多種群的數(shù)學(xué)模型

1、-作者xxxx-日期xxxx多種群的數(shù)學(xué)模型【精品文檔】 自然界的多種群模型分析小組成員：楊宏志 09053055 曾云霖 09053057 趙恒宇 09053060目錄摘要 第3頁(yè)關(guān)鍵詞 第3頁(yè)問(wèn)題重述 第3頁(yè)符號(hào)說(shuō)明 第4頁(yè)基本假設(shè) 第4頁(yè)問(wèn)題分析 第4頁(yè)正文 第5頁(yè)總結(jié)與思考 第12頁(yè)參考文獻(xiàn) 第13頁(yè)（注：正文中包括對(duì)模型的建立，模型的具體檢驗(yàn)，模型的改進(jìn)，改進(jìn)模型的檢驗(yàn)以及問(wèn)題的擴(kuò)展深化。） 自然界的多種群模型分析摘要：在我們生活的大自然中，有著太多太多的秩序和規(guī)則。種群之間的你爭(zhēng)我斗，弱肉強(qiáng)食也是非常激烈。種群，顧名思義就是指同一種生物的一個(gè)集合。不同種群之間的關(guān)系大致分為四種：捕

2、食與被捕食關(guān)系，互利共生關(guān)系，相互競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系和寄生與寄主關(guān)系。我們這次的建模就是圍繞著種群之間的關(guān)系來(lái)展開(kāi)的，下面我將從這幾個(gè)方面來(lái)進(jìn)行分類討論，由于寄生與寄主的關(guān)系不是很常見(jiàn)，關(guān)系也比較簡(jiǎn)單，在此便不再贅述。捕食與被捕食關(guān)系：這種關(guān)系很簡(jiǎn)單，大家也能很容易地理解，通俗地解釋，就是指一種生物以另一種生物為食，舉個(gè)例子大家也許會(huì)更容易地理解。比如說(shuō)狼和羊的關(guān)系，狼是捕食者，羊是被捕食者，狼以羊?yàn)槭?，是羊的天敵?；ダ采P(guān)系：指兩種生物共同生活在一個(gè)區(qū)域有助于提高另一種生物的種群密度，假如其中一種生物的數(shù)量減少，也會(huì)影響另一種生物的數(shù)量，使其數(shù)量減少。比如草地和森林優(yōu)勢(shì)植物的根多與真菌共生形成菌根，

3、多數(shù)有花植物依賴?yán)ハx(chóng)傳粉，大部分動(dòng)物的消化道也包含著微生物群落，最典型的就是大豆與根瘤菌。大豆給根瘤菌提供養(yǎng)分，根瘤菌給大豆提供氮元素。相互競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系：有種內(nèi)和種間兩種競(jìng)爭(zhēng)方式。這里是指兩種共居一起，為爭(zhēng)奪有限的營(yíng)養(yǎng)、空間和其他共同需要而發(fā)生斗爭(zhēng)的種間關(guān)系。競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果，或?qū)Ω?jìng)爭(zhēng)雙方都有抑制作用，大多數(shù)的情況是對(duì)一方有利，另一方被淘汰，一方替代另一方。舉個(gè)例子，牛和羊生活在共同的一片草地上，因?yàn)檫@兩種生物都以草為食，它們之間不存在其他關(guān)系，所以它們之間是競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。以上就是三種種群之間的關(guān)系，下面我們就從這三個(gè)方面對(duì)物種種群密度的變化進(jìn)行分析。在以下的討論中我們將建立微分方程的數(shù)學(xué)模型，對(duì)生物多種群

