非線性Volterra積分方程

1、一類第二種非線性Volterra積分方程積分?jǐn)?shù)值解方法1刖言微分方程和積分方程都是描述物理問題的重要數(shù)學(xué)工具，各有優(yōu)點相對于某種情況來說，對于某種物理數(shù)學(xué)問題，積分方程對于問題的解決比微分方程更 加有優(yōu)勢，使對問題的研究更加趨于簡單化，在數(shù)學(xué)上，利用積分形式討論存在 性、唯一性往往比較方便，結(jié)果也比較完美，所以研究積分方程便得越來越有用， 日益受到重視.積分方程的發(fā)展，始終是與數(shù)學(xué)物理問題的研究息息相關(guān)一般認(rèn)為，從積分發(fā)展的源頭可以追溯到國外的數(shù)學(xué)家克萊茵的著作古今數(shù)學(xué)思想，該書是被認(rèn)為第一個清醒的認(rèn)為應(yīng)用積分方程求解的是Abel.Abel分別于1833年和1826年發(fā)表了兩篇有關(guān)積分方程的文

2、章，但其正式的名稱卻是由數(shù)學(xué)家du Bois-Raymonc首次提出的，把該問題的研究正式命名為積分方程。 所以最早研究 積分方程的是Abel,他在1823年從力學(xué)問題時首先引出了積分方程，并用兩種方 法求出了它的解，第一的積分方程便是以Abel命名的方程.該方程的形式為：叫dt f(x),該方程稱為廣義Abel方程，式中a的值在(0,1)之間.當(dāng)a=-時，a (x t)2該式子便成為a 了(XLdt f (x).在此之前，Lap lace于1782年所提出的求Laplace 反變換問題，當(dāng)時這個問題就要求解一個積分方程.但是Fourier其實已經(jīng)求出了一類積分方程的反變換，這就說明在早些時候

3、積分方程就已經(jīng)在專業(yè)性很針對的 情況下得到了研究，實際上也說明了Fourier在研究反變換問題是就相當(dāng)于解出了一類積分方程 .積分方程的形成基礎(chǔ)是有兩位數(shù)學(xué)家 Fredholm 和 Volterra 奠定 的，積分方程主要是研究兩類相關(guān)的方程， 由于這兩位數(shù)學(xué)家的突出貢獻(xiàn)， 所以 這兩個方程被命名為 Fredholm 方程和 Volterra 方程。后來又有德國數(shù)學(xué)家 D.Hilbert 進(jìn)行了重要的研究，并作出了突出的貢獻(xiàn)，由于 D.Hilbert 領(lǐng)頭科學(xué)家 的研究，所以掀起了一陣研究積分方程的熱潮， 并出現(xiàn)了很多重要的成果， 后來 該理論又推廣到非線性部分。我國在 60 年代前，積分方程

4、這部分的理論介紹和 相關(guān)書本主要靠翻譯蘇聯(lián)的相關(guān)書籍， 那時研究的積分方程基本是一種模式， 即 用古典的方法來研究相關(guān)的積分方程問題， 這樣使得問題的研究變得繁瑣、 復(fù)雜， 在內(nèi)容方面比較單一、 狹隘，甚至有些理論故意把積分方程的研究趨向于復(fù)雜化。 隨著數(shù)學(xué)研究的高速發(fā)展， 特別是積分方程近年來的豐富發(fā)展， 如此單一、 刻板 的解法已經(jīng)不能跟上數(shù)學(xué)研究時代的步伐。在九十年代我國的數(shù)學(xué)專家路見可、 鐘壽國出版了積分方程論 ，該書選擇 L2 空間來討論古典積分方程，并結(jié)合泛 函分析的算子理論來分析積分方程的相關(guān)問題。 最近出版的比較適合一般讀者閱 覽的積分方程的書有李星出版的積分方程 ，該書從最簡

