條件概率與獨(dú)立性課件

1、 袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十 人依次從袋中各取一球(不放回)，問 第一個(gè)人取得紅球的概率是多少？ 第二個(gè)人取得紅球的概率是多少？ 若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取 到紅球的概率是多少？到紅球的概率是多少？ 已知事件已知事件A A發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件B B發(fā)生的概率稱為發(fā)生的概率稱為 在在A A條件下條件下B B發(fā)生的條件概率，記作發(fā)生的條件概率，記作P(B|A)P(B|A) 若已知第一個(gè)人取到的是紅球，則第二個(gè)人取到若已知第一個(gè)人取到的是紅球，則第二個(gè)人取到 紅球的概率又是多少？紅球的概率又是多少？ 一、條件概率一、

2、條件概率 例例1 1 設(shè)袋中設(shè)袋中有有3 3個(gè)白球，個(gè)白球，2 2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，抽取兩次， 每次取一每次取一個(gè)個(gè)，取后不放回，取后不放回， （1 1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率; ; （2 2）求第一次取到紅球的概率）求第一次取到紅球的概率 （3 3）求兩次均取到紅球的概率）求兩次均取到紅球的概率 設(shè)設(shè)AA第一次取到紅球第一次取到紅球,B,B第二次取到紅球第二次取到紅球 1 (1)(|) 4 P B A 2 (2)( ) 5 P A 2 5 11 (3)() C10 P AB 顯然，若事件顯然，

3、若事件A A、B B是古典概型的樣本空間中的兩是古典概型的樣本空間中的兩 個(gè)事件，其中個(gè)事件，其中A A含有含有n nA A個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn),AB,AB含有含有n nAB AB個(gè)樣本 個(gè)樣本 點(diǎn)，則點(diǎn)，則 A AB n n ABP)|( 稱為事件稱為事件A A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件B B發(fā)生的發(fā)生的條件概率條件概率. . 一般地，設(shè)一般地，設(shè)A A、B B是是 中的兩個(gè)事件中的兩個(gè)事件，則則 )( )( AP ABP n n n n A AB () (|) ( ) P AB P B A P A 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì) (1) 非負(fù)性非負(fù)性: P(B|A) 00； (2) 規(guī)范性

4、規(guī)范性: P( |A)1； (3) 可列可加性：可列可加性：設(shè)設(shè)B1，B2，, 是一列兩兩互不相是一列兩兩互不相 容的事件，即容的事件，即BiBj ，(i j), i , j1, 2, , 有有 P( B1 B2 )|A P(B1 |A ) P(B2 |A)+. 例例2 2 一盒中混有一盒中混有100100只新只新 , ,舊乒乓球，各有紅、白舊乒乓球，各有紅、白 兩色，分兩色，分 類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得 的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。 紅白 新4030 舊2010 設(shè)設(shè)A-A-從盒中隨機(jī)取到一只紅球

5、從盒中隨機(jī)取到一只紅球. . B- B-從盒中隨機(jī)取到一只新球從盒中隨機(jī)取到一只新球. . 60 A n40 AB n 3 2 )|( A AB n n ABP 二、乘法公式二、乘法公式 設(shè)設(shè)A A、B B ，P P（A A）0,0,則則 P(AB)P(AB)P(A)P(B|A). P(A)P(B|A). 稱為事件稱為事件A A、B B的概率的概率乘法公式乘法公式。 乘法公式乘法公式還可推廣到三個(gè)事件的情形：還可推廣到三個(gè)事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式：一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An 1

6、). 例例3 3 盒中有盒中有3 3個(gè)紅球，個(gè)紅球，2 2個(gè)白球，每次從袋中任取一個(gè)白球，每次從袋中任取一 只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球 顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4 4次次, ,試求第試求第1 1、2 2 次取得白球、第次取得白球、第3 3、4 4次取得紅球的概率。次取得紅球的概率。 解：設(shè)解：設(shè)A Ai i為第為第i i次取球時(shí)取到白球，則次取球時(shí)取到白球，則 )|()|()|()()(3 21 4 21 3 121 43 21 AAAAPAAAPAAPAPAAAAP 5 2 )( 1 AP 6

7、3 )|( 12 AAP 7 3 )|( 21 3AAAP 8 4 )|(3 21 4AAAAP P21.例例1.22 定義定義 事件組事件組A A1 1，A A2 2，A An n (n (n可為可為 ) )，稱為，稱為 樣本空間樣本空間 的一個(gè)的一個(gè)完備事件組（分割）完備事件組（分割），若滿足：，若滿足： 1 ( ); ( ), (), ,1,2,., . n i i ij iA ii A Aiji jn A1 A2 An B 定理定理 設(shè)設(shè)A1，, An是是 的一個(gè)分割，且的一個(gè)分割，且 P(Ai)0，(i1，n)， 則對任何事件則對任何事件B有有 1 ( )() ( |) n ii i

