節(jié) 線性參數(shù)最小二乘處理PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 節(jié)節(jié) 線性參數(shù)最小二乘處理線性參數(shù)最小二乘處理 第一節(jié)最小二乘原理 最小二乘原理 等精度測(cè)量線性參數(shù)的最小二乘原理 不等精度測(cè)量線性參數(shù)的最小二乘原理 第二節(jié)正規(guī)方程 線性參數(shù)的最小二乘處理的正規(guī)方程 非線性參數(shù)的最小二乘處理的正規(guī)方程 最小二乘原理和算術(shù)平均值原理的關(guān)系 第三節(jié)精度估計(jì) 測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì) 最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì) 第四節(jié)組合測(cè)量的最小二乘法處理 第1頁(yè)/共41頁(yè) 一、引入一、引入 待測(cè)量（難以直接測(cè)量）： t XXX, 21 直接測(cè)量量： n YYY, 21 ),( ),( ),( 21 21222 21111 tnnn t t XXXfYl XXXfYl XXX

2、fYl 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：如何根據(jù)和測(cè)量方程解得待測(cè) 量的估計(jì)值？ n lll, 21 t xxx, 21 第2頁(yè)/共41頁(yè) : tn 直接求得。 t xxx, 21 : tn 有利于減小隨機(jī)誤差，方程組 有冗余，采用最小二乘原理求 。 t xxx, 21 討論：討論： 最小二乘原理：最小二乘原理： 最可信賴(lài)值應(yīng)使殘余誤差平方和最小。 第3頁(yè)/共41頁(yè) 二、最小二乘原理二、最小二乘原理 設(shè)直接測(cè)量量 的估計(jì)值為 ， 則有 n YYY, 21 n yyy, 21 ),( ),( ),( 21 2122 2111 tnn t t xxxfy xxxfy xxxfy 由此得測(cè)量數(shù)據(jù) 的殘余誤差 n lll

3、, 21 ),( ),( ),( 21 21222 21111 tnnn t t xxxflv xxxflv xxxflv 殘差方程式 第4頁(yè)/共41頁(yè) 若 不存在系統(tǒng)誤差，相互獨(dú)立并服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差分別為 ，則 出現(xiàn)在相應(yīng)真值附近 區(qū)域內(nèi)的概率為 n lll, 21 n , 21 n ddd, 21 ), 2 , 1( 2 1 )2( 22 nideP i i i ii 由概率論可知，各測(cè)量數(shù)據(jù)同時(shí)出現(xiàn)在相應(yīng)區(qū)域的概率 為 n n n i i dddePP n i ii 21 )2( 21 1 1 22 2 1 n lll, 21 第5頁(yè)/共41頁(yè) 測(cè)量值 已經(jīng)出現(xiàn)，有理由認(rèn)為這n個(gè)測(cè)量

4、值 出現(xiàn)于相應(yīng)區(qū)間的概率P為最大。要使P最大，應(yīng)有 n lll, 21 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n n 最小 由于結(jié)果只是接近真值的估計(jì)值，因此上述條件應(yīng)表 示為 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n n vvv 最小 第6頁(yè)/共41頁(yè) 等精度測(cè)量的最小二乘原理： n i in vvvv 1 222 2 2 1 最小 不等精度測(cè)量的最小二乘原理： n i iinn vpvpvpvp 1 222 22 2 11 最小 最小二乘原理最小二乘原理（其他分布也適用）（其他分布也適用）： 測(cè)量結(jié)果的最可信賴(lài)值應(yīng)使殘余誤差平方和 （或加權(quán)殘余誤差平方和）最小。 第7頁(yè)/共41頁(yè) 三、