5、單的方法分析研究積 分方程的理論問題， 并給日后打算研究泛函的讀者提供了基本的實例。 由于現(xiàn)代 的計算機(jī)技術(shù)高速發(fā)展， 對于一些比較復(fù)雜， 難以求解的非線性積分方程逐漸采 用了比較有效的數(shù)值解，常用的方法有逐次逼近法、 Adomian 分解法、配置法、 haar小波方法、小波-Galerkin方法、泰勒展開等等一些方法.現(xiàn)在積分方程的應(yīng)用廣泛，很多問題都可以引出積分方程，并可用積分方程 來解決 .像彈性弦問題、線性系統(tǒng)響應(yīng)問題、人口增長問題、等時曲線問題等等 . 還有在空氣動力學(xué)中研究分子運動， 對于非均勻流體中懸浮晶粒的布朗位移， 導(dǎo) 致了以柯爾莫哥洛夫命名的一類非線性積分方程.在確定飛機(jī)機(jī)

6、翼方面的研究中，對于氣流、升力等問題的計算中也引出了積分方程的研究.現(xiàn)在很多積分方程方面的研究都取得了不錯的進(jìn)展 .2、預(yù)備知識積分方程是一個在積分號下出現(xiàn)待求的函數(shù)的方程， 稱作積分方程。 含一個未b 知函數(shù)的線性積分方程的一般形式為： (x) k(x,y) (y)dy f(x) x a,b a1我們把積分號中的上下限為常數(shù)的積分方程稱為 Fredholm 方程。其中 f(x) 、k(x,y)是已知函數(shù)，(y)是未知所要求的函數(shù)。一般稱f(x)為自由項,k(x,y)稱為積分方程的核，而 是積分方程的一個參數(shù)，方程的解與 相關(guān)而與Fredholm對應(yīng)的是 Volterra積分方程，與Fredh

7、olm的一個不同點是 Volterra積分號下的上下限中的上限是一個變量而不是一個常數(shù)。 本論文我們主要研究的是非線性的 Volterra 積分方程。 非線性 Volterra 積分方程的形式為x(x) k(x, y)F( (y)dy f (x) x a,b。同樣，(y)為所求。a積分方程的解法：一、Fredholm積分方程一般的解法有：有限差分逼近法、逐次逼近法及解核、泛函修正平均法、Fredholm積分方程退化核解法、退化核近似代替法、待定系數(shù)法。二、Volterra積分方程的常用解法：有限差分逼近法、逐次逼近法、轉(zhuǎn)化為常微分方程的初值問題、第二類Volterra積分方程的數(shù)值積分解法。第

8、二類線性volterra積分方程與第二類線性Fredholm積分方程的一個很大的差別是 volterra 方程的解不依賴于參數(shù) 的值，即對于任何的參數(shù) 該方程都有解，而且解具有唯一性。具體的證明過程參見,所以得出定理：如果核k(x, y)與自編輯版 word由函數(shù)f x在Volterra積分方程的定域是連續(xù)函數(shù)，那么無論參數(shù)取何值該方程都有解，而且解具有唯一性。3、Volterra積分方程3.1第一類Volterra積分方程3.1.1第一類線性Volterra積分方程x形如： k(x,y) (y)dy f (x)a其中函數(shù)k(x,y)、f (x)為已知的，(x)為所要求的未知函數(shù)，這樣的方程叫

9、第一類線性Volterra積分方程.一般來說第一類積分方程由于其不適定性，研究其解跟第二類積分方程有很大的不同，而且比較復(fù)雜，在此主要簡單介紹一下3.1.2第一類Volteraa積分方程的一種解法在某種情況下第一類Volterra積分方程通?？梢曰癁榈诙?volterra積分方程 的解，一般對方程兩邊求導(dǎo)，當(dāng)方程的k(x,y)、f (x)可微，且k(x, y) 0 ,就把第 一類該方程化為第二類?；癁榈诙惖男问綖椋?x)(y)dy 丄型,a k(x, y)k(x,y)這樣就可以用第二類積分方程的解法來求解.對于一種特殊的第一類 Volterra積分方程：Abel方程，Abel方程是Volt