4、之間各種關(guān)系進(jìn)行關(guān)鍵詞：生物種群，數(shù)量，關(guān)系，互相作用，競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題重述：生物學(xué)的研究對(duì)維持地球生態(tài)平衡有著不可替代的作用，是可持續(xù)發(fā)展的重要組成部分！地球上的物種一直只在減少，現(xiàn)在也有很多物種瀕臨滅絕，因此對(duì)生物學(xué)的研究是十分迫切的，也是意義重大的！我們可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)來(lái)研究生物種群的數(shù)量變化規(guī)律!多種群模型研究在同一環(huán)境中兩種或兩種以上的生物種群數(shù)量的變化規(guī)律。在自然界中，各種生物根據(jù)其生理特點(diǎn)、食物來(lái)源等分成了不同的層次，各層次之間及同一層次上的種群有著各種各樣的聯(lián)系。而且在同一自然環(huán)境中，經(jīng)常有多種生物共存，對(duì)相互影響非常大的生物種群，我們無(wú)法割裂開(kāi)來(lái)單獨(dú)討論，故必須弄清楚它們之間的

5、相互關(guān)系，一起進(jìn)行研究，這就導(dǎo)出了多種群的模型！在多種群模型中兩種群是比較簡(jiǎn)單但也十分重要的！本論文將通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)研究?jī)晌锓N之間的競(jìng)爭(zhēng)、互利共生、捕食這三種關(guān)系！從而來(lái)解釋為什么在戰(zhàn)爭(zhēng)期間捕魚(yú)的總數(shù)減少而掠肉魚(yú)的比例卻會(huì)上升這一現(xiàn)象！最后將推廣到三種群的模型，研究更復(fù)雜的問(wèn)題！符號(hào)說(shuō)明： t:時(shí)間 x:甲物種種群數(shù)量 y：乙物種種群數(shù)量 ：甲種群的發(fā)展規(guī)律所導(dǎo)出的自身的相對(duì)增長(zhǎng)率 ：乙種群的發(fā)展規(guī)律所導(dǎo)出的自身的相對(duì)增長(zhǎng)率：表示乙種群對(duì)甲種群的影響 ：表示甲種群對(duì)乙種群的影響：甲種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率 ：乙種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率：乙種群對(duì)甲種群的影響 ：甲種群對(duì)乙種群的影響基本假設(shè)：1因?yàn)榉N群的基數(shù)

6、很大，所以一個(gè)種群的數(shù)量變化可以視為時(shí)間t的連續(xù)變換，而非離散的；2其中一個(gè)任一種群，在單獨(dú)，不受其他種群影響的條件下是滿足logistic模型的；3外界環(huán)境是很美好的，各研究對(duì)象除受彼此影響外，是不受自然環(huán)境約束的；4假設(shè)種群關(guān)于種內(nèi)和種間關(guān)系的函數(shù)是線性的，這是伏特拉模型的基礎(chǔ)；5在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系中，甲種群消耗同種自然資源會(huì)對(duì)乙種群有阻滯作用；6在捕食關(guān)系中，捕食者只以被捕食者為食，被捕食者滅絕后，捕食者將無(wú)法單獨(dú)存活；問(wèn)題分析：在自然界中，種群之間的競(jìng)爭(zhēng)是必不可少的，那么種群之間的關(guān)系是怎樣的呢？現(xiàn)在就來(lái)分析一下。對(duì)于捕食與被捕食關(guān)系，當(dāng)然是捕食者會(huì)不停地捕食被捕食者，直到將被捕食者全部捕食完

7、。但是，被捕食者一旦滅絕，捕食者也會(huì)因?yàn)闆](méi)有食物來(lái)源而滅絕。對(duì)于競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，因?yàn)檫@兩個(gè)種群的食物來(lái)源是相同的，它們會(huì)競(jìng)爭(zhēng)同一種食物或是生存條件。當(dāng)然，弱的一方也就會(huì)因?yàn)槭ド娴臈l件而滅絕，而生存下來(lái)的一方不但不會(huì)因?yàn)橐环降臏缃^而滅絕，其種群數(shù)量還會(huì)越來(lái)越多。對(duì)于互利共生關(guān)系，兩種群生活在一起，可以互相為之提供必需的生存資源，所以其二者的種群數(shù)量會(huì)一直保持在一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)，不會(huì)迅猛的增長(zhǎng)，也不會(huì)突然地滅絕。模型建立：多種群模型是研究在同一環(huán)境中兩種或兩種以上的生物種群數(shù)量的變化規(guī)律的模型。在同一自然環(huán)境中，多種生物之間是有密切的關(guān)系的。大致可分為這幾種關(guān)系：捕食與被捕食關(guān)系，互利共生關(guān)系，相互競(jìng)

