專題10 簡單幾何體的表面積與體積（核心素養(yǎng)練習）（原卷版）附答案

1、專題十 簡單幾何體的表面積與體積 核心素養(yǎng)練習 一、核心素養(yǎng)聚焦考點一 數(shù)學抽象-與球有關的切、接問題例題8.(1)一球與棱長為2的正方體的各個面相切,則該球的體積為 . (2)正方體的全面積是a2,它的頂點都在一個球面上,則這個球的表面積是 考點二 數(shù)學運算-棱臺與棱錐之間關系的綜合問題例題9、已知正四棱臺(上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面邊長為6,高和下底面邊長都是12,求它的側面積考點三 直觀想象-組合體的表面積與體積例題10.如圖,梯形ABCD中,ADBC,ABC90,ADa,BC2a,DCB60,在平面ABCD內(nèi)過點C作lCB,以l為軸旋轉(zhuǎn)一周求旋轉(zhuǎn)體

2、的表面積和體積二、學業(yè)質(zhì)量測評一、選擇題1半徑為的半圓卷成一個圓錐,則它的體積是（ ）ABCD2在梯形中,.將梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（ ）ABCD3在棱長為的正方體中,連接相鄰面的中心,以這些線段為棱的八面體的體積為（ ）ABCD4九章算術是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有A14斛B2

3、2斛C36斛D66斛5如圖所示,多面體ABCDEF中,已知平面ABCD是邊長為3的正方形,EF到平面ABCD的距離為2,則該多面體的體積V為（ ）AB5C6D6若底面是菱形的棱柱其側棱垂直于底面,且側棱長為5,它的對角線的長分別是9和15,則這個棱柱的側面積是( )A130B140C150D1607（多選題）一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等,下列結論正確的是（ ） A圓柱的側面積為B圓錐的側面積為C圓柱的側面積與球面面積相等D圓柱、圓錐、球的體積之比為3：1：28（多選題）已知的三邊長分別是,.下列說法正確的是（ ）A以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋

4、轉(zhuǎn)體的側面積為B以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為C以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的側面積為D以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為二、填空題9 已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積為_.10如圖,在長方體中,則四棱錐的體積為_cm311如圖,在圓柱O1 O2 內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱O1 O2 的體積為V1 ,球O的體積為V2 ,則 的值是_12如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分當以直徑所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時,得到一幾何體,則該幾何體的表面積是_,體積是

5、_.（其中）三、解答題13如圖,已知四棱錐的底面是正方形,且邊長為4cm,側棱長都相等,E為BC的中點,高為PO,且,求該四棱錐的側面積和表面積 14已知一圓錐的母線長為10,底面圓半徑為6.（1）求圓錐的高；（2）若圓錐內(nèi)有一球,球與圓錐的底面及圓錐的所有母線都相切,求球的表面積.15一個圓錐的底面半徑為2cm,高為6cm,在其內(nèi)部有一個高為x cm的內(nèi)接圓柱.（1）求圓錐的側面積；（2）當x為何值時,圓柱的側面積最大？并求出側面積的最大值.專題十 簡單幾何體的表面積與體積 核心素養(yǎng)練習 一、核心素養(yǎng)聚焦考點一 數(shù)學抽象-與球有關的切、接問題例題8.(1)一球與棱長為2的正方體的各個面相切,

6、則該球的體積為 . (2)正方體的全面積是a2,它的頂點都在一個球面上,則這個球的表面積是 (1) 【參考答案】【解析】由題意可知球是正方體的內(nèi)切球,因此球的半徑為1,其體積為(2)【參考答案】 【解析】正方體內(nèi)接于球,則由球及正方體都是中心對稱圖形知,它們的中心重合可見,正方體的對角線是球的直徑設球的半徑是r,則正方體的對角線長是2r.依題意,2r,即r2a2,所以S球4r24a2. 考點二 數(shù)學運算-棱臺與棱錐之間關系的綜合問題例題9、已知正四棱臺(上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面邊長為6,高和下底面邊長都是12,求它的側面積【解析】如圖,E,E1分別是BC

7、,B1C1的中點,O,O1分別是下、上底面正方形的中心,則O1O為正四棱臺的高,則O1O12.連接OE,O1E1,則OEAB126,O1E1A1B13.過E1作E1HOE,垂足為H,則E1HO1O12,OHO1E13,HEOEO1E1633.在RtE1HE中,E1E2E1H2HE2122323217,所以E1E3.所以S側4(B1C1BC)E1E2(612)3108.考點三 直觀想象-組合體的表面積與體積例題10.如圖,梯形ABCD中,ADBC,ABC90,ADa,BC2a,DCB60,在平面ABCD內(nèi)過點C作lCB,以l為軸旋轉(zhuǎn)一周求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積【解析】如題圖,在梯形ABCD中,AB