10、erra積分方程的一種特殊情況，其形式為:x (y) a(x y)adyf(x)編輯版wordAbel積分方程其中當(dāng)x y時，該方程出現(xiàn)弱奇性。其解可根據(jù)定理：假設(shè)Wdyf(x)的自由項f (x)是連續(xù)可微的，而且f(a) 0,貝尼有唯一的a (x y)解即(x)sin adx ： yrdy3.2第二類volterra積分方程x3.2.1第二類線性 Volterra 積分方程x第二類方程的形式： (x) k(x,y) (y)dy f (x)a其中 (x) 是所要求的未知函數(shù)， 是已知或是需要討論的參數(shù)，跟 Fredholm 方 程一樣k(x.y)是已知的函數(shù)，叫 Volterra方程的核，當(dāng)k

11、(x.y) =0時，Volterra方 程可以看成特殊形式的 Fredholm方程，而且Fredholm方程理論適合于Volterra 方程。Volterra方程有自己的特點，例如，Volterr方程沒人特征值，對于任意的 自由項它都有解。對于第一類的 Voltrra 方程在某種條件下可以轉(zhuǎn)化為第二類 Volterra 方程。與第二類線性 Fredholm 積分方程一樣，第二類線性 Volterra 積分 方程也有自己的迭核、解核，其迭核、解核的引出方法跟第二類線性 Fredholm 一樣.xx迭核：假設(shè) k2(x,y)k(x,t)k(t, y)dt，貝U 2(x) k2(x, y) f (t

12、)dtyax n(x)kn(x,y)f (y)dy，我們稱 kn(x, y)為 Volterra方程的迭核。解核：我們稱R(x,y; ) n 1kn(x,y)為解核n1 只要知道方程的迭核，就能求得方程的解核，從而求得方程的解。3.2.2第二類線性Volerra積分方程的解法：1、逐次逼近法假設(shè)方程具有這樣一個形式的解n(x)0(x)1(x)n ni(x) ii0如果對于逐次方法來說該方程有解，解次方程一般令f (x)1f (x)a k(x,y)a0dy2f(x)xa k(x,y)a1dynf(x)xa k(x,y)an 1dyn 那么，對于上述的級數(shù)一定收斂，即對級數(shù)i(x) i 收斂，可以

13、證明對于任意i0的參數(shù) 方程都有解，依據(jù)定理：如果核k(x,y)及自由項f(x)是連續(xù)的實函數(shù).那么第二類線性 Volterra 方程x(x) ak(x, y) (y)dy f(x)a對于任意的參數(shù) 存在一個唯一的連續(xù)解，而且解可以用逐次逼進(jìn)法求出 .xx迭核：假設(shè) k2(x,y) k(x,t)k(t, y)dt，貝U 2(x)k2(x, y) f (t)dtyax n(x) kn(x,y)f (y)dy，我們稱 kn(x, y)為 Volterra方程的迭核。 a解核：我們稱R(x,y; ) n 1kn(x,y)為解核,只要知道方程的迭核，就能n1求得方程的解核，從而求得方程的解。3.2.3

14、非線性第二類 Volterra 積分方程x非線性第二類volterra積分方程的形式如：(x) k(x, y)F ( (y) dy f (x)a未知函數(shù)為 (x)，而f(x)、k(x, y)、F(x)都是已知的。當(dāng)方程滿足一定條件時，可用逐 次逼近法求解。對于第一類非線性 Volterra 積分方程可以通過轉(zhuǎn)化成第二類非線性 Volterra 積分方程求解。具體轉(zhuǎn)化的過程參見 。非線性 Volterra 積分方程的數(shù)值解3.3 卷積型 Volterra 方程的解法3.3.1第二類卷積型Volterra積分方程的解編輯版 wordx1、形如(x) f (x) k(x y) (y)dy稱為第二類卷

15、積型 Volterra積分方程，此 a類方程一般用Laplace變換來解決。如果方程中的f(x)、k(x, y)是足夠光滑、指Laplace變換來解此方數(shù)階的函數(shù)，那么方程的解也是指數(shù)階的，這樣就可以用程。設(shè)k(x) K(p)，f (x) F(p)，(x)(p)，通過對方程兩邊作Laplace變換，可得 (p)F(P) K(p) (p)，解出(P)F(p) 當(dāng) 1 K(p)，當(dāng)K(p) 1時，(x)1F(p)1 K(p)x2、對于第一類Volterra積分方程，即方程a k(x t)(t)dtf (x)同樣對方程兩邊作La叱變換，可解得器所以方程的解為(x) 1 馬編輯版word換的解.即方程

