線性代數(shù)試題及答案8888

1、4線 性 代 數(shù)填空題（本題總計(jì)20分，每小題2 分）1.排列7623451的逆序數(shù)是2.ai2=1，則an3a12a21a22a213a225.設(shè)A為86的矩陣，已知它的秩為_(kāi)2。6.設(shè)A為三階可逆陣,*100A 210，則A32bB=CA3. 已知n階矩陣A、B和C滿足ABC二E，其中E為n階單位矩陣，則。4. 若A為m n矩陣，則非齊次線性方程組AX = b有唯一解的充分要條件是4，則以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為Ax = 0有非零解的充分必要條件是 12345304128.已知五階行列式 D =11111，貝V A41 * A42 + A43 + A44 + A45110

2、23543217.若A為m n矩陣，則齊次線性方程組9.向量a =（2,1,0,2）t的模（范數(shù)） 10.若二=：1k 1 T與：=1-21 T正交，則 k -二、選擇題（本題總計(jì)10分，每小題2分）1.向量組12,r線性相關(guān)且秩為S,則（D）A. r=sB. 2sc. s _ rd. s ： r2.若 A為三階方陣，且 A+ 2E = 0, 2A+E = 0, 3A 4E = 0，貝U A = (A)A. 8c.D.333. 設(shè)向量組A能由向量組B線性表示，則(d)A. R(B)R(A)B. R(B)：R(A)C. R(B)二 R(A)D. R(B)_R(A)4設(shè)n階矩陣A的行列式等于 D

3、,則 kA 等于。c(A) kA(B)knA(C) knA(D) A5. 設(shè)n階矩陣A，B和C，則下列說(shuō)法正確的是 。(A) AB = AC 貝 V B=C (B) AB=O,則 A = 0 或 B=0Tt T22(C) (AB) -A B(D) (A B)(A- B)二 A- B三、計(jì)算題(本題總計(jì)60分。1-3每小題8分,4-7每小題9分)1.計(jì)算n階行列式n -12.設(shè)A為三階矩陣,3.求矩陣的逆4.討論為何值時(shí),A為A的伴隨矩陣,1，求(3A)J -2A* .-1非齊次線性方程組有唯一解;片 x2x3X3X3有無(wú)窮多解;2=1無(wú)解。5.求下非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解

4、系和此方程組的通解。x1x2x3X4 = 2四、證明題（本題總計(jì)10分）設(shè)為AX二b b = 0的一個(gè)解,12丨川丨1 n為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組AX = 0的基礎(chǔ)解系,證明1,訂川）1 n，線性無(wú)關(guān)。（答案一）、填空題（本題總計(jì)20分，每小題2分）115; 2、3; 3、CA ;4、RA=R (代 b)二 n ；2; 6、7、R A : n ; 8、0; 9、3; 10、1。.二、選擇題（本題總計(jì)10分，每小題2分 1、D; 2、A; 3、D; 4、C; 5、B三、計(jì)算題（本題總計(jì)60分,1-3每小題8分,4-7他每小題9分）122 22222 22001 001、解:DA - J(i =3,4

5、,n)a000 n_30000 0n 21222222 一21n -3=1 (_2) 1 2 (n_3) (n - 2) - -2(n _2)!（此題的方法不唯一，可以酌情給分。）1111 -1-1 b廣 11 1丫1 2解：(1) AB 2A = 11113*AAn 143.(1 _1 1 J(2 11 *2 * *4 *f(3A廠-2A=-A -2A=-A=3334、1164、解:-1 00100 J 1001001 -100100-101103 +口J 11001丿1-1101丿分83 427-3分(A,E)464、r 222、242、=222222=4005分206丿2-22丿024丿

6、13廣593、-4-80、(2)A2 -B2=-111210-6=-3-1178分11丿1117丿18-12一16丿設(shè)A為三階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，且A1求(3A尸*-2A.因 A * A =AEE , 故22分分35宀A A=100100、1*(-1)500-100、0-101102斗（T）010-1_1000-1211丿3十1)001-21一1-6分z-1 0 0故A亠=-1-1082_ 1_ 1（利用A4A公式求得結(jié)果也正確。10e久1111 31九5、解；（A,b）=1九1h2 -10九一11 人丸一九23 十211九*)3 1,01 _ 九 1 _ 人？ 1 A?2(1F (1-

7、心丿(1 )唯一解：R(A) =R(A,b) =3九式1 且丸式-2 -5分9 分（利用其他方法求得結(jié)果也正確。）(2)無(wú)窮多解： R(A)二 R(代 b) : 3 乳=1X +2x3 +2% =0X? X3 % = 0基礎(chǔ)解系為% +飯+級(jí)=5令x3=x“0，得一特解: 嚴(yán)2 X3 X4 = -3-7 分00丿故原方程組的通解為:分。）7、解：特征方程5、_2、-31+ k210100001-1-1-3I10225丿10000丿(3)無(wú)解：R(A) = R(代b)分）T當(dāng)-2二3 =1時(shí)，由（A-E）X =0得基 礎(chǔ)解系 2 =（-1,-2,1），即對(duì) 應(yīng)于2二3 =1的全 部特征向量為k2

