人教版八年級數學上冊期末專題復習：以等腰三角形為橋梁的幾何題例析(含解析、點評、跟蹤訓練)

1、新人教版八年數學上冊期末專題復習資料嘆等膜三角形為橋粲的幾何題例析新人教版八年級數學上冊前而三個單元都是幾何內容，其中以等腰三角形為橋梁的題所占比例較大，在期末統考試題中髙頻出現，也是中考的熱點題型：等腰三角形含特殊等腰三角形等邊三角形和等腰直角三角形的“等對等關系和“三線合一是橋梁作用的支撐.題目一.平分角添加“垂直，“平行元素構成等腰三角形的舉例.例1.如圖，ABC中，過點C作岀ABAC的平分線的垂線于點D,交AB于點EBC = 7假設上3 = 46= ZB = 3V；求上BCE的度數：(2)假設 AB = 129AC = 10.求 BE 的長.分析：對于(1)問利用 Z7 = Z2 和

2、Z/ + Z4 = 90 , Z2 + Z5 = 90 可以得到：Z4 = Z3 :因為 Z4 = ZB + ZBC，結合 Z3 = 46ZB = 39：可以求出 ZBCE = 46 -39=7Z(2)問結合(1)問 Z4 = Z3可以得岀 AE = AC，所以 BE = AB AE = AB AE = 12 I0 = 2例2zJ/WC中，ZACB = 90 CQ丄4B于點D, AE平分ABAC.交CD于點F ,EG丄AB于點G 求證：EG = CF .分析：由AE平分ABAC, ZACB = 90z, EG丄AB可以得出:CE = GE :根據直角三角形的銳角互余和對頂角相等可以得到ZCEA

3、 + ZCAE = 90 ZCFE+ADAF = 90AE平分ABAC可以得到：ZCAE = ZDAE，所以ZCFE = ZCEF，所以CE = CF ：綜上可證:EG = CF.點評:例1.例2都是在平分線的根底上添加“垂直條件，利用互余關系和平分角來得到同一個三角形的兩角相等，從而得到等腰三角形為橋梁解決問題.例3如圖，在AAHC中，ZABC = 2ZC, BD平分ZABC交AC于點D , AE丄BC于點E；求證：AC = 2BE.解析：過點A作AF /BC交BD的延長線于點F .A Z7 = ZF , Z2 = ZC BD平分ZABC交AC于點Dr引c AABC = 2ZC:.Z7 =

4、ZC ,那么 DB = DC:.ZF = Z2 ,那么 DA = DF/ f DB + DF = DC + DA,即 AC = BFV 27 = 23, Z7 = ZF Z. Z3 = ZF r AB = AF AELBC :. AF=2BE :.AC = 2 BE 點評：此題有3個等腰三角形，英中通過作平行線構建出的等腰AABF是關鍵的一環(huán)：當然此題方法不止一種特別注意當有平行線和角平分線結合，往往要通過其中構建岀的等腰三角形為橋梁解決問題.追蹤練習：A.1. 如圖，在A ABC. ZB、ZC的平分線交于點P,過點P作DE / BC9分 /別交 AB. AC 于點 、E 兩點, AB = a

5、,AC = b,BC = JO,那么4 ADE nX / e的周長為A. 10B 2a + 2bC. a+ b D. a + b +102. 如圖，ABC中，過點C作出ABAC的平分線的垂線于點D求證：Z/ZC3 在四邊形 ABCD 中，AB /CD BD 丄 AD y BD 平分 ZABC, BC = AD. ZC = 120 ,CD = 2cm :求 A3 的長?4如圖，AB/CD ,以點A為圓心，以小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB. AC于點E、I再分別以點區(qū)尸圓心，以大于的長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點巴作射5如圖，A ABC是等腰直角三角形，ZBAC = 90為點D(1) 求證：A