8、 P BP A P B A 稱為稱為全概率公式全概率公式。 例例4 某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品， 該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%， 20%，30%和和35%，又這四條流水線的次品，又這四條流水線的次品 率依次為率依次為0.05，0.04，0.03及及0.02?，F(xiàn)在從。現(xiàn)在從 出廠產(chǎn)品中任取一件，求抽到的產(chǎn)品是次品出廠產(chǎn)品中任取一件，求抽到的產(chǎn)品是次品 的概率。的概率。 i Ai “產(chǎn)品來自第 條流水線”,1,2,3,4i B “抽出的產(chǎn)品為次品” 4 1 ( )() ()0.0315 ii i P BP A P B

9、 A 解解： 若該廠規(guī)定，出了次品要追究有關(guān)流水線若該廠規(guī)定，出了次品要追究有關(guān)流水線 的經(jīng)濟(jì)責(zé)任?，F(xiàn)在出廠產(chǎn)品中任取一件，的經(jīng)濟(jì)責(zé)任?，F(xiàn)在出廠產(chǎn)品中任取一件， 結(jié)果為次品，但該件產(chǎn)品是哪一條流水線結(jié)果為次品，但該件產(chǎn)品是哪一條流水線 生產(chǎn)的標(biāo)志已經(jīng)脫落，問四條流水線各應(yīng)生產(chǎn)的標(biāo)志已經(jīng)脫落，問四條流水線各應(yīng) 承擔(dān)多大責(zé)任？承擔(dān)多大責(zé)任？ 例例5 某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品， 該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%， 20%，30%和和35%，又這四條流水線的次品，又這四條流水線的次品 率依次為率依次為0.05，0.04，0

10、.03及及0.02。 定理定理 設(shè)設(shè)A A1 1，, A, An n是是 的一個(gè)的一個(gè)分割分割，且且P(AP(Ai i) 0) 0，(i (i1 1 ，n)n)，則對任何事件則對任何事件B B，有有 1 () (|) (|),(1,., ) () (|) jj jn ii i P A P B A P ABjn P A P B A 稱為稱為貝葉斯公式貝葉斯公式。 () i P A 稱為先驗(yàn)概率(由以往數(shù)據(jù)分析得到的) () k P A B 稱為后驗(yàn)概率（由得到的信息之后 再重新加以修正的概率） i Ai “產(chǎn)品來自第 條流水線”,1,2,3,4i B “抽出的產(chǎn)品為次品” 4 1 ( )() (

11、)0.0315 ii i P BP A P B A 12 34 ()23.8%,()25.4%, ()28.6%,()22.2% P A BP A B P A BP A B 例例5 四條流水線各應(yīng)承擔(dān)多大責(zé)任問題求解四條流水線各應(yīng)承擔(dān)多大責(zé)任問題求解 例例6 某研究機(jī)構(gòu)研發(fā)了一種診斷早期肝癌的方法，某研究機(jī)構(gòu)研發(fā)了一種診斷早期肝癌的方法， 數(shù)據(jù)顯示，患者用此法被查出的概率為數(shù)據(jù)顯示，患者用此法被查出的概率為0.95，非患，非患 者用此法被誤診的概率為者用此法被誤診的概率為0.1.假如人群中肝癌的患病假如人群中肝癌的患病 率為率為0.0005，現(xiàn)在若有一人被此法診斷為患有早期，現(xiàn)在若有一人被此法

12、診斷為患有早期 肝癌，求此人確實(shí)患有早期肝癌的概率肝癌，求此人確實(shí)患有早期肝癌的概率? 作業(yè)：作業(yè)：p66-67 17、18、19、21 1.條件概率條件概率 () () ( ) P AB P B A P A 全概率公式全概率公式 貝葉斯公式貝葉斯公式 1122 ( )() ()() ()() () nn P AP AB P BP AB P BP AB P B 1 () () (),1,2, () () ii in jj j P A B P B P B Ain P A BP B ()() ( )P ABP B A P A 乘法定理乘法定理 說明說明1. 全概率公式的主要用處在于它可以將一全概率

13、公式的主要用處在于它可以將一 個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題, ,分解為若干個(gè)簡單分解為若干個(gè)簡單 事件的概率計(jì)算問題事件的概率計(jì)算問題, ,最后應(yīng)用概率的可加性求最后應(yīng)用概率的可加性求 出最終結(jié)果出最終結(jié)果. . A 1 B 2 B 3 B 1 n B n B 說明說明2. 貝葉斯公式計(jì)算的是后驗(yàn)概率，利用觀貝葉斯公式計(jì)算的是后驗(yàn)概率，利用觀 測或?qū)嶒?yàn)的結(jié)果來修正之前的認(rèn)識。測或?qū)嶒?yàn)的結(jié)果來修正之前的認(rèn)識。 例例 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時(shí)第一次落下時(shí) 打破的概率為打破的概率為1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落第二