16、3、 非線性 Volterra 積分方程 Lap lace 變x(x) f(x) 0 (y) (x y)dy，設(shè) (x)(p)， f (x) F(p)，對方程兩邊作Lap lace變換，可得出(x)11 14 F(p)，當(dāng)嚴(yán)存在時,該解就是非線性Volterra積分方程的Laplace變換得出的解.4、積分?jǐn)?shù)值解相關(guān)知識4.1 Newto n-Cotes型積分求積公式b在這里我們主要討論f(x)dx的數(shù)值計算問題，可以假設(shè)f(x)在a,b上可積.a在一些時候函數(shù)f(x)并不是可積的能用初等函數(shù)來表示，所以有的時候并不能求出該函數(shù)的原函數(shù)，因此，這里我們來研究用數(shù)值方法解函數(shù)積分.欲計算積分I

17、(f) f (x)W(x)dx，其中W(x)為權(quán)函數(shù)，可以假設(shè)f (x)在n+1個互異的點：a X1 X2xn 1 b的值分別為：f (xj , f(X2),f(XnJ,就可以用f(X1), f(X2),f(Xn1)的線性組合得出積分的近似解，即ln(f) 1(f)，其中 InAf(Xi)i 1插值求積公式:l(f)n 1Ai f (Xi)i 1En(f)En(f)是離散誤差b其中 AialiW(x)dxli(x)Wn 1i 1,2, ,n 1(X Xi)Wn1(Xi)Wn 1(X) (XXi)(X X2) (X Xn 1 )當(dāng)我們假設(shè)a,b為有限區(qū)間，W(X) 1，并將該區(qū)間分成n等份，取等

18、距基點為:a x1x2Xn 1 b，并且得出步長為h Xi 1Xi *，根據(jù)上面所得n出的差值求積公式，便可得出Newton-Cotes型積分求積公式，n 1ln(f ) Af(Xi)i 13 dx ( 1)n1i - (x Xi )Wn 1 (Xi )(ihn而Mt(t1) (t (i 2)(t i)(t n)dt1,2, ,n 1Newt on-Cotes型積分求積公式中,n=1時，便可以得到梯形公式，即令X1a,X2 b，根據(jù) Newton-Cotes型積分求積公式便可以得出公式：h(f)專(f (a) f(b)，其中Ai - a, A2- a .如果令n=2時就可以得到simpson公

19、式.2 24.2復(fù)合梯形公式我們假設(shè)所討論的積分中函數(shù)的定域義為a,b，在該區(qū)間取n+1個互異基點,即 ax-ix2Xn 1b，且取步長為h X 1Xi 在子區(qū)間Xi 1,Xi上n使用體型公式，所以(i)f(x)dxXi 1Xif(x)dx2ii f(x)f(Xi i)從而可以得出:f (x)dxhn 1-f(a) f(b) 2 f(a ih)2i 112 i 1(i)編輯版wordh n舍去-Mf(i )項于是就得到復(fù)合梯形公式:n 1f (x)dxf(a)f (b) 2 f (a ih)i 15積分方程的數(shù)值解方法5.1未知函數(shù)展開法在這里，我們將討論在L2(a,b)中完備的函數(shù)系在近似方

20、程解方面的作用， 這些函數(shù)系可以是正交的，也可以的非正交的，可以去某個函數(shù)系的有限項 當(dāng)作方程解的近似值設(shè)該函數(shù)系為i in1，其中該函數(shù)系的各個函數(shù)是線性n無關(guān)的，可令積分方程的解(x)Ci i，把該近似函數(shù)代人積分方程：i 1(x)xa k(x,y) (y)dyaf (x)，這樣就可得到nCi ii 1nCi k(x,y)i 1idyf(x)，把它整 理成：nCi inCik(x, y)idyf(x)R(x)，其中R(x)是殘差，如果能是R(x)等i 1i 1于零，那么方程的近似解就等于該方程的精確解，但是一般來說，要使R(x)等于零是很難的，一般在R(x)很小的情況下可以忽略，即得出方程