6、D丄BE ；(2) 如果 BC = 10，求 AB + AE 的長.題目二遇“垂直+中點型以及“T字型結構連起的等腰三角形舉例.例1如圖，在四邊形ABCD中，點E是邊BC的中點，點F是邊CD的中點，且有AE丄BC,AF丄CD(1) .求證：AB = AD :(2) .假設 ZBCD = H4，求 ZBAD 的度數.解析：連結AC.點E是邊BC的中點，AE丄A AB = AC (垂直平分線的性質)同理AD=AC:.AB = AD(2). V AB = AC9 AD = AC 且有 AE丄BC, AF 丄CD。.ZB = Z7, ZD = Z2ZB+ZP = Z7 + Z2 即 ZB+ZD = A

7、BCD ABAD +(ZB + ZD) + ABCD =(4 -2) 180 = 360 . ABCD = 114Z:.ZBAD = 360 -114 -114z = 132.注：求ZBAD的度數的途徑不止一種.例2如圖C是AB的中點，AC丄EC，垂足為C；假設AD/BE，判斷EC是ZDEB的角平分線嗎？為什么？解析：EC是ZDEB的角平分線理由如下:延長DC交EB的延長線于點F. AD BE,即 ADEFA Z/ = ZA, ZF = Z2又C是4B的中點 CA = CB:.J ACD J BCF (AAS ):.CD = CF又AC丄EC,即EC丄DF/. EC是ZDEF的角平分線即EC是

8、ZDEB的角平分線.(三線合一)例3如圖，點C為線段AB的中點；點D為線段AB下方的一點，且有 AF = BE,DE = DF , ZE = ZF.求證：DC丄AB解析：連接D4、DBAF = BE在 AAFD 和4 BED 中 EFC. BE + CF EF2如圖，ABAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點D, DE丄AB、DF丄AC,垂足分別為、F . AB = 11 AC = 5 ,那么BE的長為3. 如圖，點DE分別為AB,BC AB,BC的中點，且AE丄丄刖.求證：ZB = 604如圖，五邊形ABCDE中，AB = AE,BC = ED，點F為CD的中點，AF丄CD.求證：ZB =

9、ZE王如圖，在4 4BC中,ZCAB的的平分線AD與的垂直平分線DE交于點, DM丄AB于點M, DN丄AC的延長線于N2求證：BM =CN6 ：A ABC中，高AD與BE相交于點F,且AD = BD ,G、/分別是AC. 3F上的點，且AG = BI, H為/G的中點.求證：DH丄IG題目三由全等三角形變換的根底上的構建起來的等腰三角形舉例.例 1.如圖，在A ABC 和4 ADE 中，點 E在 BC 邊上，ABAC = /DAE.ZB = ZD. AB = AD.(1).求證：A ABC A ADE如果ZAEC = 7亍，求ZDAB的大小.分析:(1)由 ABAC = /DAE. ZB =

10、 ZD. AB = AD.直接可以推出A ABC AADE ( AAS )：由A ABC A ADE可以得到：AE = ACZC = ZAEC = 75J ；./2 = /80： -ZC-ZAEC = 30：；又 zbac Z3 = zdae - Z3 ,即Z7 = Z2 ； 0 , KP ZDAB 的大小為 30 例2如圖，點D為等腰直角A ABC內一點，ZCAD = ZCBD = 15z, E為AD延長線上的一點，且CE = CA(1).求證：DE平分ZBDC ；假設點M在DE上，且DC = DM ,求liE： ME = BD.分析：(1) .利用題中條件可以推出：上DAB = ZDBA

11、= 30：；DA = DB :又CA = CB,CD = CD；:.J ADC J BDC ( SSS )在此根底上可以得到：ABDF = 30 +30 =60 , ZCDE = 1亍+45= = &0 ZBDF = ZCDF ,即 DE 平分 ZBDC.(2) .連接CE又 ZCDE=6O (即 ZMDC = 60，并結合 DC = DM可以得到d DCM是等邊三角形.結合等邊ADCM得到的結論，以及CE = CA推岀的ZE = ZDAC可以推岀：NCME仝NCDA AAS 可以推岀ME = BD.問題解決.點評：例1和例2都是由全等三角形的根底上構建起來的等腰三角形例1是75底角的等腰NA