14、次落 下打破的概率為下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破若前兩次落下未打破, 第三第三 次落下打破的概率為次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未試求透鏡落下三次而未 打破的概率打破的概率. 解解 以以B B 表示事件表示事件“透鏡落下三次而未打破透鏡落下三次而未打破”. 123, BA A A 123 ( )()P BP A A A 312211 () () ()P A A A P A A P A 971 (1)(1)(1) 10102 3 . 200 i A (i=1,2,3)ni,以表示事件 透 第 次落下打破 例數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射例數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1

15、兩種狀態(tài)信號，其中發(fā)兩種狀態(tài)信號，其中發(fā)0 的概率為的概率為0.55，發(fā)，發(fā)1的概率為的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在。由于信道中存在干擾，在 發(fā)發(fā)0的時(shí)候，接收端分別以概率的時(shí)候，接收端分別以概率0.9、0.05和和0.05接收為接收為0、1和和 “不清不清”。在發(fā)。在發(fā)1的時(shí)候，接收端分別以概率的時(shí)候，接收端分別以概率0.85、0.05和和0.1 接收為接收為1、0和和“不清不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個(gè)現(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號。的信號。 問發(fā)端發(fā)的是問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少的概率是多少? 解：設(shè)解：設(shè)A-發(fā)射端發(fā)射發(fā)射端發(fā)射0， B- 接收端接收到一個(gè)接收端接收到一個(gè)“1”的

16、信號的信號 )BA (P ) A ( P) A B(P)A(P)AB(P )A(P)AB(P 0.067 45. 085. 055. 005. 0 55. 005. 0 0 1 0 1 不 不清清 0 (0.55) (0.9) (0.05) (0.05) 1 (0.45) 1 0 1 0 不 不清清 (0.85) (0.05) (0.1) 袋中有袋中有a只白球，只白球，b只黑球，有放回的每次從袋只黑球，有放回的每次從袋 中取一球，問中取一球，問 第一次取得白球的條件下第二次取得白球的概率是第一次取得白球的條件下第二次取得白球的概率是 多少？多少？ 第第二二次取得白球的概率是多少？次取得白球的概

17、率是多少？ （一）兩事件獨(dú)立（一）兩事件獨(dú)立 定義定義 設(shè)設(shè)A A、B B是兩事件，若是兩事件，若 P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B) 則稱事件則稱事件A A與與B B相互相互獨(dú)立獨(dú)立。 事件事件 A A 與與 事件事件 B B 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,是指事件是指事件 A A 的的 發(fā)生與事件發(fā)生與事件 B B 發(fā)生的概率無關(guān)發(fā)生的概率無關(guān). 說明說明: 兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立()( ) ( )P ABP A P B 兩事件互斥兩事件互斥AB A B 11 ( ),( ), 22 P AP B若若 AB ()( ) ( ).P ABP A P B 例如例如 由此可見由此可見

18、兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立，但兩事件不互斥但兩事件不互斥. 兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系. 請同學(xué)們思考請同學(xué)們思考 二者之間沒二者之間沒 有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系 則 A B 11 (),() 22 P AP B 若若 ()() ().P ABP A P B 故故 由此可見由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立兩事件互斥但不獨(dú)立. ()0,P AB 1 ( ) ( ), 4 P A P B 則 定義定義 若三個(gè)事件若三個(gè)事件A A、B B、C C滿足：滿足： P(AB)=P(A)P(B),P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(AC)=P(A

19、)P(C), (1)(1)P(BC)=P(B)P(C),P(BC)=P(B)P(C),則稱事件則稱事件A A、B B、C C兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立； 若在此基礎(chǔ)上還滿足：若在此基礎(chǔ)上還滿足： (4)P(ABC)(4)P(ABC)P(A)P(B)P(C),P(A)P(B)P(C), 則稱事件則稱事件A A、B B、C C相互獨(dú)立相互獨(dú)立。 三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立 一般地，設(shè)一般地，設(shè)A A1 1，A A2 2，A An n是是n n個(gè)事件，如果對任意個(gè)事件，如果對任意k k (1(1 k k n), n), 任意的任意的1 1 i i1 1 i

