第6章船舶運動控制系統(tǒng)建模應用

1、第6章船舶運動控制系統(tǒng)建模應用6.1弓I言數(shù)學模型化(mathematical modelling)是用數(shù)學語言(微分方程式)描述實際過程動態(tài) 特性的方法。在船舶運動控制領域，建立船舶運動數(shù)學模型大體上有兩個目的：一個目 的是建立船舶操縱模擬器(ship manoeuvring simulator)，為研究閉環(huán)系統(tǒng)性能提供一個基本的仿真平臺；另一個目的是直接為設計船舶運動控制器服務。船舶運動數(shù)學模型主要 可分為非線性數(shù)學模型和線性數(shù)學模型，前者用于船舶操縱模擬器設計和神經(jīng)網(wǎng)絡控制器、模糊控制器等非線性控制器的訓練和優(yōu)化，后者則用于簡化的閉環(huán)性能仿真研究和 線性控制器(PID, LQ, LQG,

2、 H :魯棒控制器)的設計。船舶的實際運動異常復雜，在一般情況下具有6個自由度。在附體坐標系內(nèi)考察，這種運動包括跟隨3個附體坐標軸的移動及圍繞3個附體坐標軸的轉(zhuǎn)動，前者以前進速度(surge velocity) u、橫漂速度(sway velocity) v、起伏速度(heave velocity) w 表述，后者以 艏搖角速度(yaw rate) r、橫搖角速度(rolling rate) p及縱搖角速度(pitching rate) q表述；在 慣性坐標系內(nèi)考察，船舶運動可以用它的3個空間位置x0,y0,z0(或3個空間運動速度x0,y0,z0)和3個姿態(tài)角即方位角(heading ang

3、le) 、橫傾角(rolling angle):、縱傾角(pitchi ng an gle)(或3個角速度)來描述，稱為歐拉角 (見圖6.1.1)。 顯然u,v,wT和X0, y ,ZoT以及p,q, rT和:,，討T之間有確定關(guān)系 。但這并不等于 說，我們要把這 6個自由度上的運動全部加以考慮。數(shù)學模型是實際系統(tǒng)的簡化，如何 簡化就有很大學問。太復雜和精細的模型可能包含難于估計的參數(shù)，也不便于分析。過 于簡單的模型不能描述系統(tǒng)的重要性能。這就需要我們建模時在復雜和簡單之間做合理的折中。對于船舶運動控制來說，建立一個復雜程度適宜、精度滿足研究要求的數(shù)學模 型是至關(guān)重要的。圖6.1.1的坐標定義

4、如下：O-XoYoZ。是慣性坐標系(大地參考坐標系)，匚為起始位置，0X。指向正北，OY。指向正東，OZ。指向地心；o-xyz是附體坐標系，為船首尾之間連線的中點，ox沿船中線指向船首， oy指向右舷，oz指向地心；航向角以正北為零度，沿順時針方向取0360 ;舵角:.以右舵為正。對于大多數(shù)船舶運動及其控制問題而言，可以忽略起伏運動、縱搖運動及橫搖運動，而只需討論前進運動、橫漂運動和艏搖運動，這樣就簡化成一種只有3個自由度的平面運動問題。圖6.1.2給出圖6.1.1經(jīng)簡化后的船舶平面運動變量描述。船舶平面運動模型對于像航向保持、航跡跟蹤、動力定位、自動避碰等問題，具有足夠的精度；但在研究像舵阻

5、搖、大舵角操縱等問題時，則必須考慮橫搖運動。本章根據(jù)剛體動力學基本理論建立船舶平面運動基本方程，據(jù)此進一步導出狀態(tài)空間型(線性和非線性)及傳遞函數(shù)型船舶運動數(shù)學模型，并考慮了操舵伺服系統(tǒng)的動態(tài)特性和風、浪、流干擾的處理方法。這些結(jié)果將作為設計各種船舶運動控制器的基礎。計及橫搖的四自由度船舶運動數(shù)學模型參見文獻5。圖6.1.1在慣性坐標系和附體坐標系中描述船舶的運動6.2船舶平面運動的運動學(1)坐標系及運動學變量1) 慣性坐標系及與之相關(guān)的速度分量取O -XqYo為固定于地球的大地坐標系，原點O設為船舶運動始點或任取，地球的曲率在此可不考慮，不過在涉及大范圍航行的航線設計問題時，需單獨處理。設

6、船舶運動速度向量V在OXo方向上的分量為Uo , V在OYo方向上的分量為V。，船舶當前的位置是(xo, yo)，時間變量以t表示，顯有Xo(t) Xo(O) = f)Uodt ,t(6-2-1)yo(t) yo(0) = fvodt,設船舶的艏搖角速度r順時針方向為正，有(t)(0) = ；rdt(6-2-2)2) 附體坐標系及與之相關(guān)的速度分量取附體坐標系oxy位于滿載水線面內(nèi)。船舶運動速度V在ox方向上的分量為u，稱為前進速度，V在oy方向上的分量為 V，叫做橫漂速度。同一速度向量V在慣性坐標系的分量(Uo，Vo)及附體坐標系的分量(u,v)有下列明顯的關(guān)sin- ucos |v(6-2

7、-3)3) 兩種坐標系內(nèi)運動學變量之間的關(guān)系在慣性坐標系內(nèi)船舶的位置和姿態(tài)由x(t), yo(t)(t)T確定，在附體坐標系內(nèi)船舶之運動速度和角速度由U(t),v(t),r(t)卩表示。由式(6-2-1)，式(6-2-2)和式(6-2-3)知-(0) 0r(t)dtx0(t) =x0(O) + 0u(t)cos屮(t) _v(t)sin屮(t)dt y(t) =y(0) + u(t)si n 屮(t) +v(t)cos屮(t)dt(6-2-4)可見，要確定船舶在任意時刻的位置和姿態(tài)，首先應該求出在附體坐標系內(nèi)u,v,r的變化規(guī)律，為此需要建立船舶運動的動力學方程。平面運動中船舶各點上速度之間的