12、EC,例2是等邊ADCM兒這兩個等腰三角形在各自的題中起到了關鍵的橋梁作用.要特別留意在“翻折和“旋轉變換中構成的等腰三角形的橋梁作用.追蹤練習：1. 如圖，將A ABC沿AC翻折得到AABC.那么以下結論不正確的是A. AC 平分 ZBABB AC 丄 BITC. “刃垂直平分ACD.ABCB是等腰三角形2. Z1ABC中，ZABC = 65 ;將A ABC繞點A順時針旋轉至AABC假設那么圖中 Z/二 .3如下列圖，ABDC1是將長方形紙片ABCD沿BQ折疊的得到的;請問：圖中是否有等腰三角形：如果有，請寫出來并加以證明.4. 如圖，ADAB是等腰直角三角形，其中Z/ = 90 :點C在邊

13、AD上，連接BC ；點E是BA延長線上一點，分別連接EDEC；假設BC = DE ,求圖中Z25. 如圖，點B是線段AC的一點，分別以線段為邊向上作等邊AABD和等邊4 BCE ,分別連接AE. CD交BE, BD于點M, N ,連接MN.D1.請寫岀圖中所有的全等三角形，請選擇一對全等三角形加以證明；判斷4MBN的形狀，并說明理由.題目四其他幾何圖形中等腰三角形的橋梁作用例舉.a例 1.如圖，CD + AC = AB, ZADC = 70: , ZACD = 80 ；那么ZB=解析：延長DC到E使CE = CA,連接AE. :.Z1 = ZE/ : ZACD = Z/+ ZE，且 ZACD

14、= 80/ .厶f x 80 = 40B Z_/Z2 + ZADC+ZACD = 180：,且 ZADC = 7OZ, ZACD = 80 月.Z2 = 180 - 80 -70 = 30=:.ZDAE = Z1 + Z2 = 30 +40 = 70X / 、 ZDAE = ZADC :. AE = DC/、-CD + AC = AB, CE = CA/ CD + CE = AB ,即 DE = AB :. AB = AE :. ZB = ZE = 40 .故填寫：40。點評：此題采用的是截長補短的“補短法S起到了 “化折為直的作用。從而構建起三個等腰三角形通過“等對等幾次轉換解決問題，等腰三

15、角形的橋梁作用十清楚顯.例2如圖，過邊長為1上午等邊zl ABC的邊AB上一點P作PE丄AC于點E 衛(wèi)為BC的延長線上一點，當PA = C。時，連接P0交AC于點D ,那么DE二_ .解析：/過點P作PF/BC交AC于點F,即PF /BQ.:.AAPF = AB , ZAFP = ZACB, ZFPD = ZC, Zl ABC是等邊三角形A ZA = ZB = ZACB ZA = ZAPB = ZAFP :.PE 丄 AC :.EF = -AF2: PA = CQ :. PF = CQ ：.PFDQCD DF = EF = -FC :. EF + DF = 1AE + CF：點評：此題及英類型

16、題都是等腰三角形搭建起來的，這類題主要是通過一條輔助平行線構造一個新的等腰三角形和一對全等三角形臉所蘊含的“相等或平分關系解決問題，構造的等邊三角形D是此題的突破點，緊扣教材，實用性強.例 3.如圖，四邊形 ABCD 中，/BAD = 12O/B = ZD = 90 ,在BC,CD上分別有動點M,N,當AAMN的周長最小時，那么AAMN + ZANM的度數為解析：如圖，分別作A點關于BC,CD的對稱點按如圖方式連接，其中AV分別與的腳墊就是求作的符合使“4A/WV的周長最小的點M,N理由是“兩點之間.線段最短在AAAA中，ZBAD = 120.ZA + ZA = 180 -120、= 60作A；?r點是A分別關于BC,CD的對稱點： MA = MA：NA = NA:.Z/ = ZA；Z2 = ZArrV ZAMN = Z/T+“Z/WM =Z/T+Z2 ZAMN + ZANM =2(ZAf+ZAH) = 2x 60 = 120.A/點評：此題主要是通過作對稱點構建起來的等腰三角形的兩個底角相等,其推論解決問題，構思巧妙！追蹤練習:1.如圖，在 A ABC 中，ZACB = 90 , AC = AF,BC = BE ；求ZECF的度數2.如圖，等腰AAHC中，AB