8、爭(zhēng)關(guān)系，當(dāng)然我們?cè)谡幸苍岬竭^(guò)。我們小組首先兩種群模型進(jìn)行建模，再以此為基礎(chǔ)對(duì)多種群模型進(jìn)行更加深入的探討。設(shè)t時(shí)刻，甲乙兩種群的數(shù)量為x(t)，y(t)。甲乙兩種群相對(duì)于自身的增長(zhǎng)率為和由于之前已經(jīng)假設(shè)單個(gè)種群的增長(zhǎng)只與另一個(gè)種群有關(guān)，不存在任何的客觀環(huán)境條件來(lái)阻礙該種群的數(shù)量增長(zhǎng)。下面我們給出甲乙兩種群的增長(zhǎng)模型：其中和分別表示甲乙兩種群各自的發(fā)展規(guī)律所導(dǎo)出的自身的相對(duì)增長(zhǎng)率；和分別表示另一種群對(duì)這一種群的影響，這四個(gè)函數(shù)需要根據(jù)具體對(duì)象和環(huán)境確定。假設(shè)：= =y = =這是根據(jù)假設(shè)建立的兩種群關(guān)系的微分方程模型，其中，是甲乙種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，由食物來(lái)源決定；，反映的是兩種群的相互作用

9、。下面我們將根據(jù)所建立的模型討論捕食關(guān)系的兩種群。捕食關(guān)系的兩種群： 設(shè)：甲種群為兔子，乙種群為狼。根據(jù)假設(shè)，狼只以兔子為食，兔子滅絕后，狼將無(wú)法生存。所以有： 因?yàn)槔菍?duì)兔子的增長(zhǎng)有抑制作用： 兔子對(duì)狼的增長(zhǎng)有促進(jìn)作用：我們令： 所以模型變?yōu)椋合旅嫖覀兙帉?xiě)程序，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性。子程序：function dx=shier(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.6+0.01*x(1)主程序：ts=0:0.1:20;x0=25,2;t,x=ode45(shier,ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext

10、(x(t),gtext(y(t),結(jié)果顯示：結(jié)果分析：由顯示的圖形結(jié)果可知：兔子和狼的數(shù)量是周期性的震蕩模型，一方面，兔子數(shù)量的增長(zhǎng)促進(jìn)了下一時(shí)間狼的數(shù)量的增長(zhǎng)，而狼的增長(zhǎng)反過(guò)來(lái)又使得下一時(shí)間段的兔子數(shù)量減少。呈現(xiàn)出周期的震蕩，這與捕食關(guān)系的特點(diǎn)是大致符合的。但是現(xiàn)實(shí)生活中，兔子和狼的數(shù)量并不會(huì)一直是震蕩的，它們最后都將趨于一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)所以這個(gè)模型有待改進(jìn)！模型的改進(jìn)：在上述的模型中，我們只討論了自稟增長(zhǎng)和種群間的影響。卻忽略了種群自身競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的影響?，F(xiàn)實(shí)生活中，一個(gè)種群的發(fā)展也是會(huì)受到自身數(shù)量的影響的，主要表現(xiàn)為種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)。以兔子為例，兔子的數(shù)量越多，內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)往往更激烈，然后會(huì)對(duì)兔子的數(shù)量增