8、關(guān)系1) 剛體運動分解為移動和轉(zhuǎn)動從運動控制角度將船舶視為剛體是足夠準確的，因此其運動是由移動(translation)和轉(zhuǎn)動(rotation)疊加而成；可以取船上任意一點為參考點，船舶一 方面整體地隨該參考點平行移動，另一方面繞該參考點同時發(fā)生旋轉(zhuǎn)運動；移動速度即參考點的速度，故與參考點選擇有關(guān)，轉(zhuǎn)動角速度則與參考點無關(guān)，即對任意的參考點均為同值，對于船舶平面運動，該轉(zhuǎn)動角速度即為艏搖角速率r。2) 船舶任意點 P處的合速度 取o為參考點(圖6.2.1)，船上任一點 P對o點向徑為Po =Xi - yj, i, j為ox及oy軸上的單位向量。以向量形式表示旋轉(zhuǎn)角速度， 有二rk , k為沿

9、 oz軸的單位向量，3即為艏搖角速度向量。由理論力學，因剛體轉(zhuǎn)動而造成的速度為Vr =3 po，故P點的合速度是VP =V *Vr =V +3 po =(u yr)i + (v + xr) j(6-2-5)注意：單位向量X乘所得向量滿足右手法則，如k i，右手從k的正方向逆時針握向i的正方向，大拇指所指方向即j的正方向，如果方向與 j的正方向相反，結(jié)果加負號。移動與轉(zhuǎn)動速度的合成圖 6.2.1V P考慮船舶質(zhì)心C,其對0點之向徑為Pc =XciyC j，則C點之速度為V C =V 3 Pc =(u yer) i (v Xc r) j =ui(v Xc r) j(6-2-6)上式最后一步是由于船

10、舶配載對稱于縱腫剖面，ye =0。如果取質(zhì)心 C為參考點，應該從oxy坐標系過渡到C，坐標系，后者是前者沿 0X方向平行移動距離 乙而得。P對C 的向徑為d：i j，于是有V p =V e 3 d =(Ue - r)i (Ver) j(6-2-7)6.3船舶平面運動的動力學在推導船舶運動方程時，做下列假設：-船舶是一個剛體；-大地參照系是慣性參照系；水動力與頻率無關(guān)，水的自由表面做剛性壁處理。有了第一個假設就不用考慮每個質(zhì)量元素之間的相互作用力的影響，而第二假設則可以消除由于地球相對于恒星參照系的運動 所產(chǎn)生的力。(1)平移運動方程的建立1) 剛體的動量剛體被看做無數(shù)質(zhì)量微團的集合體，各微團保

11、持其形狀及彼此之間的距離不變。剛體動量 G為各微團動量Vpdm的積分，即G = Vpdm = (Ve3 d)dm 二Ve dm 3 ddm上式最后一項按照質(zhì)心的定義應為零，設m是剛體的總質(zhì)量，則G 二 mVe(6-3-1)2) 剛體動量定理牛頓運動定律指明，剛體動量的變化率等于其所受外力之和。以F =Xi，Yj代表合外力，其中，X是作用于ox方向上的外力，Y是作用于oy方向上的外力， 有dG / dt = F(6-3-2)利用式(6-2-6)、式(6-3-1)和式(6-3-2)，且注意到di/dt二rj,dj /dt二-ri (因整個坐標系是 建立在附體坐標系基礎上的，而附體坐標系是隨著船舶的

12、移動和轉(zhuǎn)動而移動和轉(zhuǎn)動的，故其導數(shù)存在。如果在慣性坐標系，則其導數(shù)為0)，參見圖6.3.1，經(jīng)整理得- 2m(u -vr -xer ) = X-(6-3-3)m(v ur xer) =Yd i = rdt jdj - -rdt i圖6.3.1單位向量微分關(guān)系式(6-3-3)即為船舶平移的動力學基本方程，注意其形狀與熟知的牛頓方程有所差異， 這是由于建立船舶運動數(shù)學模型應用的oxy是非慣性坐標系所致。 式(6-3-3)左端附加項- mvr及mur是船舶宏觀旋轉(zhuǎn)中向心慣性力分量；附加項 -mxCr2及mxCr分別是由于質(zhì)心 C對 原點o做旋轉(zhuǎn)運動產(chǎn)生的向心慣性力及切向慣性力(離心慣性力)。(2)旋

13、轉(zhuǎn)運動方程的建立1) 剛體的動量矩剛體對質(zhì)心C的動量矩H c為各微團對C動量矩d (Vpdm)的積分，即H C = (d VP)dm = (d VC)dm 亠 i(d d)dm =(i 麗 j) rk ( i 麗 j)dm = r ( 2 麗 2)dmk = krk(6-3-4)其中I= ( 2 2)dm為船舶對過C點的垂直軸(o )的慣性矩。2) 對質(zhì)心C的動量矩定理同樣由牛頓運動定律，運動著的剛體對質(zhì)心C的動量矩變化率等于其所受外力矩之和，以M c二Nc k表示后者，N c為外力矩之代數(shù)和，于是dH C / dt = M C即I r=Nc(6-3-5)3) 對于坐標系oxy原點o的動量矩定