5、等精度測(cè)量的線性參數(shù)最小二乘原理三、等精度測(cè)量的線性參數(shù)最小二乘原理 線性參數(shù)的測(cè)量方程和相應(yīng)的估計(jì)量為： tntnnn tt tt XaXaXaY XaXaXaY XaXaXaY 2211 22221212 12121111 tntnnn tt tt xaxaxay xaxaxay xaxaxay 2211 22221212 12121111 殘差方程為 )( )( )( 2211 222212122 121211111 tntnnnn tt tt xaxaxalv xaxaxalv xaxaxalv 第8頁(yè)/共41頁(yè) 令 ntnn t t nnn aaa aaa aaa A v v v V

6、 x x x X l l l L 21 22221 11211 2 1 2 1 2 1 則殘差方程的矩陣表達(dá)式為 XALV 等精度測(cè)量最小二乘原理的矩陣形式： 最?。ǎ?最小 XALXAL VV T T 第9頁(yè)/共41頁(yè) 不等精度測(cè)量最小二乘原理的矩陣形式： 思路一：思路一： 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 00 00 00 00 00 00 n n nn p p p P 權(quán)矩陣 最小）（）（ 最小 XALPXAL PVV T T 四、不等精度測(cè)量的線性參數(shù)最小二乘原理四、不等精度測(cè)量的線性參數(shù)最小二乘原理 第10頁(yè)/共41頁(yè) 思路二：不等精度等精度思路二：不等精度等精度 i p

7、tnntnnnnnnnn tt tt xpaxpaxpaplpv xpaxpaxpaplpv xpaxpaxpaplpv 2211 22222212212222 11211211111111 i v i l 1 i a 2i a it a 則有： 最小）（）（ 最小 XALXAL VV T T 第11頁(yè)/共41頁(yè) 正規(guī)方程：誤差方程按最小二乘法原理轉(zhuǎn)化得到的 有確定解的代數(shù)方程組 一、等精度測(cè)量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程一、等精度測(cè)量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程 tntnnnn tt tt xaxaxalv xaxaxalv xaxaxalv 2211 222212122 1212111

8、11 最小 22 2 2 1n vvv 0 )( 0 )( 1 2 1 1 2 n n i i n i i x v x v 第12頁(yè)/共41頁(yè) 正規(guī)方程：正規(guī)方程： t n i itit n i iit n i iiti n i it t n i iti n i ii n i iii n i i t n i iti n i ii n i iii n i i xaaxaaxaala xaaxaaxaala xaaxaaxaala 1 2 1 21 1 1 1 1 22 1 221 1 12 1 2 1 12 1 211 1 11 1 1 特點(diǎn)：特點(diǎn)： 主對(duì)角線分布著平方項(xiàng)系數(shù)，正數(shù) 相對(duì)于主對(duì)角

9、線對(duì)稱(chēng)分布的各系數(shù)兩兩相等 第13頁(yè)/共41頁(yè) 看正規(guī)方程組中第r個(gè)方程： 0 1 2 1 21 1 1 1 t n i itir n i iir n i iiri n i ir xaaxaaxaala 0 2211 nnrrr vavava 則正規(guī)方程可寫(xiě)成 0 0 0 2211 2222112 1221111 nnttt nn nn vavava vavava vavava 0VAT 即 正規(guī)方程的矩陣形式正規(guī)方程的矩陣形式 第14頁(yè)/共41頁(yè) 將代入到中，得 XALV 0VAT 0 XAALA TT LAXAA TT AAC T LAXC T LACX T1 （待測(cè)量的無(wú)偏估計(jì)） 第15

10、頁(yè)/共41頁(yè) 例5.1：已知銅棒的長(zhǎng)度和溫度之間具有線性關(guān)系：，為 。為獲得時(shí)銅棒的長(zhǎng)度 和銅的線膨脹系數(shù)，現(xiàn)測(cè)得不同溫度下銅 棒的長(zhǎng)度，如下表，求，的最可信賴(lài)值。 )1 ( 0 tyyt 0 y 0 y Cti 0 / mmli/ 解： 1）列出誤差方程 )( 00iii tayylv 令 為兩個(gè)待估參量，則誤差方程為daycy 00 , 第16頁(yè)/共41頁(yè) )(dtclv iii 按照最小二乘的矩陣形式計(jì)算 601 501 401 301 201 101 60.2001 48.2001 07.2001 80.2000 72.2000 36.2000 A d c XL 則有： 0012. 0

