FIR濾波器PPT課件

1、FIR濾波器 第四章 FIR濾波器的設(shè)計方法 線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性 窗口設(shè)計法 IIR與FIR數(shù)字濾器的比較 FIR濾波器 學(xué)習(xí)要求：掌握線性相位的條件；熟練 掌握FIR線性相位濾波器的幅頻特性；會 用窗口法設(shè)計FIR濾波器。 FIR濾波器 1、FIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 FIR數(shù)字濾波器的差分方程描述 對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為： FIR濾波器 FIR數(shù)字濾波器的特點(與IIR數(shù)字濾波器比較)： 優(yōu)點優(yōu)點 （1）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號 產(chǎn)生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號 處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要； （2）永遠(yuǎn)穩(wěn)定，如果它的有限長單位脈沖響應(yīng)是非因 果的

2、，總能夠通過適當(dāng)?shù)囊莆坏玫揭蚬?，所以不存?是否可實現(xiàn)的問題； FIR濾波器 FIR濾波器與IIR濾波器的設(shè)計方法大不相同， 對IIR數(shù)字濾波器，設(shè)計結(jié)果是系統(tǒng)函數(shù)H(Z)，而 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計結(jié)果是其單位脈沖響應(yīng)h(k)。 FIR濾波器 4.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性數(shù)字濾波器的特性 4.1.1 4.1.1 線性相位特性線性相位特性 1、線性相位特性、線性相位特性 相位特性是系統(tǒng)的一個特性，要研究系統(tǒng)的相 位特性可求其傅立葉變換。 FIR濾波器 例：對于一個系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏攧t系統(tǒng)響應(yīng) y(t)與激勵f(t)的關(guān)系如下圖。 f(t) y(t)=Af(t-t0) 求其

3、傅立葉變換得： 0 ()() j t Y jAF je 0 () () ()( ) () j tj Y j H jAeHe F j 而： FIR濾波器 系統(tǒng)的幅頻特性為： | |()| 0| c c A H j 相頻特性： 0 ( )| c t c c A |()|H j 圖一：幅頻特性 c c ( ) 圖二：相位特性 FIR濾波器 線性相位線性相位：指 是w的線性函數(shù)， 即群時延是一個常數(shù)。 ( ) 0 ( )d t d （常數(shù)） 線性相 位類別： 第一類線性相位： 第二類線性相位： ( ) 0 ( ) FIR濾波器 2、FIR濾波器滿足第一類線性相位的條件濾波器滿足第一類線性相位的條件 條

4、件條件：h(k)是實數(shù)序列且對N/2點偶對稱，即 h(k)=h(N-1-k)。 1 1 2 0 1 ()( )cos() 2 N N j j k N H eeh kk 計算其頻率響應(yīng)得（計算過程見板書）： FIR濾波器 因為：h(k)是實函數(shù)，正弦函數(shù)也是實函數(shù) 1 2 ()( ) N j j g H eHe 幅度函數(shù) 1 0 1 ( )( )cos() 2 N g k N Hh kk 相位函數(shù) 1N-1 ( ) 22 N 即 所以，只要h(k)是實序列，且h(k)為N/2點偶對 稱，則該濾波器就一定具有第一類線性相位。 FIR濾波器 3、FIR濾波器滿足第二類線性相位的條件濾波器滿足第二類線

5、性相位的條件 條件條件：h(k)是實數(shù)序列且對N/2點奇對稱，即 h(k)=-h(N-1-k)。 1 1 () 22 0 1 ()( )sin() 2 N N j j k N H eeh kk 其頻率 響應(yīng)為： 1 0 1 ( )( )sin() 2 N g k N Hh kk 1 ( ) 22 N 幅度函數(shù) 相位函數(shù) FIR濾波器 綜上，線性相位的條件： 即如果單位脈沖響應(yīng)h(k)為實數(shù)，且具有偶對稱 或奇對稱性，則FIR數(shù)字濾波器具有嚴(yán)格的線性相 位特性。 FIR濾波器 4 4、線性相位、線性相位FIR濾波器的幅度特性濾波器的幅度特性 1 2 0 1 ( )( )sin() 2 N g k

6、 N Hh kk 1 1 0 1 ( )( )cos() 2 N g k N Hh kk N為奇數(shù) N為偶數(shù) 偶對稱的幅度函數(shù)： 奇對稱的幅度函數(shù)： FIR濾波器 FIR濾波器 圖三：線性相位FIR濾波器幅度特性 FIR濾波器 1、h(n)偶對稱，偶對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù) w=0,2w=0,2偶對稱，因此偶對稱，因此 對這些頻率也呈偶對稱。對這些頻率也呈偶對稱。 2 2、h(n)h(n)偶對稱，偶對稱，N N為偶數(shù)為偶數(shù) w= ,H(w)=0,H(w)=0，不能用這種情況設(shè)計高通、帶阻濾 波器。 3 、h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù) w=0,2w=0,2時時H(w)=0H(w)=0，不能