14、理形式為式(6-3-5)的動量矩定理只適用于質(zhì)心C?，F(xiàn)由該式出發(fā)對力矩和動量矩進行變換以導出適用于o點的動量矩定理表達式。以M o二Nk表示外力矩之和，其中 N是作用于船舶的繞 z軸的外力矩，以 表示船舶對oz 軸的慣性矩，由理論力學的力矩和慣性矩移軸公式，有M =M c - Pc F及 -=1m兼，這樣由式(6-3-4)和式(6-3-5)可推出Nk = I r k xc i Yj = I r k xcm(v ur xcr) kI zzr mxc (v ur) = N(6-3-6)式(6-3-6)即為船舶轉(zhuǎn)動的動力學基本方程，其形狀與式(6-3-5)的區(qū)別在于，左端的附加項mXcV及mxcur

15、分別代表由于質(zhì)心 C對原點o做旋轉(zhuǎn)運動所產(chǎn)生的離心慣性力矩和向心 慣性力矩。6.4船舶平面運動的線性化數(shù)學模型綜合式(6-3-3)和式(6-3-6)，得下列形式的船舶平面運動基本方程m(u 一vr -xCr2) = X Im(v +ur +xCr) = Y I zzr +mxC(v +ur) = Njr(6-4-1)當附體坐標系原點取在質(zhì)心C時，Xc =0，可得最簡形式的船舶平面運動基本方程m(u -vr)二 X | m(v+ur)=Y I z=N(6-4-2)式(6-4-1)代表著3種力的平衡關(guān)系：左端是船體本身的慣性力和力矩，右端是流體對船體運動的反作用力，實際上包含了流體慣性力和力矩及黏

16、性力和力矩。式(6-4-1)本質(zhì)是非線性的，其左端顯式地出現(xiàn) ur,vr等非線性項，尤其右端的X，丫，N將是運動變量和控制變量的多元非線性函數(shù)，結(jié)構(gòu)異常復雜。(1)船舶平面運動的非線性模型和線性模型船舶運動數(shù)學模型分線性化數(shù)學模型和非線性數(shù)學模型兩大類。研究船舶數(shù)學模型通常有兩種目的：一種目的是建立精密程度不同的船舶運動仿真器(又稱船舶運動模擬器)，用于通過仿真對船舶操縱特性進行研究，對船舶運動閉環(huán)控制系統(tǒng)進行研究，對船舶運動控制器性能進行評價。這種模型必須是非線性的，以包含盡可能多的機理細節(jié)；另一種模型目的是用于船舶運動控制器設計，這種模型主要是線性的，因為迄今為止，線性反饋控制理論仍是能夠

17、提供各種控制器設計系統(tǒng)性方法的惟一控制論分支。當引用神經(jīng)網(wǎng)絡控制或模糊控制 時，非線性船舶運動數(shù)學模型可以提供訓練和學習的數(shù)據(jù)。1) 船舶平面運動非線性數(shù)學模型為應用方程式(6-4-1)求解船舶平面運動的基本變量u,v,r，必須具體討論流體動力X,Y和力矩N的結(jié)構(gòu)形式。研究中把船體、螺旋槳和舵視為一個整體，此時X,Y,N將是移動速度(u,v)、轉(zhuǎn)動角速度(r)、它們的時間導數(shù)(u,v,r)、舵 角C )以及螺旋槳轉(zhuǎn)速(n)的非線性函數(shù)X = X(u,v,r,u,v,r, n廠Y =Y(u,v, r,u,v,r,6n) N = N (u,v,r ,u, v, r, n)”(6-4-3)完全從理論

18、上確定式(6-4-3)的函數(shù)關(guān)系極為困難，迫使研究者不得不轉(zhuǎn)向半理論半經(jīng)驗 的方法或多元數(shù)據(jù)回歸方法。Abkowitz提出一種小擾動和 Taylor展開研究X,Y,N的表示式的方法，其主要思路是，考慮船舶等速直線運動這一平衡狀態(tài)：u = u0 =V,v = r = 0,、： = 0,u = v = r = 0，這時在式(6-4-3)中的自變量n將不出現(xiàn)；從該點出發(fā)，研究偏離平衡狀態(tài)不遠的運動：u = u0 + 心u,v = Av,r = r, u = Au, v = Av, r = r, 6 =也也u, Av,，心6 是 小量；將X,Y,N在平衡點附近展成 Taylor級數(shù)時，在展開式中將僅出

19、現(xiàn)u,v和r的一次項，因為流體對船舶的慣性反作用力只取決于平移加速度u,v以及轉(zhuǎn)動角加速度r本身，而與它們的各階導數(shù)無關(guān)；至于和 Au,v,r有關(guān)的黏性力各項及與 ：有關(guān)的舵力各項，則取至 3階為止，更高階的項全部略去。將式(6-4-3)的展開式代回式(6-4-1)并進行移項整理，可得到 Abkowitz非線性船舶運動方程。Norrbin發(fā)展一種非線性船舶運動數(shù)學模型，該模型有兩個特點，一是適用于運動變量(u,v,r)的整個變化范圍；二是它不像 Abkowitz模型那樣，完全按數(shù)學方式處理流體動力，以至其 Taylor展開式的某些項缺乏物理意義，而是在更深的層次上依賴于流體動力學 的基本原理，