11、長(zhǎng)起反作用。綜合以上討論，我們?cè)谇懊娴哪Ｐ椭屑尤肓?項(xiàng)。模型變換為： 然后對(duì)改進(jìn)的模型進(jìn)行檢驗(yàn)：我們令 子程序function xdot=sh(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.017;t=0.03;h=0.02;xdot=(r-t*x(1)-a*x(2).*x(1);(-d-h*x(2)+b*x(1).*x(2);主程序：ts=0:0.1:50;x0=25,2;t,x=ode45(sh,ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid結(jié)果顯示如下:改進(jìn)后的模型結(jié)果顯示：兔子

12、和狼的增長(zhǎng)先是大幅的震蕩，但是隨著時(shí)間的推移，兩種群最終將趨于小幅度的平緩震蕩，這與實(shí)際是吻合比改進(jìn)前的模型要好，更加貼近于實(shí)際。由兩種群的捕食模型，我們知道，捕食關(guān)系的兩個(gè)種群是平緩的震蕩的關(guān)系。競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系模型：我們假設(shè)，甲種群是老鼠，乙種群是兔子根據(jù)先前的假設(shè):老鼠和兔子是競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的兩種群，其中一種群的增長(zhǎng)必定會(huì)阻礙另一種群數(shù)量的增長(zhǎng)。所以有： 兔子對(duì)老鼠的增長(zhǎng)有抑制作用，所以 老鼠對(duì)兔子的生長(zhǎng)有抑制作用，所以 競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的模型是： 令編寫(xiě)程序： 子程序：function xdot=s(t,x)xdot=(r-t*x(1)-a*x(2).*x(1);(d-h*x(2)-b*x(1).*x(2)

13、;主程序ts=0:0.1:15;x0=25,30;t,x=ode45(s,ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid演示結(jié)果：結(jié)果分析：模型結(jié)果顯示，具有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的兩物種（如老鼠和兔子），在資源有限的條件下，一種物種（老鼠）的興盛，必定會(huì)使得與其競(jìng)爭(zhēng)的另一物種（兔子）的衰弱，時(shí)間較長(zhǎng)后，競(jìng)爭(zhēng)力弱的種群必定走向滅亡,如圖示的一條曲線最后趨于0。這與實(shí)際也是很吻合的，所以該模型也很好的解釋了競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的兩種群關(guān)系?；ダ采P(guān)系模型：具有互利共生關(guān)系的兩種群會(huì)相互促進(jìn)彼此的數(shù)量的增長(zhǎng)。我們假

14、設(shè)：甲種群為大豆，乙種群為根瘤菌。所以有： 大豆為根瘤菌提供養(yǎng)料，促進(jìn)增長(zhǎng) 根瘤菌為大豆提供氮素，促進(jìn)增長(zhǎng) 模型為： ：模型的檢驗(yàn)，編寫(xiě)程序：令初值系數(shù)為：程序如下：子程序function xdot=shi(t,x)xdot=(r-t*x(1)+a*x(2).*x(1);(d-h*x(2)+b*x(1).*x(2);主程序ts=0:0.1:5;x0=25,20;t,x=ode45(shi,ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid模型演示結(jié)果：結(jié)果分析：如圖形結(jié)果所示，大豆和根瘤菌起

15、到了彼此相互促進(jìn)的作用，大豆的增長(zhǎng)促進(jìn)了根瘤菌數(shù)量的增長(zhǎng)，而根瘤菌的增長(zhǎng)也反過(guò)來(lái)促進(jìn)了大豆數(shù)量的增加。這與實(shí)際的互利共生的兩物種的情況也很吻合，所以該模型是試用于具有互利共生關(guān)系兩種群的。模型的推廣：三個(gè)種群間相互作用規(guī)律的研究：以植物、食草動(dòng)物、食肉動(dòng)物為例。設(shè)植物、食草動(dòng)物、食肉動(dòng)物的數(shù)量分別為。不考慮自然資源對(duì)植物的限制。得三種群數(shù)量變化率的微分方程為：其中各系數(shù)為：該微分方程沒(méi)有解析解，可用Matlab求微分方程的數(shù)值解。編輯程序如下：function dx=hc(t,x)dx=zeros(3,1);dx(1)=x(1)*(1-0.03*x(1)-0.1*x(2);dx(2)=x(2)