7、用作低通、高通或帶不能用作低通、高通或帶 阻，只能設(shè)計帶通。阻，只能設(shè)計帶通。 4 4、h(n)h(n)奇對稱，奇對稱，N N為偶數(shù)為偶數(shù) w=0,2w=0,2時時H(w)=0H(w)=0，不能設(shè)計低通和帶阻，可設(shè)計不能設(shè)計低通和帶阻，可設(shè)計 高通和帶通。高通和帶通。 FIR濾波器 表表4.1 4.1 四種線性相位四種線性相位FIRFIR濾波器特性濾波器特性 第一種情況，偶對稱、奇數(shù)點，四種濾波器都可設(shè) 計； 第二種情況，偶對稱、偶數(shù)點，可設(shè)計低、帶通濾 波器不能設(shè)計高通和帶阻； 第三種情況，奇對稱、奇數(shù)點，只能設(shè)計帶通濾波 器，其它濾波器都不能設(shè)計； 第四種情況，奇對稱、偶數(shù)點，可設(shè)計高、帶

8、通濾 波器，不能設(shè)計低通和帶阻。 FIR濾波器 總結(jié)：總結(jié)： 可見，四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于 h(n)的對稱性，而與h(n)的值無關(guān)，其幅度特性取 決于h(n)，所以，設(shè)計FIR數(shù)字濾波器時，在保證 h(n)對稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。 FIR濾波器 4.2 窗口設(shè)計法（時間窗口法）窗口設(shè)計法（時間窗口法） FIR濾波器的一般設(shè)計過程總是先給定一理想頻率 響應(yīng)為 ，然后設(shè)計一FIR濾波器用它的頻率響 應(yīng) 去逼近 。 在這種逼近中有兩種直接的方法，一是從時域入 手，這就是本節(jié)要講的時間窗口設(shè)計法，另一種從頻 域入手，即下節(jié)講的頻率采樣法。 FIR濾波器 時間窗口設(shè)計法

9、是從單位脈沖響應(yīng)序列著 手，使h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)。 我們知道hd(n)可以從理想頻響通過付氏反變換獲 得。 FIR濾波器 線性相位理想低通濾波器的頻率響應(yīng)： ,| () 0, j a jc d cc e He 相應(yīng)的理想單位抽樣響應(yīng)為： sin()1 ( ) 2() c j aj n cc d cc na h need na sin() ( ) () c d na h n na 即： 1、FIR低通濾波器的設(shè)計低通濾波器的設(shè)計 FIR濾波器 圖四：理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)波形 FIR濾波器 由上圖可見，得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往 都是無限長序列

10、，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有 限長的，問題是怎樣用一個有限長的序列去近似無限 長的hd(n)。 最直接簡單的辦法是直接截取其一段得到可實現(xiàn)的 有限長因果序列。 為了構(gòu)造線性相位濾波器，應(yīng)使截取的一段對N/2 對稱，如： h(n)= hd(n)RN(n) 其中RN(n)為矩形序列，也稱為窗函數(shù)。見下圖。 FIR濾波器 圖五：理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗 FIR濾波器 所以，實際可實現(xiàn)的濾波器為： 1 0 ( )( ) N n n H Zh n z 我們用一個有限長序列h(n)來代替hd(n)，肯定會引起 誤差。對實際得到的h(n)取頻率響應(yīng)得其幅頻圖如下： FIR濾波器 Hd(w)

11、 1 w -wcwc 圖七：理想的幅頻特性曲線 圖六：實際濾波器的幅頻特性曲線圖 FIR濾波器 從實際濾波器的幅頻圖和理想的濾波器幅頻曲線比 較，可見加窗對理想頻響的影響： 1、在w=wc附近形成過渡帶，其寬度取決于窗函數(shù) 的主瓣寬度。 2、通帶內(nèi)增加了波動，阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余震并減少 了阻帶的衰減。這是由窗函數(shù)旁瓣的作用引起的。 這種誤差表現(xiàn)在頻域上，稱為吉布斯效應(yīng)。 FIR濾波器 如何減少吉布斯效應(yīng)？ 加大N，只能使過渡帶變窄； 要減少帶內(nèi)波動以及加大阻帶衰減，就需要選 擇合適的窗函數(shù)。 FIR濾波器 為了改善濾波器的特性，必須改變窗函數(shù)的形 狀，窗函數(shù)要滿足以下兩點要求： 窗譜主瓣寬度要窄，

12、以獲得較陡的過渡帶； 相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集 中在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶 衰減和通帶平穩(wěn)性。 但實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣 寬度來換取對旁瓣的抑制。 FIR濾波器 2、幾種典型的窗函數(shù) 1）矩形窗 窗函數(shù)為： 1 0 ( )1( ) N N k W nRn FIR濾波器 FIR濾波器 2）漢寧窗（升余弦窗） 2 ( )(0.50.5cos)( ) 1 N n W nRn N 窗函數(shù)為： FIR濾波器 FIR濾波器 3）哈明窗（改進(jìn)的升余弦窗） 2 ( )(0.540.46cos)( ) 1 N n W nRn N 窗函數(shù)為： FIR濾