11、034. 0 034. 013. 1 1 C 第17頁(yè)/共41頁(yè) 03654. 0 97.1999 1 d c LACX T 那么： Cyd mmcy 0 0 0 /0000183. 0/ 97.1999 第18頁(yè)/共41頁(yè) 二、不等精度測(cè)量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)二、不等精度測(cè)量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī) 方程方程 最小 n i iiv p 1 2 0 )( 0 )( 1 2 1 1 2 n n i ii n i ii x vp x vp 由此可得不等精度測(cè)量線性參數(shù)最小二乘處理的 正規(guī)方程： 第19頁(yè)/共41頁(yè) t n i ititi n i iiti n i iitii n i iti

12、 t n i itii n i iii n i iiii n i ii t n i itii n i iii n i iiii n i ii xaapxaapxaaplap xaapxaapxaaplap xaapxaapxaaplap 1 2 1 21 1 1 1 1 22 1 221 1 12 1 2 1 12 1 211 1 11 1 1 整理得： 0 0 0 222111 222221121 122121111 nntntt nnn nnn vapvapvap vapvapvap vapvapvap 第20頁(yè)/共41頁(yè) 即 0PVAT 不等精度的正規(guī)方程不等精度的正規(guī)方程 將代入上式，

13、得 XALV 0 XPAAPLA TT PLAXPAA TT PAAC T PLAXC T PLACX T1 （待測(cè)量的無(wú)偏估計(jì)） 第21頁(yè)/共41頁(yè) 例 5.2 某測(cè)量過(guò)程有誤差方程式及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差： 08. 0)5(27.15 08. 0)4(22.13 08. 0)3(81.10 06. 0)2(60. 8 06. 0)(44. 6 5215 4214 3213 2212 1211 xxv xxv xxv xxv xxv 試求 的最可信賴(lài)值。 21,x x 解：首先確定各式的權(quán) 9:9:9:16:16 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 543

14、21 ppppp 第22頁(yè)/共41頁(yè) 令 61 51 41 31 21 11 27.15 22.13 81.10 60. 8 44. 6 2 1 A x x XL 90000 09000 00900 000160 000016 nn P 227. 2 186. 4 )( 1 2 1 PLAPAA x x X TT 第23頁(yè)/共41頁(yè) 三、非線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程三、非線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程 針對(duì)非線性函數(shù) ), 2 , 1(),( 21 nixxxfy tii 其測(cè)量誤差方程為 ),( ),( ),( 21 21222 21111 tnnn t t xxxflv xxxflv

15、xxxflv 02010 , t xxx t i iii titi x f x f x f xxxfxxxf 020 2 10 1 0201021 )()()(),(),( 令 ，現(xiàn)將函數(shù)在 處展開(kāi)，則有 ttt xxxxxx 022021101 , 第24頁(yè)/共41頁(yè) 將上述展開(kāi)式代入誤差方程，令 00 2 20 1 1 02010 )(,)(,)( ),( t i it i i i i tiii x f a x f a x f a xxxfll 則誤差方程轉(zhuǎn)化為線性方程組 )( )( )( 2211 222212122 121211111 tntnnnn tt tt aaalv aaalv

16、 aaalv 于是可解得 ，進(jìn)而可得 。 ), 2 , 1(tr r ), 2 , 1(trxr 近似值近似值 第25頁(yè)/共41頁(yè) 為獲得函數(shù)的展開(kāi)式，必須首先確定 02010 , t xxx 1）直接測(cè)量 2）通過(guò)部分方程式進(jìn)行計(jì)算：從誤差方程中選取 最簡(jiǎn)單的t個(gè)方程式，如令 ，由此可解得 。 0 i v 02010 , t xxx 四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系 為確定一個(gè)被測(cè)量X的估計(jì)值x，對(duì)它進(jìn)行n次直 接測(cè)量，得n個(gè)數(shù)據(jù) ，相應(yīng)的權(quán)分別為 n lll, 21 n ppp, 21 ，則測(cè)量的誤差方程為 第26頁(yè)/共41頁(yè) xlv xlv x

