根式及其運算之歐陽文創(chuàng)編

1、根式及其運算時間：2021.03. 12創(chuàng)作：歐陽文二次根式的概念、性質(zhì)以及運算法則是根式運算的 基礎(chǔ)，在進行根式運算時，往往用到絕對值、整式、分 式、因式分解，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等有 關(guān)知識與解題方法，也就是說，根式的運算，可以培養(yǎng) 同學(xué)們綜合運用各種知識和方法的能力.下面先復(fù)習(xí)有 關(guān)基礎(chǔ)知識，然后進行例題分析.二次根式的性質(zhì)：二次根式的運算法則：設(shè)a, b, c, d, m是有理數(shù)，且m不是完全平方數(shù)，則 當(dāng) 口 僅 當(dāng)Q=c, b = d時，=c+d/ni當(dāng)兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘時，如果它們的 積不含有二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.例1化簡：解（1由二次根式的

2、性質(zhì)J訐=|a|可知，化簡二次根式的一個有效方 法是配方去掉根號，所以因為x-20, l-xy),使x+yw,xy=b,則解法2待定系數(shù)法.例4化簡：(2)這是多重復(fù)合二次根式，可從里往外逐步化簡.分析被開方數(shù)屮含有三個不同的根式，且系數(shù)都是2,可以看成是將T + +礎(chǔ)方得來的，因此用待定糸數(shù)法來化簡.數(shù)法來化簡.解設(shè)兩邊平方得XX得(xyz)-5X7X35二351因為x, y, z均非負(fù)，所以xyzNO,所以xyz二35.一，有z二7.同理有x=5, y二1.所求x, y, z顯然 滿足，所以解設(shè)原式二x,則解法 1 利用(a + b)3=a3 + b3 + 3ab(a+b)來解.將方程左端

3、因式分解有(x4) (x+4x+10) =0.因為x + 4x+10= (x+2)+60,所以x-4 = 0, x = 4.所以原式=4.解法2說明解法2看似簡單，但對于三次根號下的拼湊是很難 的，因此本題解法1是一般常用的解法.例8化簡：解本小題也可用換元法來化簡.解用換元法.解直接代入較繁，觀察x, y的特征有所以3x25xy + 3y = 3x2 + 6xv+3y2- llxy= 3(x+y) -llxy= 3X1O2-11X 1 = 289.例11求分析本題的關(guān)鍵在于將根號里的乘積化簡，不可一味蠻 算.解設(shè)根號內(nèi)的式子為A,注意到1 =(2-1),及平方差公 式(a + b) (ab)

4、 =ab,所以A=(2T) (2 + 1) (22+1) (24+D (2256+l)+l=(2-1) (22+l) (24+l)(28+D (2256+l) + l=(2-1) (24+l) (2s+1) (216+1) (2256+1)+1= =(2?56T) (2256+l)+l= 22 X 256-1 + 1 = 22 X 256,的值.分析與解先計算幾層，看一看有無規(guī)律可循.解用構(gòu)造方程的方法來解.設(shè)原式為x,利用根號的層數(shù)是無限的特點，有兩邊平方得兩邊再平方得x-4x + 4 = 2 + x,所以 x-4x-x + 2 = 0.觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)X = -1, 2時，方程成立.因此，方程左端必有因式(x+l)(x-2),將方程左端因式分解，有