13、波器 它是對漢寧窗 的改進(jìn)，在主瓣寬 度（對應(yīng)第一零點 的寬度）相同的情 況下，旁瓣進(jìn)一步 減小，可使99.96% 的能量集中在主瓣 內(nèi)。 FIR濾波器 4）布萊克曼窗 24 ( )(0.420.5cos0.08cos)( ) 11 N nn W nRn NN 窗函數(shù)為： FIR濾波器 增加一個二 次諧波余弦分量， 可進(jìn)一步降低旁 瓣，但主瓣寬度 進(jìn)一步增加，增 加N可減少過渡 帶。 FIR濾波器 5）凱塞窗 以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價來 降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減, 如圖。 FIR濾波器 窗函數(shù)為： 2 0 0 2 1 (1) 1 ( ) n I N W n

14、 I 2 0 1 ( / 2) ( )1 ! j j x Ix j 其中 FIR濾波器 FIR濾波器 FIR濾波器 四種窗函數(shù)的比較四種窗函數(shù)的比較 四種窗函數(shù)的時域波形如圖4.6，幅度譜如圖4.7，用四 種窗函數(shù)所設(shè)計的濾波器的頻響特性如圖4.8。 FIR濾波器 從(a)(d)，旁瓣的衰減逐步增加，主瓣相應(yīng)加寬。 FIR濾波器 （N=51， =0.8） FIR濾波器 圖4.8可見，用矩形窗設(shè)計的濾波器過渡帶最 窄，但阻帶最小衰減也最小，僅-21dB；布萊克 曼窗設(shè)計的阻帶最小衰減最大，達(dá)-74dB，但過 渡帶最寬，約為矩形窗的三倍。 FIR濾波器 3、用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器步驟 1) 根

15、據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n); 2) 根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式， 并估算窗口的長度N； 3) 計算濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)，h(n)=hd(n)w(n)，如 果要求是線性相位，則hd(n) 和w(n)均對N/2點對稱。 對于FIR濾波器，得h(n)就設(shè)計好了，當(dāng)然要驗證 指標(biāo)的話，還應(yīng)求出頻率響應(yīng)。 FIR濾波器 FIR濾波器 另一個FIR濾波器參數(shù)表 FIR濾波器 (模擬指標(biāo)) FIR濾波器 優(yōu)點：1. 無穩(wěn)定性問題； 2. 容易做到線性相位； 3. 可以設(shè)計各種特殊類型的濾波器； 4. 方法特別簡單。 缺點：1. 不易控制邊緣頻率； 2. 幅頻

16、性能不理想； 3. 較長；( )h n 改進(jìn)：1. 使用其它類型的窗函數(shù)； 2. 改進(jìn)設(shè)計方法。 FIR DF 設(shè)計的窗函數(shù)法的特點： FIR濾波器 v 窗口法設(shè)計FIR高通帶通帶阻濾波器 1、線性相位FIR高通濾波器的設(shè)計 (第一類線性相位)理想高通的頻率響應(yīng)為： |N-1 () 20 j cj d e He 其中 其他 第二類線性相位（有相移）(略) FIR濾波器 其單位抽樣響應(yīng)為： ()() 1 h ( ) 2 sin ()sin() () c jkjk d c c keded kk k 相當(dāng)于用一個截止頻率在 處的低通濾波器 （實際上是全通濾波器）減去一個截止頻率在c 處的低通濾波器。

17、 FIR濾波器 例例2:根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR數(shù)字高通濾波器： wp=0.6 ,ws=0.4 ,Ap=0.25dB,As=40dB。選擇一個合適 的窗函數(shù)，確定單位沖激響應(yīng)。（ex4_hp.m） 窗函數(shù)主瓣寬度過渡帶寬阻帶最小衰減 矩形4/N1.8/N-21 漢寧8/N6.2/N-44 漢明8/N6.6/N-53 布萊克曼12/N11/N-74 課本P150 表4.2 幾種窗函數(shù)的性能 FIR濾波器 解：wp=0.6;ws=0.4 tr_width=wp-ws=0.2 N=6.2 /tr_width=31 wc=(ws+wp)/2=0.5; sin ()sin() h ( ) ()

18、c d kk k k 理想高通 2 ( )(0.50.5cos)( ) 1 N n W nRn N 選擇漢寧窗 漢明窗函數(shù)為 所以，h(n)=hd(n)w(n) 注意與上次課例子做比較 FIR濾波器 2、線性相位FIR帶通濾波器的設(shè)計 理想帶通的頻率響應(yīng)為： 12 0|N-1 () 20 j j d e He 其中 其他 FIR濾波器 其單位抽樣響應(yīng)為： 12 ()() 21 21 1 h ( ) 2 sin()sin() () jkjk d keded kk k 可見，帶通濾波器可見，帶通濾波器(w1,w2)=低通低通(w2)-低通低通(w1) FIR濾波器 習(xí)題1：根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR數(shù)字帶 通