20、 i 2 2 i ik k n n，具有等式具有等式 P(A P(A i1 i1 A A i2 i2 A A ik ik) )P(A P(A i1i1)P(A)P(A i2 i2)P(A)P(A ik ik) ) 則則 稱稱n n個(gè)事件個(gè)事件A A1 1，A A2 2，A An n相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。 n 個(gè)事件相互獨(dú)立個(gè)事件相互獨(dú)立n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立 定理定理 設(shè)設(shè)A A、B B是兩事件相互獨(dú)立，是兩事件相互獨(dú)立，P(A) P(A) 0,0, 則則 P(B)P(B)P(B|A) P(B|A) 定理定理、以下四件事等價(jià)：、以下四件事等價(jià)： (1)(1)事件事件A A、B B

21、相互獨(dú)立；相互獨(dú)立；(2)(2)事件事件A A、B B相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； (3)(3)事件事件A A、B B相互獨(dú)立；相互獨(dú)立；(4)(4)事件事件A A、B B相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。 1.1.若若n n個(gè)事件個(gè)事件A A1 1，A A2 2，A An n相互獨(dú)立相互獨(dú)立，則其中任意，則其中任意k k 個(gè)事件也相互獨(dú)立個(gè)事件也相互獨(dú)立。 兩個(gè)結(jié)論：兩個(gè)結(jié)論： 2.2.若若n n個(gè)事件個(gè)事件A A1 1，A A2 2，A An n相互獨(dú)立相互獨(dú)立，則將，則將A1A1，A2A2， ，AnAn中任意多個(gè)事件換成它們的對立事件，所得的中任意多個(gè)事件換成它們的對立事件，所得的 n n個(gè)事件仍然獨(dú)立。個(gè)事

22、件仍然獨(dú)立。 例例 設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是0.2, 若若10名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊,問擊落飛問擊落飛 機(jī)的概率是多少機(jī)的概率是多少? 射擊問題射擊問題 例例 甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的概率分別為三人擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機(jī)飛機(jī) 被一人擊中而被擊落的概率為被一人擊中而被擊落的概率為0.2 ,被兩人被兩人 擊中而被擊落的概率為擊中而被擊落的概率為 0.6 , 若三人都擊中若三人都擊中 飛機(jī)必定被擊落飛機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī)被擊落的概

23、率求飛機(jī)被擊落的概率. 伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 例例 一個(gè)均勻的正四面體一個(gè)均勻的正四面體， 其第一面染成紅色其第一面染成紅色， 第二面染成白色第二面染成白色 ， 第三面染成黑色第三面染成黑色，而第四面同而第四面同 時(shí)染上紅、白、黑三種顏色時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以現(xiàn)以 A ， B，C 分別分別 記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件，記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件， 問問 A，B，C是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立? 例例 在可靠性理論上的應(yīng)用在可靠性理論上的應(yīng)用: 如圖，如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點(diǎn)表示繼電器觸點(diǎn),假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)閉合的假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)閉合的 概率為概率為p

24、,且各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求且各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求L至至R是通是通 路的概率。路的概率。 設(shè)設(shè)A=R-L至至R為通路為通路,Ai=第第i個(gè)繼電器通個(gè)繼電器通 ,i=1,2,5 )()|( 5241 3AAAAPAAP 42 2pp )()|( 54213 AAAAPAAP )()()|( 54213 AAPAAPAAP 22 )2(pp 由全概率公式由全概率公式 )()|()()|()( 33 33APAAPAPAAPAP 5432 2522pppp 五、五、 貝努利概型貝努利概型 定義：有一隨機(jī)試驗(yàn)，觀察事件定義：有一隨機(jī)試驗(yàn)，觀察事件A發(fā)生與否，發(fā)生與否， ( )(01

25、),( )1P AppP Apq 將此試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行將此試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，則稱此模型次，則稱此模型 為為n重貝努利概型。重貝努利概型。 求在求在n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生發(fā)生k次的概率。次的概率。 k BnAk “ 次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 發(fā)生 次” 5n 假設(shè) 123 456 789 101112 1314 ( , , , , ) ,( , , , ,) ,( , , , ) , ( , , , ) ,( , , , ) ,( , , , , ) , ( , , ,) ,( , , ,) ,( , , ,) , ( , , , ,) ,( , , ) ,( , , ) ,

26、( , , , ) ,( , , ) ,( , , , ) A A A A AA A A A AA A A A A A A A A AA A A A AA A A A A A A A A AA A A A AA A A A A A A A A AA A A A AA A A A A A A A A AA A A A AA A A A A 15 161718 192021 222324 252627 2829 , ( , , , ) ,( , ,) ,( , ,) , ( , , ,) ,( , ,) ,( , , ,) , ( , , ,) ,( , ) ,( , , ) , ( , , ) ,( , , ) ,( ,) , ( , ,) ,( , ,) ,( A A A A AA A A A AA A A A A A A A A AA A A A AA A A A A A A A A AA A A A AA A A A A A A A A AA A A A AA A A A A A A A A A