí)要正確進(jìn)行分類(lèi)討論11或13

A

銳角三角形鈍角三角形

頂角度數(shù)=90°-∠1頂角度數(shù)=90°+∠1只能是底邊長(zhǎng)命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?掌握等腰三角形性質(zhì)?掌握三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理B

命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明

構(gòu)建全等三角形與相似三角形，運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型03根據(jù)三線(xiàn)合一求解或證明

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，?正確進(jìn)行分類(lèi)討論

命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型03根據(jù)三線(xiàn)合一求解或證明

B

命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型04在格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?掌握等腰三角形性質(zhì)?掌握三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理A．2 B．3 C．4 D．5B解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有0個(gè)；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有3個(gè)．故共有3個(gè)點(diǎn)，C2C1C3命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型04在格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形

D

∟

命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型05根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?等腰三角形的性質(zhì)與判定?掌握平行四邊形的性質(zhì)

5命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型05根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)

命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型05根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)

命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型06根據(jù)等角對(duì)等邊證明

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定?

命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型06根據(jù)等角對(duì)等邊證明

命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型06根據(jù)等角對(duì)等邊證明

A．8 B．16 C．12 D．24B

命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型07確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式及等腰三角形?利用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想

命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型07確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)

命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型07確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)

A

2．（2022·江蘇南京·一模）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)P，滿(mǎn)足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是

．如圖，作線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)交OB于點(diǎn)OP，連接PM，PN，則PM=PN，△PMN是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OB于，當(dāng)MH＞MN，即MH＞4時(shí)，滿(mǎn)足構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，當(dāng)MH=4時(shí)，∵∠AOB=30°，∴OM=2MH=8，∴當(dāng)a＞8時(shí)，滿(mǎn)足構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，另外當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，滿(mǎn)足構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，此時(shí)a=4，HNPa＞8或a=4解題的關(guān)鍵：?掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線(xiàn)的判定?命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型08等腰三角形性質(zhì)與判定綜合

方法指導(dǎo)

命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型08等腰三角形性質(zhì)與判定綜合

∟

04題型精研·考向洞悉利用等邊三角形的性質(zhì)求解題型01等邊三角形的性質(zhì)與判定命題點(diǎn)二等邊三角形的判定題型02等邊三角形性質(zhì)與判定綜合題型03命題點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定?題型01利用等邊三角形的性質(zhì)求解

∟F解題的關(guān)鍵：?掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算?掌握等邊三角形的性質(zhì)方法指導(dǎo)

命題點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定?題型01利用等邊三角形的性質(zhì)求解

命題點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定?題型02等邊三角形的判定

A．△AOB是等邊三角形

B．PE=PF

C．△PAE≌△PBF

D．四邊形OAPB是菱形D解題的關(guān)鍵：?熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作?掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定方法指導(dǎo)解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，故選項(xiàng)A成立，不符合題意；由作圖知：射線(xiàn)OP是∠MON的平分線(xiàn)，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，故選項(xiàng)B成立，不符合題意；由作圖知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF(HL)，故選項(xiàng)C成立，不符合題意；∵OA與AP不一定相等，∴四邊形OAPB不一定是菱形，故選項(xiàng)D不成立，符合題意；命題點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定?題型02等邊三角形的判定

（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠ADC=120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB=60°，∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，∴△ABC是等邊三角形；命題點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定?題型02等邊三角形的判定

∟∟

命題點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定?題型03等邊三角形性質(zhì)與判定綜合

解題的關(guān)鍵：?熟悉相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形?掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定方法指導(dǎo)

∟

命題點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定?題型03等邊三角形性質(zhì)與判定綜合

B

04題型精研·考向洞悉手拉手模型題型01熱考題型匯總命題點(diǎn)三與等腰三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題題型02與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題題型03與等腰三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題題型04與等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題題型05與等腰三角形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題題型06探究等腰三角形中存在的線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系題型07命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型01手拉手模型常見(jiàn)模型種類(lèi)方法技巧等腰三角形

手拉手模型等邊三角形

手拉手模型等腰直角三角形

手拉手模型正方形手拉手模型1）頭頂頭，左手拉左手，右手拉右手，那么，頭左左≌頭右右.2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.【小結(jié)】命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型01手拉手模型

圖示思路

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型01手拉手模型【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】圖示思路

解題的關(guān)鍵：?掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)?熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)方法指導(dǎo)

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型01手拉手模型

∟

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型01手拉手模型

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型02與等腰三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題

6

解題的關(guān)鍵：?掌握矩形與折疊問(wèn)題，勾股定理，?掌握等邊對(duì)等角的應(yīng)用方法指導(dǎo)

∟

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型02與等腰三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型03與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

解題的關(guān)鍵：?掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理?掌握等邊對(duì)等角的應(yīng)用并正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形和直角三角形方法指導(dǎo)命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型03與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型03與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

O

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型03與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型03與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量t的取值范圍；(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)結(jié)合函數(shù)圖象，寫(xiě)出點(diǎn)E，F(xiàn)相距3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)t的值．

（2）函數(shù)圖象如圖：

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型03與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量t的取值范圍；(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)結(jié)合函數(shù)圖象，寫(xiě)出點(diǎn)E，F(xiàn)相距3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)t的值．

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型04與等腰三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題【例1】（2024·山東日照·二模）給出一個(gè)新定義：有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相重合且其中一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友好三角形”．

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型04與等腰三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題【例1】（2024·山東日照·二模）給出一個(gè)新定義：有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相重合且其中一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友好三角形”．

解題的關(guān)鍵：?掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理和等腰三角形的性質(zhì)?正確作出輔助線(xiàn)方法指導(dǎo)

=120

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型04與等腰三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題【例1】（2024·山東日照·二模）給出一個(gè)新定義：有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相重合且其中一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友好三角形”．

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型04與等腰三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題【例1】（2024·山東日照·二模）給出一個(gè)新定義：有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相重合且其中一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友好三角形”．

K命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型05與等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題

解題的關(guān)鍵：?掌握平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律問(wèn)題?掌握等腰三角形的性質(zhì)方法指導(dǎo)

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型05與等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型06與等腰三角形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題

解題的關(guān)鍵：?掌握正方形與折疊問(wèn)題，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定?掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定方法指導(dǎo)解：如圖所示，

命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型06與等腰三角形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題

解題的關(guān)鍵：?掌握正方