21、的一種數(shù)nn值解：Ci iCi k(x,y) idy f (x)，但對殘差的不同要求，可以得出i 1i 1不同的解法，一般來說有如下幾種解法：配點法、Galerkin法、最小二乘法等方法.1、配點法xk kn 1 是一些互異的如果要求殘差在所選取的基點上滿足 R(xi )等于零，其中基點，如此便可以得到一下方程組：nci i (xk )i1nxki 1 ci a i1k(xk,y) i(y)dy f (xk)，(k 1,2,n )，求解該方程組變可以得到展開系數(shù)nci i 12、矩量法對于矩量法以下用于Fredholm 積分方程，即 (x)bak(x,y) (y)dy f (x). a矩量法就

22、是要求殘差關(guān)于原點到 N 階的矩為零，即bkR(x)xk dy 0，可得到 a如下的方程組：nbkci a i (x)x dx ai1n b bkci a a k(x,y) i (y)dy xkdx aai1f(x)xkdxak 1,2, ,n )解此方程變可以得到展開系數(shù)cini13、Galerkin 法Galerkin 法要求殘差函數(shù) R(x) 在平方可積空間即空間 L2a,b 與函數(shù)i 內(nèi)積為b零,即要求R(x) idx 0，i 1.2,a,n .所以展開系數(shù)可以這樣來確定nci i 1 ，取函數(shù) 系中的 前 n 個函數(shù) i(i 1.2, ,n )在a,b上與積分方程nci i (x)i

23、1nbci a k(x, y) i(y)dy ai1f (xk) 兩端正交，令n cii 于是展開系編輯版word數(shù)滿足下列線性方程組：,nbnn(x), i (x)ak(x,y) ndy, i(x)f(x), i(x) a,i 1.2,abn其中 ( f (x),g(x)f ( x) g(x)dx ，解該方程組便可以得到展開系數(shù)ci in 15.2積分核級數(shù)展開法積分核級數(shù)展開法又稱退化核近似方法，就是利用某種展開方式把非退化的核展開成近似退化的核，一般的展開方式有泰勒級數(shù)展開、Fourier級數(shù)展開、L2 a,b空間內(nèi)的線性無關(guān)的針對為知函數(shù)近似展開的函數(shù)系等等如果利用泰勒展式，那么應(yīng)該注

24、意保留合適的級數(shù)項數(shù)，一般來說應(yīng)該根據(jù)積分限的大小來決定級數(shù)項數(shù).也有把未知函數(shù)展開求積分方程的未知函數(shù)的解.對于用退化核來近似積分方程核的誤差有如下估計方法：定理1：設(shè)k(x,y)是積分方程核的近似退化核，對于退化核滿足條件b k(x, y) k(x, y)dt h而且以退化核k(x, y)為積分核的積分方程的解核R(x, y:)，成立baR(x,y; )dt則積分方程b(x) a k(x, y) (y)dya的解(x)與用近似退化核代替的積分方程的解(x,y)，滿足(x)B1(1|R)2h11 |h(1|R)(x)在式子中,B是f (x)的一個上界.6非線性Volterra積分方程的數(shù)值解

25、x(x) k(x, y)F( (y)dy f (x) x a,b，我們假定 f(x)、k(x, y) aF(x)在其定義域上都是連續(xù)函數(shù)，利用數(shù)值求值公式ii 1,2,., n,AmKmF( m)m 1i= (i) , Am是數(shù)值積分公式中的權(quán)系數(shù)，Kim k(Xi,Xm)， fjf ( Xj )，該方程組是一個n階的下三角方程組，(a) f(a)，有此我們可以順著方程組的頂端解出n個數(shù)值解，所以我們便得出方程的近視解i(x)Amk(Xi,Xm)F( m) f (Xi) i 1,2,., n,m 1當(dāng)n趨向于無窮時該解也是趨于精確解6.1梯形公式我們?nèi)步長，h 亠工 (n為大于1的正整數(shù))，Xn是X的終點，由梯n形公式y(tǒng)oa,y1 a h,y Xn1k(x,y)F( (y)dy h1k(X,y0)F (y0)k(x,yF (y)1k(Xyn1)F (ynJ 1k(X,yn)F (yn)1(Xi)h1k(Xiy0)F(y0)k(X,y1)F(y1)1k(X,yn1)F (ynJ 才(X,