8、C90,ADBC,ADa,BC2a,DCB60,CD2a,ABCDsin 60a,DDAA2AD2BC2AD2a,DODDa.由于以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐由上述計算知,圓柱母線長a,底面半徑2a,圓錐的母線長2a,底面半徑a.圓柱的側面積S122aa4a2,圓錐的側面積S2a2a2a2,圓柱的底面積S3(2a)24a2,圓錐的底面積S4a2,組合體上底面積S5S3S43a2,旋轉(zhuǎn)體的表面積SS1S2S3S5(49)a2.又由題意知形成的幾何體的體積為一個圓柱的體積減去一個圓錐的體積V柱Sh(2a)2a4a3,V錐Sha2aa3,VV柱V

9、錐4a3a3a3.二、學業(yè)質(zhì)量測評一、選擇題1半徑為的半圓卷成一個圓錐,則它的體積是（ ）ABCD【參考答案】C【解析】設底面半徑為r,則,所以.所以圓錐的高.所以體積.故選：C.2在梯形中,.將梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（ ）ABCD【參考答案】C【解析】由題意可知旋轉(zhuǎn)后的幾何體如圖:直角梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為1,母線長為2的圓柱挖去一個底面半徑同樣是1、高為1的圓錐后得到的組合體,所以該組合體的體積為故選C.3在棱長為的正方體中,連接相鄰面的中心,以這些線段為棱的八面體的體積為（ ）ABCD【參考答案】C

10、【解析】此八面體可以分割成兩個正四棱錐,且正四棱錐的底面是一個邊長為的正方形,則該八面體的體積為:4九章算術是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有A14斛B22斛C36斛D66斛【參考答案】B【解析】設圓錐底面半徑為r,則,所以,所以米堆的體積為=,故堆放的米約為1.6222,故選B.5如圖所示,多面體ABCDEF中,已知

11、平面ABCD是邊長為3的正方形,EF到平面ABCD的距離為2,則該多面體的體積V為（ ）AB5C6D【參考答案】D【解析】解法一：如圖,連接EB,EC,AC,則.,.解法二：如圖,設G,H分別為AB,DC的中點,連接EG,EH,GH,則,得三棱柱,由題意得,.解法三：如圖,延長EF至點M,使,連接BM,CM,AF,DF,則多面體為斜三棱柱,其直截面面積,則.又平面BCM與平面ADE平行,F為EM的中點,即,.故選：D6若底面是菱形的棱柱其側棱垂直于底面,且側棱長為5,它的對角線的長分別是9和15,則這個棱柱的側面積是( )A130B140C150D160【參考答案】D【解析】 設直四棱柱中,對

12、角線, 因為平面,平面,所以, 在中,可得, 同理可得, 因為四邊形為菱形,可得互相垂直平分, 所以,即菱形的邊長為, 因此,這個棱柱的側面積為, 故選D.7（多選題）一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等,下列結論正確的是（ ） A圓柱的側面積為B圓錐的側面積為C圓柱的側面積與球面面積相等D圓柱、圓錐、球的體積之比為3：1：2【參考答案】CD【解析】依題意得球的半徑為R,則圓柱的側面積為,A錯誤；圓錐的側面積為,B錯誤；球面面積為,圓柱的側面積為,C正確；,D正確.故選：CD.8（多選題）已知的三邊長分別是,.下列說法正確的是（ ）A以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)

13、一周,所得旋轉(zhuǎn)體的側面積為B以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為C以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的側面積為D以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為【參考答案】AD【解析】以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時,所得旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為3,母線長為5,高為4的圓錐,其側面積為,體積為,故A正確,B錯誤；以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時,所得旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為4,母線長為5,高為3的圓錐,側面積為,體積為,故C錯誤,D正確.故選：AD.二、填空題9 已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積為_.【參考答案】【解析】設正方體邊長為

14、 ,則 ,外接球直徑為.10如圖,在長方體中,則四棱錐的體積為_cm3【參考答案】6【解析】如圖,過作于,長方體底面是正方形,中,又由,平面,11如圖,在圓柱O1 O2 內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱O1 O2 的體積為V1 ,球O的體積為V2 ,則 的值是_【參考答案】【解析】設球半徑為,則故參考答案為12如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分當以直徑所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時,得到一幾何體,則該幾何體的表面積是_,體積是_.（其中）【參考答案】 【解析】如圖所示,過C作于點,由題意得,.,.又,.故參考答案為：,三、解答題13如圖,已知四棱錐的底面是正方形,且邊長為4cm,側棱長都相等,E為BC的中點,高為PO,且,求該四棱錐的側面積和表面積 【參考答案】,【解析】如圖,在中,E為BC的中點, 側棱長都相等,14已知一圓錐的母線長為10,底面圓半徑為6.（1）求圓錐的高；（2）若圓錐內(nèi)有一球,球與圓錐的底面及圓錐的所有母線都相切,求球的表面積.【參考答案】（1）8（2）【解析】（1）據(jù)題意知,圓錐的高（2）據(jù)（1）求解知,圓錐的高為,設圓錐