8、 2 (k2 =0)四、證明題（本題總計(jì)10分）證：由1,nj為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組 AX =0的基礎(chǔ)解系，則 1,山I nJ線性無(wú)關(guān)。（3分）反證法：設(shè)12丨1山1 n4 線性相關(guān)，貝U可由12丨1川I nj線性表示，即:匚（6因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組解，故 必是AX=0的解。這與已知條件 為AX=bb=O的一個(gè)解相矛盾。(9分).有上可知，12丨川)1n_r,線性無(wú)關(guān)。(10分)(試卷二)一、填空題(本題總計(jì)20分，每小題 2分)1. 排列6573412的逆序數(shù)是 .2x1-12. 函數(shù)f (x) = X X x中X3的系數(shù)是.1 2x3設(shè)三階方陣 A的行列式 A =3

9、,則(A*)J= A/3.4. n元齊次線性方程組 AX=0有非零解的充要條件是 .5. 設(shè)向量G =(1,2,1)T , P =扎正交，則九=.、2 j6. 三階方陣A的特征值為1, -1 , 2,貝U A =.12-n7設(shè) A設(shè)n階矩陣A的行列式等于 D，貝U 5A等于.(A) ( -5)nD (B)-5 D (C) 5 D (D)(-5)nD n階方陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是 . =02-1 ，則 A =0038.設(shè)A為86的矩陣，已知它的秩為4，則以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為A=2 則1 1 * （一 A） +A39設(shè)A為n階方陣，且C2 0 0 10 .已知A

10、 =2x2相似于b =21311，則x =二、選擇題(本題總計(jì)10分，每小題2分)(A) 矩陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量(B) 矩陣A有n個(gè)特征值(C) 矩陣A的行列式A = 0(D) 矩陣A的特征方程沒(méi)有重根3. A為m n矩陣，則非齊次線性方程組AX =b有唯一解的充要條件是 (A) R(A,b) : m(B)R(A) ： m(C) R(A)二 R(A,b)二 n(D)R(A) =R(代 b) ： n4.設(shè)向量組A能由向量組B線性表示，則()(A) . R(B)乞 R(A)(C) . R(B)二 R(A)(D) . R(B)_R(A)5.向量組冷，2H,s線性相關(guān)且秩為1.(A) r =s

11、 (B)rs分,每小題10分)12222222222239+丄2929222n -122222n(D)計(jì)算n階行列式：D =三、計(jì)算題(本題總計(jì)602.已知矩陣方程A =A X ,求矩陣X ,其中A =z20)3設(shè)n階方陣A滿足a2 - 2a-4e = 0,證明A 3E可逆，并求(A - 3E) 1.4. 求下列非齊次線性方程組的通解及所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系N +% +X3 +2X4 = 32捲一冷 +3x3 +8X4 =8J% + 2x2 - x3 _ 9x4 = -5冷2x3 -3& = -45 求下列向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并將其余向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示.2、1、3c(1

12、 =4,tt2 =1,a3 =3,a4 =56.已知二次型： f （Xt,X2,X3） = 2x； 5x2 5x3 4Xt x2-4Xt x3 -8x2x3，用正交變換化f（Xi，X2，X3）為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出其正交變換矩陣Q四、證明題（本題總計(jì)10分，每小題10 分）ar,且向量組 a1, a2/ ,a線性無(wú)關(guān),設(shè) b1=a(,b2二 & a2 ,，br=aja2丨 I (證明向量組bi,b2/ ,br線性無(wú)關(guān)（答案二）一、填空題1. 17 2. -2二、選擇題三、計(jì)算題1、（本題總計(jì)20分，每小題2分）111= 13一 A4. R( A) ： n 5.，- -26. -27 . A 或一36

13、6（本題總計(jì)10分，每小題2分）1. A（本題總計(jì)60分，每小題10分）解：D ri -r2(i =3,4,n)2. A 3.C0_04.D5. B29、122 2222222001 001a9000n-300000n 2102 - 2ri22-2 -2012 2-2 -200:.n -3 00n 2=1 (_2) 1 2 叮 “n _3) (n _ 2) - -2(n _2)!10 分（此題的方法不唯一，可以酌情給分。)2求解AX =A X，其中 20、A= 213e 1 o解：由AX二A X得X P A -E J A (3分)1 20220r100-226(A-E, A)=2 03213(