20、構(gòu)成一種半理論半經(jīng)驗的模型格局。以上所述的Abkowitz和Norrbin船舶運動非線性數(shù)學模型屬于“整體式”模型，本節(jié) 將做較詳細的介紹。與此相對應，日本船舶操縱數(shù)學模型小組(Manoeuvring Model Group,MMG)提出了一種分離式船舶運動數(shù)學模型，后者是在單獨考慮船體、螺旋槳、舵的流體動力學特性的基礎上再研究在它們構(gòu)成一個推進和操縱系統(tǒng)時，各部分之間的相互干擾。這種分離式模型的優(yōu)勢是具有完整的理論支持，易于進行實驗研究從而獲得較為通用的數(shù)據(jù)回歸結(jié)果，對于希望建立自己的復雜程度不同的船舶操縱模擬器的各類研究人員均有裨益。有關(guān)MMG模型的結(jié)構(gòu)和細節(jié)，有興趣的讀者可參考文獻9。2

21、) 船舶平面運動線性數(shù)學模型沿用Abkowitz的研究方案，在把流體動力X,Y,N展開成Taylor級數(shù)時只保留一階小量 ，同時在船舶運動基本方程左端也進行線性化處理，從 而得到平面運動線性數(shù)學模型，有m=u 二Xu lu Xu =umv mu0r mxcr =Yvv Yrr Y/v Yr r Y、I zzr mxcv mxcu0r = Nvv Nrr Nvv Nr r N ；：S-Xu)o0 1姑-Xu00 1亦I0o(m -Y；)(mxc -Yr)v=0Yv(Yr mu)v+0(mxc N)(IzzNJ 一一0Nv(Nr mxcu)_r 一NJ以矩陣形式表示之，有(6-4-4)式(6-4-

22、4)對研究平面運動穩(wěn)定性有用。3) 前進運動與橫漂、轉(zhuǎn)首運動的解耦式(6-4-4)表明，在線性化前提下，前進運動與其他兩個自由度上的運動互相獨立，從航速控制的角度，該自由度的運動可以單獨考慮；橫漂及轉(zhuǎn)首運動之間存在著強耦合，這兩個自由度上的運動與船舶航向、航跡控制密切相關(guān)，是本章研究的重點，故而將式(6-4-4)重新寫為(m _Xu)u 仏：u(6-4-5)(m-Yv)(mxc -Yr) v = (Y-mu。)v Y(mxc -Nv) (Izz-Nr)丿.|l Nv (Nr -mxcu。)丿 _N ；(6-4-6)4) 流體動力導數(shù)的無量綱化船舶線性化數(shù)學模型的進一步推演主要涉及10個流體動力

23、導數(shù)Yv,Yr,Nv,Nr,Yv,Yr; Nv, Nr,Y , N，前4個稱為“速度導數(shù)”，第 5第8個稱為 “加速度導數(shù)”，最后兩個稱為“舵力和舵力矩導數(shù)”。由于船舶(包括槳、舵)幾何形狀的復雜性，應用理論流體動力學方法計算這些流體動力導數(shù)是不可能的，因此它們的確定必須依賴于船模試驗。為了數(shù)據(jù)處理的科學性以及使用的方便性，根據(jù)相似原理和量綱分析方法，應該采用無量綱的流體動力導數(shù)。為此選擇一些基本的度量單位：長度L0L(船長)，速度V V(航速),時間to L/V ,質(zhì)量mo (1/2) ；-L3，力Fo (1/2-V2L2，力矩M。 (1/2)：V2L3，其中水密度。這樣將得到各量的無量綱值

24、：質(zhì)量：1m3=m /（ L ）2長度：Xc =Xc /L速度：1v=v/V轉(zhuǎn)首角速度：r =rL/V力:1F二 F/（丄:V2L2）2力矩：N，*/（丄：?L3V2）2慣性矩：1I zz1、5:=lzz/（：止5）2I-mL2zzzz16/ 一 (Y / Fo) Vo2以此為基礎，將得到無量綱速度導數(shù)Yv=丫 / ；-v-Yv2丫(v/Vo)FoVLN；二氷/汀=(2/( WL4),以此類推。以上介紹的無量綱化流體動力導數(shù)稱為“一撇”系統(tǒng)(prime system),由美國造船與輪機工程師協(xié)會 (SNAME)于1950年提出；此后Norrbin 又提出了“兩撇” (bis system十7，

25、其獨到之處是采用與上述不同的基本度量單位，如：長度L,速度 ,gL，時間 ,L/g，質(zhì)量 宀、,、為排水體積，力，力矩一一 L。由此得出的無量綱流體動力導數(shù)以Y,N；,表示。5) 線性流體動力導數(shù)的估算公式Clarke整理大量船模試驗數(shù)據(jù)，給出關(guān)于1O個線性流體動力導數(shù)的回歸公式1o，匯集如下：Y； =-1O.16CbB/T -5.1(B/L)2機(T/L)2Yr： TO.67B/L -O.OO33(B/T)2 n(T/ L)2N； = -1.1B/L -O.O41B/T機(T/L)2N, = -1/12+O.O17CbB/T O.33B/L機(T/L)2Yv =-1+.4OCbB/T機(T/

26、L)2(6-4-7)丿Yr = -1/22.2B/L -O.O8OB/T機(T/L)2N；=1/22.4T/L n仃 / L)2 2N； -1/4 0.039B/T _ 0.56B/L機(T / L)2Y =3.0A./L2N1/2)Y6上式中B,T,Cb，A、分別指船寬、吃水、方形系數(shù)、舵葉面積。上式中的本身的流體動力導數(shù)，在實際應用時應考慮舵對船體流體動力的干擾,導數(shù)做一定的修正，需修改的增量按下式確定 10尚需對這些流體動力 1 AYr =AYv2 1 出N v =也 Yv 2 1 判=_帆4= 0.30(2)狀態(tài)空間型船舶平面運動數(shù)學模型狀態(tài)空間型的船舶運動數(shù)學模型是船舶運動控制器設計