17、lv nn 22 11 按照最小二乘原理可求得 n i i n i ii p lp x 1 1 結(jié)論：最小二乘原理與算術(shù)平均值原理是一致的，結(jié)論：最小二乘原理與算術(shù)平均值原理是一致的， 算術(shù)平均值原理是最小二乘原理的特例。算術(shù)平均值原理是最小二乘原理的特例。 第27頁(yè)/共41頁(yè) 目的：給出估計(jì)量 的精度 t xxx, 21 一、測(cè)量數(shù)據(jù)精度估計(jì)一、測(cè)量數(shù)據(jù)精度估計(jì) A）等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì) n lll, 21 對(duì) 進(jìn)行n次等精度測(cè)量，給出 的估計(jì)量。 2 可以證明 是自由度（nt）的 變量。 根據(jù) 變量的性質(zhì)，有 2 1 2 / )( n i i v 2 2 tn v E n i i 2

18、1 2 2 1 2 tn v E n i i 第28頁(yè)/共41頁(yè) 則可取 tn v n i i 1 2 2 作為 的無(wú)偏估計(jì)量。 2 因此測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量為 tn v n i i 1 2 第29頁(yè)/共41頁(yè) B）不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì) tn vp n i ii 1 2 2 tn vp n i ii 1 2 測(cè)量數(shù)據(jù)的單位權(quán)測(cè)量數(shù)據(jù)的單位權(quán) 標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì) 第30頁(yè)/共41頁(yè) 二、最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)二、最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì) A）等精度測(cè)量最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì) 設(shè)有正規(guī)方程 t n i itit n i iit n i iiti n i it t n i

19、 iti n i ii n i iii n i i t n i iti n i ii n i iii n i i xaaxaaxaala xaaxaaxaala xaaxaaxaala 1 2 1 21 1 1 1 1 22 1 221 1 12 1 2 1 12 1 211 1 11 1 1 第31頁(yè)/共41頁(yè) 設(shè) tttt t t T ddd ddd ddd AA 21 22221 11211 1 )( 利用上述不定乘數(shù)，可求得 nnl hlhlhx 12121111 其中： nttnnn tt tt adadadh adadadh adadadh 12121111 21221221111

20、2 111212111111 第32頁(yè)/共41頁(yè) 由于 為等精度 的相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量 n lll, 21 2 11 2 2 1 2 12 2 11 2 1 )(dhhh nx 同理可得 ), 2 , 1( 2 2 tidii xi 則相應(yīng)的最小二乘估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差為 ttxt x x d d d 222 111 第33頁(yè)/共41頁(yè) B）不等精度測(cè)量最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì) 同理經(jīng)推導(dǎo)可得： ttxt x x d d d 222 111 各不定乘數(shù) 由 求得： tt ddd, 2211 1 )( PAAT tttt t t T ddd ddd ddd PAA 21 22221 11211 1 )( 第34頁(yè)/共41頁(yè) 組合測(cè)量：通過(guò)直接測(cè)量待測(cè)參數(shù)的組合量（一般是 等精度），然后對(duì)這些測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理， 從而求得待測(cè)參數(shù)的估計(jì)量，求其精度估計(jì)。 以檢定三段刻線間距為例，要求檢定刻線A、B、C、D 間的距離 。 321 ,xxx ABCD 1 x 3 x 2 x ABCD 1 l 3 l 2 l 4 l 6 l 5 l 第35頁(yè)/共41頁(yè) 直接測(cè)量各組合量，得 mmlmmlmml mmlmmlmml 032. 3981. 1016. 2 020. 1985.