14、6分）L01020-3(80 1-1010丿0012-1_3J分）C-226、所以X =20-3(10分）2_1-33.解利用由A22A4E =0可得:(A3E)(A + E)- E - 0 -5分即(A _3E)(A E) =E7 分故 A-3E可逆且(A-3E) =(A E)10 分4 .求下列非齊次線性方程組的通解及所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.X +x2 +x3 +2x4 =32片 _x2 +3x3 +8x4 =83音 +2x2 2X3 9X4 = 5K 2x2 3x3 = Y1112解：（A b）=2-138-32-1-9.01-2-33、1123、8r101_2_34-5L00

15、11200000(20021(4分）則有x1 2x1x? - X4 = 0x3 x4 = 2(6取X4為自由未知量,X4aX210=C+x3-12區(qū)4丿1=C ,則通解為:(8對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為:5.求下列向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組:1：1 -2 ：3(2分)：1：2：4(4分)：31, ： 2為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組解得X1X2 = 12f (Xi ,X2,X3)= 2Xi-2：4(10,并將其余向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示.解:.(4 分)5x；5x2-4202-1-1y1=14x1 x2-2142 = 1的兩個(gè)正交的特征向量I0-4x1 x3 - 8x2x3：4yr 1（8分）則有（2分

16、）A的特征多項(xiàng)式 （）=1,P2 =_ 1入3 =10的特征向量 P3 -2I i1_ 2-41Pi01-11-04/3運(yùn)1/3正交矩陣 Q =1邁-1/3 運(yùn)2/3-1血1/3運(yùn)-2/3f = y； +y； +i0y；8分）正交變換x = Qy :標(biāo)準(zhǔn)形四、證明題（本題總計(jì)10分）若設(shè)d =印，b2 =aia2,，br = a!a2川川，且向量組ai,a2,，ar線性無(wú)關(guān)，證明向量組bi,b2,，br線性無(wú)關(guān) 證明：設(shè)存在入人山，入R，使得lbl + 2b2+|l（ +rbr=O也即入印+）吃+a2） + H仇佝+a2+| ar） =0化簡(jiǎn)得（入+紅+川+九印+（丸2 +川+舞歸2 +HI十

17、 =0+花2 +IH+丸r=0又因?yàn)?2,川，ar線性無(wú)關(guān)，則+川+九fi=0(8分）解得甲=01二2二川=r =0所以，bi, b2,川,br線性無(wú)關(guān)（試卷三）、填空題（本題總計(jì)20分，每小題2分）1、按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，則排列 （2n）（2n-2）|2的逆序數(shù)為 abcddacd2、設(shè)4階行列式D4，則 A11 + A21 * A31 + A41 =bdcaadcb1103 -43、已知A =027，則（A)=1, 3 -2,- 3 線性無(wú)關(guān)、選擇題（本題總計(jì)10分，每小題2 分）1、以下等式正確的是（）a +c b+d =a b、a bd cC.=D.= c d 23:1 344

18、1c.:1：2,2：3,3亠二44 :ctA1 5 4-:1D.:1：22：33-a .4:Ot.1 41三、計(jì)算題（本題總計(jì)60分，每小題10分）1. 求矩陣A = 一1的特征值和特征向量.Q 4丿2.計(jì)算n1階行列式1010川 川1 a1Dn+ =+iq0an川0an000a。1i11010、廣100(1-43、已知矩陣A =100,B =001,C =20-100h01J-203.且滿足AXB二C，求矩陣X.4.求下列非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及此方程組的通解3為 +2x2 +x3 +x4 _3x5 =3 x2 2X3 2x4 6卷=05x4x2 3x3 3x4 -

19、 xs = 5-12-11-25.已知矩陣A =11-21-4-642_2_4、63-97_9余向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示.，求矩陣A的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其6.已知A為三階矩陣，且 A - -2 ,四、證明題（本題總計(jì)10 分）設(shè)向量組：-1/-2L: n中前n-1個(gè)向量線性相關(guān)，后 n-1個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，試證:（1）= 1可由向量組線性表示;（2） : n不能由向量組12,川2線性表示 （試卷四）、填空題（本題總計(jì)16分，每小題2分）1、按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，則排列 13 HI （2n-1）24 III （2n）的逆序數(shù)為2、4階行列式D4二（1-13、已知121114151092* jA4、已知n階方陣B滿足1BA 二A B，貝U E_B =5、已知A為m n矩陣，且R( A) = r ： min m, n，則以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組Ax = 0的基礎(chǔ)解系中包含解向量的個(gè)數(shù)為 6、已知四維列向量宀=2 513 T、2 = 10 1510T、3=41-11 T ,3 -x 2 ： 2 x = 5 ： 3 x，貝U x 二7、 把向量a = （1 0 -2 2/單位化得2& 若三