27、的基礎， 化方案，不同維數(shù)的模型用于不同的設計目的和精度要求，詳見文獻1)二自由度狀態(tài)空間型船舶線性數(shù)學模型(6-4-8)它可以有多層次的模型9。在式(6-4-6)的第一行兩端除以-?L3，第二21行除以2 4，并轉(zhuǎn)化成無量綱流體動力導數(shù)，則有m -Y； mxC-N； L(IzzL(mxC -Yr；) v -N?) Iir-Y；V(Yrm)VN； V(N； -mxc)2 1丫6V215(6-4-9)上式可簡記為1 X =P(2)X (2) QU(6-4-10)其中L(mxc -Yr)L(l；z -N；)V2V(Yr _m)II I分別是慣性力導數(shù)矩陣、黏性力導數(shù)矩陣及舵力導數(shù)矩陣,X=V rT

28、是狀態(tài)向量，U =是控制輸入。將式(6-4-10)化成標準的狀態(tài)空間形式，得X =A(2) X( 2) B(2)(6-4-11)其中1 A(2)二(1 )P(2)二1121B(2) =(I (2)Qb11b21并且an 二(l；z -N；)Yv -(mxc -Yr)NVV/S1a12 =(l；z N；)(Yr m)(mxc Yr)(N； m Xc)LV / Sa21 =-(mxc N；)YV +(m力川；/ L/S1a22 = -(m xc -Nv)(Yr -m) (m -Yv)(N-mxc)V/S nb11 =( I ； - N r)Y -(m xc -YJ NdV / S1 2bm =-(

29、mxc - Nv)Y+(m -Yv)NdV /L/S1S1 二(I； _N；)(m _Y；) _(mxc _N；)(mxc _Y；)L(6-4-12)2)三自由度狀態(tài)空間型船舶線性數(shù)學模型在式(6-4-11)的基礎上,問題的狀態(tài)變量.(航向偏差)，且.： - -=r1r為設定航向，X=v r：T。因匸=r，可得X (3) = A (3) X (3) B (3) -增加一個便于研究使狀態(tài)向量成為(6-4-13)其中V(Nr _m xC)3階模型是最基本的，由此可演化成其他更高階的模型形式，直接利用3階模型可進行線性二次型(Linear Quadratic, LQ)最優(yōu)控制器設計。3) 四自由度狀

30、態(tài)空間型船舶線性數(shù)學模型在式(6-4-13)基礎上再疊加以舵機伺服系統(tǒng)的模型，后者一般被視為一個1階慣性環(huán)節(jié)，其時間常數(shù)為Tr，則有(6-4-14)1丄“TrTr其中：:r為命令舵角，則狀態(tài)變量成為 X4V T，可得到X (4) = A(4) X B(4)： r(6-4-15)其中A(3)B (3)0 001T；A(4)4) 考慮隨機干擾時的線性船舶數(shù)學模型考慮海上環(huán)境干擾對船舶的影響，并把這種干 擾簡化為一種白噪聲w(2)= “1 W2 r，則船舶運動數(shù)學模型將從確定性系統(tǒng)變?yōu)殡S機系統(tǒng),這樣有X =A(2)X (2) B(2) w(2)w(2)= Wrw2 T(6-4-16)(6-4-17)

31、X =A(3)X (3) B . W(3)w=W1w2 w3 rX -A(4) X B r w(4)W(4)= W1W2W3 W4 T(6-4-18)其中白噪聲W3代表航向角，受到的高頻噪聲，W4代表海浪對舵葉驅(qū)動伺服系統(tǒng)的干擾作用。(3) 傳遞函數(shù)型的船舶運動數(shù)學模型傳遞函數(shù)型數(shù)學模型在經(jīng)典控制論以至智能控制范疇內(nèi)用于分析船舶運動的動態(tài)行為， 并且可作為設計航向、航跡控制器的基礎。1)3階傳遞函數(shù)模型對于船舶航向控制來說，采用3個自由度的狀態(tài)空間數(shù)學模型式(6-4-12)，加上輸出方程U 二CX (3)(6-4-19)其中*m為量測航向，C = 0 0 1 1,將此狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)

32、形式為G (S八C_A尸齊 s(t7需2? 1)(6-4-20)這是一個3階系統(tǒng)，具有兩個非零極點和一個零點，且有1二 &11&22 -a2a?1=一(aii a22)- T2T1T21 1(b11a21 - b21a11 )T3b21K0T3bb21T1T2由此不難解得3個時間常數(shù)T1,T2,T3以及一個系統(tǒng)增益系數(shù)K。2)2階傳遞函數(shù)模型(Nomoto模型)野本(Nomoto)對3階船舶模型式(6-4-20)做了一項出 色的簡化工作，使之降為2階11。論證的出發(fā)點在于，對于船舶這種大慣性的運載工具來說， 其動態(tài)特性只在低頻段是重要的，故在式 (6-4-20)中令s二- 0 ,且利用一個熟知

33、的近似關(guān) 系：當Xr 0時有(1 -X)1/(1 x)，并忽略2階和3階小量，由此導出著名的 Nomoto模型G，、.(s)K。s(Ts 1)(6-4-21)其中增益K。與3階模型相同，時間常數(shù)To =TiT2-T3，或直接由下式求出bna21 - b21anK 0an a22 一 *12&21an a22T0ana22 - a12a21bna2 _ b21 an8個船舶參數(shù)，即航速V ,兩柱間長L，船寬B，滿載吃水T ,方形系數(shù)Cb，排水量，重心距中心距離 xc，舵葉面積 A .。式(6-4-21)廣泛應用于船舶自動舵的控制器設計中。用Nomoto模型進行船舶運動控制器設計有兩個好處： 一是