16、*(-0.3-0.02*x(2)+0.05*x(1)-0.02*x(3);dx(3)=x(3)*(-0.4-0.01*x(3)+0.06*x(2);t,x=ode45(hc,0 15,25 10 2);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*,t,x(:,3),+)運(yùn)行后得到的圖形為：這是三種群的捕食關(guān)系圖，有結(jié)果可以看出：甲種群的增長(zhǎng)會(huì)使乙種群大量增長(zhǎng)，具體體現(xiàn)在圖中綠色曲線的上升，乙種群的增長(zhǎng)也為丙種群的增長(zhǎng)提供了契機(jī)，使得捕食乙物種的丙快速增長(zhǎng)。但是隨著時(shí)間的推移，最后三個(gè)種群必將處于平衡狀態(tài)，即由圖形顯示的三條曲線最后基本上變成了平行線。 這個(gè)結(jié)果與實(shí)際是完全吻合的，體現(xiàn)了

17、這一數(shù)學(xué)模型在假設(shè)的前提下的準(zhǔn)確性。由以上情況我們可以得出結(jié)論：我們改進(jìn)的模型是正確的，并對(duì)實(shí)際有準(zhǔn)確的反映和預(yù)測(cè)能力。由此，我們可以推出N種群的具體模型如下：模型的應(yīng)用： 生物種群的數(shù)學(xué)模型是很有實(shí)際意義的，例如生物入侵是現(xiàn)今困擾全世界的難題，生物入侵者會(huì)給原生態(tài)系統(tǒng)的本土生物帶來(lái)嚴(yán)重威脅，造成生態(tài)系統(tǒng)的不平衡。種群的數(shù)學(xué)模型可以指導(dǎo)我們?nèi)绾螒?yīng)對(duì)這些問(wèn)題，例如從生物的捕食關(guān)系模型中，我們知道可以引進(jìn)入侵生物的天敵來(lái)進(jìn)行生物防治。生物種群模型還可以指導(dǎo)我們進(jìn)行最高效的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，例如如何在有限的草場(chǎng)里實(shí)現(xiàn)最大的農(nóng)業(yè)產(chǎn)量總結(jié)與思考：不足之處：由于我們接觸數(shù)學(xué)建模時(shí)間不是很長(zhǎng)，對(duì)于論文寫(xiě)作的了解還不

18、是很深入，所以難免有疏漏之處，不能做的很完善。而且我們這次做的是生物種群的關(guān)系模型，我們?nèi)似毡樯锘A(chǔ)知識(shí)不夠，因此查資料占用了許多時(shí)間。還有在建模過(guò)程中走了許多彎路，分析種群變化總是不到位，在定系數(shù)時(shí)查閱了大量資料，對(duì)許多可能的數(shù)據(jù)進(jìn)行了反復(fù)的試驗(yàn)，最終得到一個(gè)令人信服的結(jié)果。學(xué)到的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)：通過(guò)此次合作完成一份數(shù)學(xué)建模論文，我們掌握了從獨(dú)立思考，獨(dú)立操作，到最后的獨(dú)立完成論文的一整套數(shù)學(xué)建模的程序，使我們受益匪淺。而且在此次建模過(guò)程中，我通過(guò)查閱相關(guān)的生物資料，自學(xué)了很多自己從前沒(méi)有接觸過(guò)的課外的知識(shí)，為更加深入做此次建模論文奠定了基礎(chǔ)。第一次與他人合作完成一份論文，讓我們的與人交流溝通，與人協(xié)作的能力得到一次完美的升華，相信以后在工作的道路上我們的這些財(cái)富會(huì)得到最大程度的使用。最后還是很高興能有這么一次鍛煉自己的機(jī)會(huì)，希望我們能在以后的建模比賽中取得優(yōu)異的成績(jī)。參考文獻(xiàn)：【1】、數(shù)學(xué)建模方法與分析 Mark M.Meerschaert（新西蘭）著，