34、在低頻范圍，其頻譜與高階模型的頻譜非常相近；二是設計出的控制器階次低，易于實現(xiàn)。求解本節(jié)所述船舶運動數(shù)學模型需要已知求出10個流體動力導數(shù)，并用式(6-4-8)修正,首先將這8個已知參數(shù)代入式(6-4-7)，然后代入式(6-4-12)，即可求出各種自由度的數(shù)學模型。6.5船舶平面運動的一種簡潔非線性數(shù)學模型(1)用于船舶運動閉環(huán)控制系統(tǒng)仿真的六自由度非線性模型各種線性船舶數(shù)學模型只用于在不同情況下進行控制器設計，當用于船舶閉環(huán)控制系統(tǒng)仿真研究時，必須以非線性模型表述被控過程的動態(tài)特性，并且還需考慮風、浪、流造成的環(huán)境干擾。從式(6-4-10)出發(fā)，在其右端加上非線性流體動力項 F non、風力

35、項F wind、浪力項F WAVE，則無量綱的二自由度非線性船舶運動數(shù)學模型將呈下列形式I(2)X =P(2)X Q(2) U - F NON，F(xiàn) WIND F WAVE(6-5-1)其中F NONynon/1 ：-L3/1 PL4YW I N伝兀N W I N /D2F WAVEYnon，丫wind ,ywave 及N NON , NWIND , N WAVE 分別是非線性力、風力、浪力在y方向的合力及 在繞z軸方向的合力矩。由式(6-5-1)和式(6-4-14)不難看出在X=vr、：T的4個自由度上有非線性狀態(tài)方_( I (2) F non x=人x+ b(4)6 +.FWIND00F W

36、AVE(6-5-2)考慮到船舶位置X。, y。T的兩個自由度上的運動學關(guān)系(6-5-3)x0 =ucosr-vsi n-y0 =usi n- vcos-則式(6-5-2)與式(6-5-3)構(gòu)成了六自由度的船舶運動非線性數(shù)學模型的基本框架，狀態(tài)變量變?yōu)閄(6) =v r X0 y0T各研究者關(guān)于式(6-5-2)中非線性流體動力F non的取法不同是區(qū)別到目前為止形形色色的非線性船舶運動數(shù)學模型的主要標志。F non的簡潔表示Norrbin關(guān)于非線性力的簡化表示式Norrbin在研究船舶參數(shù)辨識問題時提出了一種關(guān)于非線性流體動力式7,12，如下所示:(6-5-4)其中(6-5-5)F _ YN O

37、F NON|N N cfY(v,r)=* T .rrt r 11 八2T rr*_p()12 L2 r1 1 v 2 1 (v)32 L r 3 L3 r十r 11,v、2、T r r石 +p()12 L2 r1 v1co L r21 1v1_ _2 Lr21 1v 02 Lr1丄6 L rfN(v,r)= T ，r一；1H(v)2324 L2 rT rr1 丄(v)6 L r1 v1oO L r2.1 ,V、4r11 v1十)行6 L4 r2L r21 1 v2 L r(6-5-6)式(6-5-4)中的比例系數(shù)C為無量綱橫流系數(shù)，其值通常在0.30.8范圍內(nèi)。Norrbin關(guān)于FNON的橫流

38、模型式(6-5-5)、式(6-5-6)的優(yōu)越之處在于其表示式在各類非線性模型中最為簡單，它 的導出具有比較明確的理論基礎，并且公式中除了船舶吃水和船長之外，不需任何關(guān)于船體結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)，應用甚為方便。據(jù)筆者的經(jīng)驗，由式(6-5-2)式(6-5-6)組成簡化的非線性船舶運動數(shù)學模型用于在自動舵控制下的閉環(huán)系統(tǒng)的仿真研究，結(jié)果是可信的1315。應指出，對式(6-5-5)和式(6-5-6)中同時出現(xiàn)v =0和r =0的情況應做專門處理。(3)風力干擾ind,NW|nd16。平均風力計算見圖6.5.1。平均風力的表示式如下：IywindN WIND二Cy( r)VR2Al/?L3二Cn( r” avRX

39、l/弓九4在式(6-5-2)中，風力Ywind , N wind分成平均風力Ywind , Nwind及脈動風力(6-5-7)式(6-5-7)中Cy( r),Cn( r)為無量綱的風力和風力矩系數(shù)，文獻17給出了這兩個系數(shù)的一系列圖譜可資利用，其估算公式參見文獻 16；宀為船舶水線以上側(cè)投影面積，；-A為空氣密度；Vr為相對風速， r為相對風速與首向間的夾角，稱為風舷角，由絕對風速 Vt、絕對風向:wind以及航速V(u,v)按下式計算Ur- -Vt COS(Jwind -)- uVr -VT sin(-：WIND - V ?v； =uR vR(6-5-8)R =arcta nUr| -Ur

40、0,Vr 0。_ 脈動風力Ywind,Nwind是由大氣的湍流所造成的，按文獻 16，它們被認為是某種白噪聲的實現(xiàn)，該白噪聲的標準差CY7n與絕對風速VT的平方成正比J =0.2aVt2Cy( r) L22 v 3(6-5-9) n = 02PaVt Cn (r r) L(4) 浪力干擾浪力Ywave ,Nwave分為兩個組成部分：高頻的一次力，它是與波浪宏觀振蕩運動同步的周期力，幅值可較船舶的推進力或因運動而產(chǎn)生的流體動力高一個數(shù)量級，但由于大慣性船舶本體的濾波作用，一次力產(chǎn)生的振蕩運動(艏搖、橫蕩等)被限制在允許范圍之內(nèi)；低頻的二次力，數(shù)量級較小，數(shù)值變動緩慢，產(chǎn)生船位的漂移。1) 一次力

41、的計算采用文獻16的結(jié)果，把波浪看成規(guī)則波，這種波浪只有一個頻率、一個周期T和一個波高h .；而把船舶看成一個簡單的六面體；在小擾動假設下壓力由波形抬高按Bernoulli公式求出，浪力是在船體水下表面上把壓力積分而得，并表成封閉的解析 形式。更準確地可采用不規(guī)則波概念，把不同風力下的波譜分解成一系列波譜段(例如10段),每一段波譜對應著一定的頻率和波高，這樣不規(guī)則波就由一系列規(guī)則波疊加而成；船體也被分解成一系列六面體分段(例如20段)；分別計算各種波浪分量在每一分段上的力，最后按 頻率和船長進行二維求和可得到總的浪力，但計算量大為增加18，未予采用。(6-5-10)=0為順浪,頻率是nn=二

42、為頂浪，二2為橫浪(勺表示浪從右舷來)；船對波浪的遭遇，e - kuc o skvs v n式(6-5-11)中為規(guī)則波本身的圓頻率，k為波數(shù)，有4n2gT72n匸(6-5-12)式中：L.為波長，T為波浪周期，與風速有關(guān)，其具體的依存關(guān)系視考察的海區(qū)而有所不同。Kallstrom根據(jù)海上觀測數(shù)據(jù)進行最小二乘回歸16，得到T V)和波高h ,(Vt )公式如下：32T0(Vt )= -0.0014V3 +0.042VT2 +5.6 咯(Vt) =0.015Vt2 +1.5:(6-5-13)注意式(6-5-13)只適用于Vt乞20m/s,對于Vt20 m/s的情況應謹慎進行外推處理；并且在Vt

43、= 0時仍給出1.5 m的波高和5.6 s的波浪周期，這對大西洋上的情況可能是合適的， 但用于我國近海海域，可能稍有誤差。Kallstrom還對Zuidweg的工作19略加修改，給出浪力表示式如下：sinb sinc “、Ywave - -2aLs(t)b2 c coscsinc 門 b cosbsinb、“、 Nwave =ak(B sinb2L sine2) (t)cb(6-5-14)(6-5-11)其中a = 1g(1 _ e 上T )/ k2 b =kL/2 cos c=kB/2 sinkh.s(t)=( )sin(，et)2h八(6-5-15)第)=(寧)COSet)式(6-5-14

44、)中(t)代表在附體坐標系原點處波面的振蕩，s(t)則表明沿波浪傳播方向上的波面的斜率在原點處的值。在進行仿真時應對式(6-5-15) 的- .e進行適當?shù)臑V波16，濾波的方法如下：，ef(k) =(A-S(k) ef(k-1) (B S(k) e(k)(6-5-16)S(k)A S(k -1)A S(k -1)(6-5-17)式(6-5-16)、式(6-5-17)表明所采用的是一個時變?yōu)V波器。-，ef為經(jīng)過濾波的遭遇頻率； e為未經(jīng)濾波的遭遇頻率； A,B是兩個常數(shù)，取 A=0.999，B=0.001(即A+B=1) ； S(0)取為0.999, 隨著遞推次數(shù)k的增加，由式(6-5-17)知

45、S(k)下降，當k廠：時S(k) 0，此時式(6-5-16)趨于 一個定常濾波器ef(k) =0.999 ef(k -1)0.001 e(k)(6-5-18)濾波的結(jié)果是：在連續(xù)的采樣周期-.ef也連續(xù)變化。2) 二次力的計算目前尚無簡捷而可靠的方法。海浪干擾的另一種簡單模擬方法是用白噪聲驅(qū)動一個典型的2階振蕩環(huán)節(jié)(相當于2階低通濾波器)20。其中白噪聲的帶寬為0.5 Hz，2階濾波器具有低阻尼比，參數(shù)為 0.05，自然頻率n 二 0 7：0U cos /g其中o為海浪頻譜的峰值頻率，U為船速，為航向與海浪方向之間的夾角，g為重力加速度。例如，如果模擬的海況為 5級風，中浪，參數(shù)可取-，0為0

46、.15 rad/s，船速為7 m/s(約14kn)，為 60。(5) 流干擾仿真時通常假定流是恒定并且均勻的，它只改變船舶運動的位置和速度，而不改變船舶的航向，有下列速度平衡方程：x0 二ucosJ-vsiVc cos cy0 =usivcos- Vc sin c(6-5-19)(6) 船舶運動數(shù)學模型的總體結(jié)構(gòu)圖6.5.4示出筆者所研制的船舶運動非線性數(shù)學模型的總體框架，還包括了模型和控制 器的連接，該圖表述了仿真研究的信號流程。圖6.5.4船舶運動非線性數(shù)學模型總體結(jié)構(gòu)6.6操舵伺服系統(tǒng)的數(shù)學模型在式(6-4-14)中，把舵機伺服系統(tǒng)看成1階慣性環(huán)節(jié)是一種較粗糙的近似。實際上，操舵伺服系統(tǒng)

47、是一個具有純遲延、死區(qū)、滯環(huán)、飽和等非線性特性的電動液壓系統(tǒng)，這些因素在很大程度上影響到航向/航跡閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能；換言之，要獲得良好的航向和航跡控 制質(zhì)量，除了要依賴各種“高級的”航向保持、航跡保持控制算法之外，還需十分注意操舵 伺服系統(tǒng)這一舵角閉環(huán)的動態(tài)行為及其與自動舵(航向環(huán)和航跡環(huán))之間的匹配。這一點雖然近來已逐步為人們所認識，但是單從自動舵設計者的角度進行努力不可能根本解決問題，而必須從自動舵與操舵電液伺服系統(tǒng)的結(jié)合上進行綜合考慮，在整個船舶運動控制的層次上， 在設備的選型、安裝、管理以及控制方案的確定、控制算法的設計等諸多方面進行細致的工作，協(xié)調(diào)處理，方能收到良好效果。對于操舵伺

48、服系統(tǒng)的分類以及性能比較、操舵伺服系統(tǒng)引起的船舶運動附加阻力等問 題，Bianke曾進行過相當深入的研究21,22。按照Bianke的觀點，操舵電液伺服系統(tǒng)可概分 為5類，其定義及模型化概述如下：第1類：單油路bang-bang控制伺服閥系統(tǒng)由命令舵角和實際舵角所形成的誤差信號(、-、：)經(jīng)功率放大，引起三位四通電液伺服閥一側(cè)的電磁線圈(solenoid)通電，打開操舵主油缸(hydralic actuator)的通路，由定排量主油泵來的壓力油驅(qū)動舵葉回轉(zhuǎn)，直到實際舵角 與命令舵角一致為止。其原理和仿真模型參見圖6.6.1，其中DB為死區(qū)寬度，H為滯環(huán)寬度，N為最高轉(zhuǎn)舵角速率。對于一艘250

49、000載重噸油船，典型數(shù)據(jù)為DB=2 , H=1 , N=2.3/s。圖661第1類電液操舵伺服系統(tǒng)仿真模型hydraulicNactuator第2類：雙油路bang-bang控制液壓操舵器系統(tǒng)此系統(tǒng)中舵角誤差信號 (-、：)經(jīng)功率放大，引起三位四通電液伺服閥一側(cè)的電磁線圈通電，打開液壓操舵器(telemotor, TM)的油路，由定排量輔油泵來的壓力油使TM的拉桿移動，這是一級放大；TM拉桿因而拉動變排量主油泵的油量控制桿，使主油泵排出與控制桿移動距離成比例的油量，這個壓力油流被通至轉(zhuǎn)舵主油缸，驅(qū)動舵葉回轉(zhuǎn)，與此同時由舵柱帶動的機械式三點追隨機構(gòu)產(chǎn)生位置反饋，把主油泵的油量控制桿拉回到零油量

50、位置，此時、：動態(tài)地停留在、十的位置上，這是二級放大。這類液壓操舵系統(tǒng)在海船上應用相當廣泛，其動態(tài)性能(操舵時間和舵角跟蹤精度 )明顯優(yōu)于第1類電液操舵伺服系統(tǒng)。圖 6.6.2(a)為系統(tǒng)框圖，圖6.6.2(b)為相應的仿真模型。 PB為主 回路比例帶；K為一級放大系數(shù)，N為二級放大系數(shù)。典型的數(shù)據(jù)：DB=1，H=0.8，PB=7，K=4 /s, N=2.3 /s。第3類：單油路bang-bang控制主變量泵的主油路本系統(tǒng)實際上是把第 2類系統(tǒng)的三點式追隨機去除后形成的，因為沒有了舵角位移的二級反饋，所以變量油泵的油量控制拉桿只能有3個位置：左滿程、右滿程、零位。這和信號的符號是一致的；換句話

51、說，此時的變量油泵只作為定量油泵使用。因而此類系統(tǒng)的功能類似于第1類系統(tǒng)，但其性能要優(yōu)于后者，原因是在 3個位置之間的轉(zhuǎn)換(即TM拉桿的移動)是逐步發(fā)生的，因而其動態(tài)過 程自然比油路的突然開、斷控制的第1類要平滑，舵角超調(diào)也要小得多。圖 6.6.3示出此系統(tǒng)的仿真模型，其中比圖6.6.1增加了一個積分環(huán)節(jié)。 典型的數(shù)據(jù)為：DB=1 ,H=0.8 , PB=7，K=4 /s，N=2.3 /s。solenoid(b)仿真模型圖 6.6.2第2類電液操舵伺服系統(tǒng)仿真模型圖663第3類電液操舵伺服系統(tǒng)仿真模型第4類：雙油路模擬控制操舵伺服器系統(tǒng)本類系統(tǒng)的特點在于， 對TM的油量控制采用一種比例伺服閥而

52、不是像類型1系統(tǒng)中的那種位式伺服閥；至于對主油路的控制則與類型2系統(tǒng)中的形式全同；這樣本系統(tǒng)就存在著兩個串聯(lián)的連續(xù)運動環(huán)節(jié)，如圖6.6.4所示，其動態(tài)性能在各類中是最好的，但初置費明顯增加。典型數(shù)據(jù)為PB,=1 : K=4/s, PB2=7*N=2.3 /s。第5類：單油路模擬控制變量油泵的油流系統(tǒng)此系統(tǒng)設計較為簡捷，因為只用了單油路；由于采用了比例控制的直線位移輸出的伺服機構(gòu)去拉動變量油泵的油量控制桿，使舵葉 的運動快速，并且不會產(chǎn)生舵角的靜態(tài)誤差，其仿真模型見圖6.6.5。典型數(shù)據(jù)為：PB=7，N=2.3 /s。在船舶運動非線性數(shù)學模型總體框架中可能包含上述某種線性或非線性的操舵伺服系 統(tǒng)模型。6.7非線性船舶運動數(shù)學模型當船舶進行大舵角回旋操縱時， u, V, r之間的非線性耦合效應將使航速 U明顯下降，此 時上述的船舶運動數(shù)學模型已難于描述過程的動態(tài)，需要轉(zhuǎn)向更為精密的模型。Abkowitz非線性船舶運動